Matrice inversabile

am văzut deja că unele operației

efectuate cu numere complexe se

regăsesc și în cazul matricelor

împreună cu proprietățile lor în

cazul numerelor complexe Orice

număr complex z este inversabil

adică există un număr complex notat

cu 10 la puterea minus 1 astfel

încât 10 înmulțit cu 10 la minus

1 este egal cu 10 la minus 1 ori

Z și egal cu 1 elementul neutru

pentru înmulțire Spre exemplu inversul

lui 2 este 2 la minus 1 pentru

că 2 ori 2 la minus 1 este 2 ori

1 pe 2 adică unul inversul lui

minus doi este minus 2 totul la

puterea minus 1 adică 1 supra minus

2 cu alte cuvinte minus 1 pe 2

credeți ca o matrice a poate fi

inversabilă În ce condiții matricea

inversă este unică care ar fi expresia

inversei cum o putem calcula pământ

chiar ca pe parcursul acestui videoclip

să răspundem la toate aceste întrebări

să încercăm să răspundem la prima

întrebare da o matrice a poate

fi inversabilă pentru că în definitiv

avem nevoie de o matrice pe care

Înmulțind o la stânga respectiv

la dreapta ca matricea a să obținem

matricea unitate ne amintim că

matricea unitate o notăm cu e indice

n și are expresia în cazul în care

n este 2 matricea unitate are expresia

1 0 0 1 1 Matrice unitate de ordin

3 aceasta are expresia unu zero

zero zero unu zero 001 dacă a este

o matrice cu m linii n coloane

cu elemente din mulțimea numerelor

complexe atunci inversă a sunat

Am deocamdată cu x trebuie să fie

o matrice cu n linii pe coloane

cu elemente în mulțimea numerelor

complexe tipul matricei x se datorează

necesității de efectuării înmulțirii

a oryx matricea a ori x obținută

va fi o matrice de tipul m p cu

elemente în mulțimea numerelor

complexe Pe de altă parte matricea

a ori x trebuie să fie matricea

unitate Care este o matrice pătratică

cu alte cuvinte m trebuie să fie

egal cu p matricea x este acum

de tipul n m matricea a este de

tipul mp și Deci matricea x ori

A este o matrice pătratică de ordinul

n cu elemente în mulțimea numerelor

complexe cu produsul laurits respectiv

produsul x ora trebuie să fie matricea

unitate de ducem că matricea unitate

trebuie să aibă ordinul n Așadar

matricea a ori trebuie să fie egală

cu matricea x ori A și acestea

trebuie să fie egal cu matricea

unitate de ordin n cu alte cuvinte

m trebuie să fie egal cu MC egal

amândouă Coupe Am obținut o informație

deosebit de importantă și anume

că ne putem pune problema inversabilitatea

unei Matrice doar pentru Matrice

pătratice dată o matrice pătratică

de ordin n spunem că matricea a

este o matrice inversabilă dacă

stă o matrice b pătratică de ordin

n astfel încât matricea a ori b

egal cu matricea b ori A și egal

cu matricea unitate de ordin iar

matricea b poartă numele de inversei

matricei a și o notăm cu A la minus

unu Să considerăm matricea a pătratică

de ordinul doi cu elementele 2

0 minus unu unu să verificăm dacă

această Matrice este inversabilă

și care este expresia inversei

căutăm matricea a la minus unu

de forma x y z care să îndeplinească

condițiile din definiție și anume

a ori a la minus unu trebuie să

fie matricea unitate să calculăm

produsul dintre a și a la minus

1 înmulțim matricea a20 minus unu

unu cu matricea x y z t și obținem

matricea înmulțit linia 1 din matricea

a cu coloana 1 din matricea a la

minus unu doi ori x plus 0 2 ori

Y plus 0 minus 1 ori x plus z minus

1 ori Y plus adică matricea 2 x

2 y minus x plus z minus y plus

să calculăm acum produsul a la

minus 1 ori a adică x y z t înmulțit

cu 2 0 minus 1 unu obținem astfel

matricea x ori 2 2x minus y x or

zero zero plus y sector 2 minus

Zetor 0 plus adică matricea 2x

minus y y 2 z minus c dacă a este

o matrice inversabilă atunci matricea

a înmulțită cu matricea a la minus

1 este egală cu matricea a la minus

1 oră și egală cu matricea unitate

de ordin 2 Așadar matricea 2 x

2 y minus x plus z minus y plus

trebuie să fie egală cu matricea

2x minus y2j minus t d și egal

ambele cu matricea 1 0 0 1 avem

Așadar egalitățile 2 x este egal

cu 2x minus y egal cu 1 2 x a egal

cu y și egal cu 0 minus x plus

z egal cu 2 z minus d egal cu 0

și minus y plus z egal cu d și

egal ambele cu unul relații care

trebuie îndeplinite simultan Cum

2x este egal cu unu obținem Așadar

că x este egal cu 1 pe 2 y este

egal cu 0 cu Mix minus Z egal cu

0 z este egal cu 1 pe 2 Iar trebuie

să fie egal cu 1 valurile identificate

verifică Toate aceste 8 ecuații

Așadar matricea a la minus unu

are expresia 1 supra 2 0 1 supra

2 1 dar dacă matricea a ar fi avut

expresia 1 0 0 0 are această Matrice

este inversabilă căutăm din nou

matricea a la minus 1 sub forma

x y z t și 1 mulți la stânga și

la dreapta cu matricea a calculând

produsul a ori a la minus unu Adică

matricea 1 000 înmulțită cu matricea

x y z t obținând matricea x y 0

0 care trebuie să fie egală cu

matricea unitate de ordin 2 aceasta

egalitate nu are loc deoarece elementul

de pe linia a 2 coloana 2 din produsul

a ori a la minus 1 este 0 iar elementul

de pe linia 2 coloana 2 din matricea

unitate este egal cu unu Cu alte

cuvinte în această situație matricea

a nu este inversabilă observăm

astfel că nu toate matricele sunt

inversabile am văzut că matricea

a înmulțită cu inversă a este egală

cu matricea unitate atunci determinantul

acestui produs a a la minus 1 este

egal cu determinantul matricei

unitate folosind proprietatea de

Laur legată de produsul matricilor

avem că determinantul matricei

a înmulțită cu determinantul matricei

inverse este egal cu 1 un număr

real este inversabil numai dacă

el este nenul cu alte cuvinte obținem

condiția ca o matrice să fie inversabilă

o matrice a pătratică de ordinul

n este inversabilă dacă și numai

dacă determinantul a este nenul

o matrice pătratică cu determinantul

nenul se numește Matrice nesingulara

sau ne degenerată cu alte cuvinte

o matrice pătratică este inversabilă

dacă și numai dacă matricea a este

ne singulară sau ne degenerată

am văzut că determinarea inversei

pentru matricele pătratice de ordin

2 presupune rezolvarea unui sistem

cu patru ecuații și patru necunoscute

determinarea inversei pentru o

matrice pătratică de ordinul 3

pare a fi o adevărată aventură

gândind unei că va trebui să rezolvăm

un sistem de 9 ecuații cu 9 necunoscute

calculul inversei unei Matrice

poate fi făcut Totuși prin mai

multe metode printre care amintim

metoda eliminării complete denumită

și metoda Gauss Jordan metoda lui

cayley Hamilton metoda complementelor

algebrici ne vom opri asupra metodei

complementelor algebrice determinarea

inversei unei Matrice prin această

metodă presupune parcurgerea următorilor

pași Considerând matricea a pătratică

de ordinul n cu elemente în mulțimea

numerelor complexe matricea a are

expresia a11 a12 a unui na2 1 a

2 2 a 2 n an1 an-2 a n n o primă

etapă în determinarea matricei

inverse este scrierea matricei

transpuse Care este matricea obținută

din matricea a Transformând liniile

în coloane Așa da matricea a11

a12 a unui an a21 a22 A2 nan1 an-2

a n n în etapa următoare se construiește

o matrice numită matricea adjuncta

sau matricea reciprocă care se

obține din matricea a transpus

înlocuind fiecare element cu complementul

său algebric Așadar matricea adjuncta

are expresia Delta unu unu Delta

unu doi Delta 1n Delta doua nu

Delta 2.2 Delta 2n Delta n-1 Delta

N2 Delta n n și în final expresiei

Matrice inverse este dată de produsul

dintre inversul determinantului

matricei a și matricea adjuncta

inversă unei Matrice are și câteva

proprietăți și anume inversa inversei

unei Matrice este matricea însăși

oricare ar fi o matrice pătratică

de ordinul n Dacă o matrice este

inversabilă atunci inversă a este

unică notând b și b prim inversele

matricei a le îndeplinesc următoarele

relații a urmat Ricea b este b

ori matricea A și este cea pătratică

de ordin n și mod similar a urmat

Richard de prim este egal cu matricea

b prim înmulțită cu matricea a

și este egală cu matricea unitate

de ordin n plecând de la matricea

b o putem scrie ca de aur matricea

en matricea A nu putem scrie ca

produsul dintre ei or matricea

B prim Deci b înmulțit cu a vorbi

prin înmulțirea matricelor este

o operație asociativă deci putem

să scriem acest produs și berea

înmulțit cu B prim matricea b o

rea este matricea unitate înmulțită

cu matricea B prim și care nu este

altceva decât matricea de prima

și în sfârșit O ultimă proprietate

dacă a și b sunt două Matrice patratice

de ordin n inversabile atunci și

produsul a ori b Matrice pătratică

de ordin n este o matrice inversabilă

și în plus inversa produsului este

egal cu produsul inverselor