Linia mijlocie în trapez.
Tag-uri
Partajeaza in Google Classroom
Transcript
linia mijlocie în trapez segmentul
care unește mijloacele laturilor
neparalele ale unui trapez se numește
linie mijlocie avem un trapez a
b c d având bazele a b și c d Dacă
punctul m este mijlocul laturii
AB și punctul n este mijlocul laturii
bc atunci mă spune că segmentul
MN se numește linie mijlocie în
continuare o să vedem o teoremă
referitoare la linia mijlocie în
trapez linia mijlocie a trapezului
este paralela cu bazele și are
lungimea egală cu semisuma bazelor
unde mostra această teoremă Se
știe că M este mijlocul laturii
ad iar n este mijlocul laturii
bc adică mn este linie mijlocie
trebuie să arătăm că mn este paralelă
cu bazele de exemplu cu baza AB
și apoi trebuie să arătăm că lungimea
segmentului MN va fi egală cu ab
plus CD supra 2 o să ducem mai
întâi diagonala AC și o să notăm
cu p mijlocul acestei diagonale
Dacă m este mijlocul laturii ad
și P este mijlocul laturii ac din
construcția făcută va rezulta că
mp este linie mijlocie în triunghiul
acd Asta este linia mijlocie în
triunghiul acd va rezulta că m
p este paralelă cu cd însă c d
este paralelă cu AB pentru că bazele
unui trapez sunt paralele și atunci
va rezulta din aceste două relații
că m p este paralelă cu AB și notăm
această relație cu unu dacă mp
este linie mijlocie în triunghiul
acd mai rezultă că mp va avea lungimea
egală cu jumătate din lungimea
laturii de ce Deci mp va fi d c
supra 2 Dacă punctul n este mijlocul
laturii BC și P este mijlocul laturii
ac rezultă că pe n este linie mijlocie
în triunghiul c ab p este mijlocul
lui ac n este mijlocul laturii
BC și atunci din aceste două relații
va rezulta că pe an este linie
mijlocie în triunghiul abc Ba rezultat
că pe n este paralel cu AB și apoi
mai rezultă că pe an va fi jumătate
din AB botez această relație cu
doi din relațiile 1 și 2 va rezulta
că mn este paralelă cu AB deoarece
conform axioma paralelelor dintr
un punct exterior unei drepte putem
duce o singură paralelă la acea
dreaptă Dacă m p este paralelă
cu ab și n este paralelă cu AB
înseamnă că punctele m și n sunt
situate pe aceeași dreaptă Așadar
n n va fi paralelă cu AB am demonstrat
astfel prima cerință a teoremei
Și mai trebuie să calculăm lungimea
segmentului m n din relațiile 1
și 2 rezultă că mn este paralelă
cu AB conform axioma paralelelor
și acum vom calcula lungimea segmentului
MN aceasta este formată din lungimea
segmentului mp plus lungimea segmentului
PN mp este de C supra 2 iar pe
n este a b supra 2 pentru a aduna
două fracții cu același numitor
se adună numărătorii și am obținut
astfel că lungimea segmentului
mn este semisuma bazelor m n va
fi egală cu ab plus CD supra 2
rețineți că linia mijlocie a unui
trapez este paralelă cu cele două
baze ale trapezului și are lungimea
egală cu jumătate din suma bazelor
în continuare facem o problemă
a b c d este un trapez având bazele
ab egală cu 40 cm și CD egală cu
18 cm Calculați lungimea liniei
mijlocii a trapezului și lungimea
segmentului de pe linia mijlocie
cuprins între diagonalele sale
Se știe că ab este paralelă cu
cd se cunosc lungimile bazelor
trapezului am notat cu MN linia
mijlocie a trapezului iar cu p
am notat intersecția dreptelor
a c și m n și q q am notat intersecția
dintre m n și b d se cere să calculăm
lungimea liniei mijlocii adică
lungimea segmentului MN și lungimea
segmentului pq timer va fi egală
cu ab plus CD supra 2 conform teoremei
demonstrat a anterior AB este 40
CD este 18 totul supra 2 egal cu
58 supra 2 și egal cu 29 cm acum
Trebuie să aflăm lungimea segmentului
pq om afla mai întâi lungimea segmentului
mp în mod Analog se va calcula
lungimea segmentului q iar pentru
a afla lungimea segmentului pq
o să facem diferența dintre m n
și segmentele m p și q n Se știe
că m este mijlocul laturii ad mai
știm că m p este paralelă cu de
ce Pentru că mn este paralelă cu
d c fiind linie mijlocie și atunci
rezulta ca și punctul pe i este
mijlocul laturii ac am văzut această
teoremă în lecția referitoare la
linia mijlocie în triunghi dacă
p este mijlocul lui AC și M mijlocul
lui ad ma rezultat că mp este linie
mijlocie în triunghiul a c d și
rezultă că MNP este jumătate din
c d c d fiind 18 obținem că mp
are lungimea de 9 cm Dacă n este
mijlocul lui b c rezultată și punctul
q este mijlocul laturii DB Așadar
q&a fie linie mijlocie în triunghiul
b c d n este mijlocul laturii BC
q&a este paralelă cu d c pentru
că m n este paralel cu DC iar Q
aparține segmentului m n și atunci
va rezulta că punctul q este mijlocul
laturii DB așa de aspectul q&a
este linie mijlocie În triunghiul
bcd și va rezulta că segmentul
un va avea lungimea egală cu jumătate
din lungimea laturii DC egal cu
18 supra 2 și egal cu 9 cm am aflat
până acum lungimea segmentelor
m p și q and acestea au lungimea
egală cu 9 cm și acum pentru a
afla lungimea segmentului pq din
lungimea segmentului m n o să scădem
segmentele m p și q n mn este 29
de cm și atunci vom scrie pe lungimea
segmentului pq este egală cu m
n minus mp minus cu un inel cu
29 minus 9 minus 9 egal cu 11 cm
am aflat lungimea segmentului pq
aceasta este egală cu 11 cm Haideți
acum să stabilim o formulă Generală
de calcul pentru lungimea acestui
segment pq atunci când se cunosc
bazele trapezului pornind de la
această relație scris mai sus pe
q este egal cu m n minus m p minus
Q n n n fiind linie mijlocie a
trapezului iar va fi egală cu semisuma
bazelor de cm AD este egal cu ab
plus BC supra 2 acum mp este c
d supra 2 iar q&a este de C supra
2-a minus b c supra 2 egal cu AB
plus bc voi scrie tot De ce minus
de ce totul supra 2 DC minus De
ce este 0 ce o să rămână la numărător
a b minus b c supra 2 în general
formula de calcul pentru lungimea
segmentului determinat de linia
mijlocie și diagonalele unui trapez
este egală cu diferența bazelor
a b minus b c supra 2 ar putea
ca în unele probleme a b să fie
bază mică iar DC baza mare și pentru
a nu obține o diferență negativă
se va pune această diferență în
modul astfel încât lungimea segmentului
pq să fie un număr pozitiv