Latura, apotema și aria triunghiului echilateral
Tag-uri
Partajeaza in Google Classroom
Transcript
în această lecție o să de duce
în formulele de calcul pentru latura
apotema și aria unui triunghi echilateral
în funcție de raza cercului circumscris
triunghiului în lecția anterioară
am de terminat formulele de calcul
pentru latura apotema și aria unui
poligon cu n laturi vila reamintesc
latura Poligonului este 2 iar sinus
de 180 de grade supra n unde n
este numărul de laturi ale Poligonului
apotema este raza ori cosinus de
180 de grade supra n iar aria este
n r la a doua sinus de 180 de grade
supra n cosinus de 180 de grade
supra n avem în această figură
triunghiul echilateral ABC apotema
acestui triunghi este cu m iar
segmentele a o b o și c o a sunt
raze pentru a calcula latura triunghiului
echilateral pe care o să o notezi
cu el 3 Înlocuim pe n cu trei de
oarece triunghiul are trei laturi
și obținem 2 r ori sinus de 180
de grade supra 3 egal cu 2 ori
sinus de 60 de grade egal cu 2
ori radical din 3 supra 2 se simplifică
2 cu 2 și obținem a radical din
trei deci latura triunghiului echilateral
va fi raza ori radical din 3 continuăm
cu apotema triunghiului A3 va fi
egală cu r ori cosinus de 180 de
grade supra 3 Ionel cu r ori cosinus
de 60 de grade egal cu r ori 1
supra 2 egal cu x supra 2 iar aria
triunghiului echilateral este trei
ori iar la a doua ori sinus de
180 de grade supra 3 ori cosinus
de 180 de grade supra 3 egal cutreier
pătrat ori sinus de 60 de grade
ori cosinus de 60 de grade egal
cu 3 la a doua ori radical din
3 supra 2 ori 1 supra 2 egal cu
3 l la a doua radical din 3 supra
4 aceasta va fi formula de calcul
pentru aria unui triunghi echilateral
în funcție de raza cercului circumscris
triunghiului dacă dorim să exprimăm
aria triunghiului în funcție de
latura triunghiului Revenim la
formular L3 este raza radical din
3 ridicăm la pătrat această relație
și obținem că ele la a doua este
egal cu 3 la a doua și atunci formula
de calcul pentru aria triunghiului
în loc de 3R la a doua scriem el
la a doua și obținem l pătrat radical
din 3 supra 4 aceasta este formula
de calcul pentru aria triunghiului
în funcție de latura triunghiului
echilateral în cazul în care dorim
să calculăm și perimetrul triunghiului
înmulțim latura triunghiului cu
3 și atunci perimetrul triunghiului
echilateral va fi 3 r radical din
3 în cazul în care nu rețineți
aceste formule de la care am pornit
există și o altă variantă de a
calcula apotema latura și aria
triunghiului echilateral În continuare
o să vă prezint și această metodă
pentru aceasta este suficient să
știți teorema lui Pitagora pe care
o să o aplicăm Imediat Și mai trebuie
să știți faptul că într un triunghi
echilateral punctul o adică centrul
cercului circumscris triunghiului
este și punctul de intersecție
al medianelor a m este și înălțime
și mediană în acest triunghi iar
centrul de greutate are o proprietate
importantă și anume El este situat
la două treimi de vârf și la o
treime de bază Așadar segmentul
a o care reprezintă raza cercului
circumscris este două treimi din
lungimea segmentului a m a m este
înălțime în acest triunghi și atunci
raza va fi două treimi din înălțimea
triunghiului iar om Care este apotema
triunghiului este o treime din
lungimea segmentului a m și atunci
apotema va fi unul pe 3 olha Dacă
împărțim aceste două relații membru
cu membru obținem că e r supra
apotemă este egal cu 2 supra 3
ori supra 1 pe 3 ori h se simplifică
înălțimea obținem 2 supra 3 inversăm
a doua fracție ori 3 supra 1 se
simplifică 3 și egal cu 2 am obținut
astfel că raza supra apotemă egal
cu 2 putem să înmulțim pe diagonală
și obținem că 2 ori apotema este
egal cu raza de unde rezultă că
apotema este raza supra 2 aceeași
formulă am obținut și mai devreme
pentru a exprima în continuare
lungimea laturii triunghiului în
funcție de rază o să aplicăm teorema
lui Pitagora În triunghiul dreptunghic
a m c notăm latura triunghiului
cu el a ce va fi el iar Mc va fi
el supra 2 pentru că punctul m
este situat la mijlocul laturii
BC aplicăm teorema lui Pitagora
în triunghiul a m c a m la pătrat
plus Mc la pătrat este egal cu
AC la pătrat ne propunem să găsim
o relație între latura și înălțimea
triunghiului și la pătrat plus
el supra 2 totul la pătrat este
egal cu el la a doua Haș la a doua
plus a la a doua supra 4 este egal
cu latura la puterea a doua aș
la a doua va fi egal cu a la a
doua minus a la a doua supra 4
amplificăm cu 4 obținem că la pătrat
este egal cu 4 n la a doua minus
el la a doua totul supra 4 înălțimea
la pătrat va fi egal cu 3 n la
a doua supra 4 înălțimea va fi
radical din 3 la a doua supra 4
și egal cu latura radical din 3
supra 2 este bine să rețineți și
formula înălțimii unui triunghi
echilateral în funcție de latura
triunghiului raza este două treimi
din înălțimea AE are este egal
cu 2 supra 3 ori H și egal cu 2
supra 3 ori radical din 3 supra
2 se simplifică 2:02 obținem că
raza este egală cu latura radical
din 3 supra 3 înmulțim pe diagonală
3 r este egal cu latura radical
din trei astfel aflăm pe el împărțim
egalitatea la radical din 3 și
obținem că el este egal cu 3 ori
raza supra radical din 3 Putem
să raționalizăm și obținem 3 radical
din 3 supra 3 se simplifică 3 cu
3 obținem a radical din 3 am obținut
aceeași formulă ca și mai devreme
latura triunghiului este raza ori
radical din 3 această metodă presupune
e mai multe calcule Însă este bine
să știți să deduceți anumite formule
în cazul în care nu reușit să le
țineți minte am determinat până
acum apotema și latura triunghiului
mai trebuie să aflăm aria triunghiului
aria este baza ori înălțimea supra
2 adică b c ori a m supra 2 aria
triunghiului este baza ori înălțimea
supra 2 adică b c ori a m supra
2 egal cu 1 supra 2 ori b c este
latura triunghiului iar a m este
înălțimea înălțimea este latura
radical din 3 supra 2 egal el ori
El este el la pătrat radical din
3 supra 4 n determina formula ariei
unui triunghi echilateral funcție
de latura triunghiului dacă vrem
să calculăm aria și în funcție
de rază pornind de la relația dintre
latura și raza triunghiului știind
că el este raza radical din 3 ridicăm
la pătrat relația și obținem că
el la a doua este trei ori raza
la a doua înlocui nu formula de
mai sus și obținem că aria triunghiului
va fi egală cu 3 iar la a doua
radical din 3 supra 4 am obținut
și formula de calcul pentru aria
triunghiului în funcție de raza
cercului circumscris în continuare
o să facem două exerciții o prima
problema Se știe că latura unui
triunghi echilateral este radical
din 6 cm se cere să calculăm aria
triunghiului vă reamintesc că formula
de calcul pentru aria triunghiului
echilateral este latura la a doua
radical din 3 supra 4 folosim această
formulă pentru că ni se dă în problema
latura triunghiului aria triunghiului
va fi egală cu radical din 6 la
pătrat o radical din 3 supra 4
radical din 6 la a doua este 6
6 radical din 3 supra 4 se simplifică
prin 2 6 împărțit la 2 este 3 4
pățit la 2 este 2 și obținem 3
radical din 3 supra 2 centimetri
pătrați și eu a doua problemă Se
știe că aria unui triunghi echilateral
este 75 radical din 3 cm pătrați
se cere să calculăm raza cercului
circumscris triunghiului de data
aceasta vom scrie formula ariei
triunghiului în care intervine
raza cercului circumscris aria
este 3 la a doua radical din 3
supra 4 Se știe că aria este 75
radical din 3 egal cu trei aer
la a doua radical din 3 supra 4
din această relație trebuie să
aflăm necunoscuta R înmulțim pe
diagonală și obținem 4 ori 75 radical
din 3 egal cu 3 iar la a doua radical
din 3 pentru că avem același radical
în a membrii împărțim la radical
din 3 și obținem că patru ori 75
va fi egal cu 3 la a doua pentru
al afla pe r împărțim aceasta egalitate
la 3:00 am ales să nu fac această
înmulțire pentru că 75 și este
un număr divizibil cu 3 și este
mai ușor să facem simplificări
decât să facem înmulțiri astfel
obținem că merg la a doua este
egal cu 4 ori 75 supra 3 se simplifică
75 cu 3 3 în 7 se cuprinde de două
ori 3 în 15 de cinci ori și egal
cu patru ori 25 astfel aer la a
doua va fi egal cu 100 este egal
cu radical din 100 raza egală cu
10 cm