Va rugam dezactivati programul ad block pentru a vizualiza pagina!

Cumpara abonament!
Plateste cu PayPal

Metoda inducției matematice pentru demonstrarea unor inegalități

Partajeaza in Google Classroom

Partajeaza cu Google Classroom
Susține Lectii-Virtuale!
Pentru a putea vizualiza un video va rugam sa va logati aici! Daca nu aveti cont va puteti inregistra apasand aici.
15 voturi 367 vizionari
Puncte: 10

Transcript



în această lecție o să aplicăm

metoda inducției matematice pentru

demonstrarea unor inegalități Și

începem cu această inegalitate

trebuie să arătăm că trei la puterea

n este mai mare decât 3 n plus

1 oricare ar fi n un număr natural

mai mare sau egal cu 2 și Haideți

să notăm această propoziție cu

pdn prima etapă a inducției etapa

de verificare trebuie să verificăm

dacă Propoziția este adevărată

în cazul în care n este egal cu

2 așa dar pentru n egal cu doi

avem propoziția pe de doi trei

la puterea a doua este mai mare

decât trei ori doi plus unu echivalent

9 mai mare decât 7 aceasta este

întradevăr o relație adevărată

prin urmare propoziția pe D2 este

adevărată a doua etapă demonstrația

trebuie să demonstrăm că are loc

implicația pdk implică pdk plus

1 oricare ar fi ca apa un număr

natural mai mare sau egal decât

2 pentru aceasta presupunem că

pdk este adevărată și arătăm că

PD că apa plus unul este adevărată

nu scrie mai întâi Propoziția pdk

3 la puterea k este mai mare decât

3 k plus 1 știind că aceasta este

propoziție adevărată pdk plus 1

3 la puterea k plus unu este mai

mare decât 3 pe lângă k plus unu

plus unu nu știm dacă aceasta este

propoziția adevărată trebuie să

demonstrăm acest lucru o să mai

scriem încă o dată membrul stâng

din pdk plus unu trei la puterea

k plus unu acest număr se poate

scrie 3 ori 3 la puterea k însă

noi știm că p d k este adevărată

prin urmare 3 la k este mai mare

decât 3 k plus 1 Așadar tot acest

număr va fi mai mare decât 3 ori

3 k plus unu Aici nu am bazat pe

faptul că propoziția pdk este adevărată

Și acum o să fac o mică paranteză

dacă avem trei numere a b și c

iar a este mai mare decât b și

b este mai mare decât c atunci

rezultă că a este mai mare decât

c și atunci în cazul nostru 3 la

k plus 1 poate fi notat cu a 3

pe lângă 3 k plus unu este b iar

această expresie este si iar 3

la k plus 1 este a Așadar Iată

că a este mai mare decât b știind

că are loc acesta Pentru că pdk

este adevărată și atunci dacă reușim

să arătăm că b este mai mare decât

c atunci va rezulta că a este mai

mare decât C tinul mare mare zolta

că p d k plus 1 este adevărată

prin urmare noi trebuie acum Să

demonstrăm că 3 pe lângă 3 k plus

1 este mai mare decât 3 pe lângă

k plus unu plus unu continuăm mai

jos mai trebuie să arătăm că 3

pe lângă 3 k plus 1 este mai mare

decât 3 pe lângă k plus unu plus

unu desfacem parantezele 9 k plus

3 este mai mare decât 3 k plus

3 plus 1 adică 3 k plus 4 6 k este

mai mare decât 1 aceasta este propoziție

adevărată întrucât k este un număr

natural mai mare sau egal cu 2

din urmare 6 ori că apa va fi întotdeauna

mai mare decât 1 așa dar am demonstrat

că b este mai mare decât c și atunci

va rezulta că a este mai mare decât

c prin urmare rezultă că propoziția

pdk plus 1 este propoziție Ade

arată așa dar are loc implicația

pdk implică pdk plus 1 oricare

ar fi ca apa mai mare sau egal

cu doi din moment ce ambele etape

ale inducției au fost validate

înseamnă că propoziția pdn este

propoziție adevărată oricare ar

fi n număr natural mai mare sau

egal cu 2 și trecem în continuare

la a doua inegalitate trebuie să

demonstrăm că 1 plus 1 supra radical

din 2 plus 1 supra radical din

3 plus puncte puncte plus 1 supra

radical din n este mai mic decât

3 radical din n oricare ar fi n

un număr natural diferit de 0 notăm

și de această dată propoziția cu

pdm începem cu prima etapă verificarea

prima valoare pe care o poate lua

m este 1 pentru n egal cu 1 verificăm

dacă propoziția pe D1 este adevărată

observăm că în membrul stâng avem

o sumă de n termeni pentru n egal

cu 1 această sumă se reduce la

un singur termen așa dar o să avem

1 mai mic decât 3 radical din 1

echivalent 1 mai mic decât 3 Aceasta

este o relație adevărată Așadar

pd1 este adevărată a doua etapă

demonstrația trebuie să demonstrăm

că pdk implică pdk plus 1 oricare

ar fi k mai mare sau egal cu unu

nu scrie mai întâi propoziția pdk

unu plus unu supra radical din

2 plus 1 supra radical din 3 plus

puncte puncte plus 1 supra radical

din k este mai mic decât 3 radical

din k aceasta este propoziție adevărată

și acum trebuie să demonstrăm că

p d k plus 1 este adevărată și

avem 1 plus 1 supra radical din

2 plus 1 supra radical din 3 plus

puncte puncte plus 1 supra scriem

și penultimul termen radical din

k plus ultimul termen este 1 supra

radical din k plus 1 mai mic decât

3 radical din k plus 1 demonstrăm

că aceasta este propoziție adevărată

Haideți să notăm această sumă care

apare în membrul stâng din pdk

cu s0 ca să redactăm mai ușor demonstrația

iar suma care apare în pdk plus

unu sau notăm cu F 1 și atunci

conform acestor notații Putem să

scriem că S1 este egal cu s0 ești

până aici avem s0 la care se mai

adaugă acest ultim termen 1 supra

radical din k plus 1 dar este 0

conform propoziție pdk este mai

mic decât 3 radical din k prin

urmare tot acest număr va fi mai

mic decât 3 radical din k plus

1 supra radical din k plus 1 aici

ne bazăm pe faptul că pdk este

propoziție adevărată și acum facem

iarăși o mică paranteză noi știm

că dacă a este mai mic decât b

și b este mai mic decât c atunci

rezultă că a este mai mic decât

cel Mare putem să notăm es1 cu

A b este acest termen iar c este

3 radical din k plus 1 și atunci

noi știm că a este mai mic decât

b Aceasta este o relație adevărată

pentru că nu am bazat pe propoziția

pdk dacă reușim să demonstrăm că

b este mai mic decât c atunci va

rezulta că a este mai mic decât

c d cipa rezultat că această sumă

S1 este mai mică decât 3 radical

din k plus 1 prin urmare are rezultat

că p d k plus 1 este adevărată

înseamnă că noi mai trebuie doar

să arătăm că b este mai mic decât

c așa dar o să scriem Mai trebuie

să demonstrăm că 3 radical din

k plus 1 supra radical din k plus

1 este mai mic decât 3 radical

din k plus 1 oricare ar fi ca apa

un număr mai mare sau egal cu 1

an mai jos din moment ce k este

mai mare sau egal cu 1 atunci Înmulțind

toată această inegalitate cu radical

din k plus unu semnul inegalității

se păstrează și o să avem trei

radical din k ori radical din k

plus unu plus unu mai mic decât

3 pe lângă k plus 1 3 radical din

k pe lângă k plus 1 este mai mic

decât 3 k desfacem paranteza și

o să avem 3 k plus 3 minus 1 2

3 k plus 2 Și acum ridicăm la pătrat

și o să avem nouă pe lângă desfacem

paranteza k pătrat k mai mic decât

aici ridicăm la pătrat după formula

a plus b totul la a doua și avem

9 k la pătrat plus 12 K plus 4

9 k la pătrat plus 9 k mai mic

decât 9 k la pătrat plus 12 K plus

4 se reduce 9k la pătrat trecem

toți termenii un membru și avem

12k minus 9 k plus 4 este mai mare

decât 0 3 k plus 4 este mai mare

decât 0 Aceasta este o relație

adevărată având în vedere faptul

că numărul k este mai mare sau

egal cu 1 Revenim puțin mai sus

am demonstrat că b este mai mic

decât c prin urmare va rezulta

că a este mai mic decât c d tăcea

stă sumă S1 este mai mică decât

3 radical din k plus 1 Deci pdk

plus 1 este adevărată rezultă că

implicația este adevărată rezultă

pe DN adevărată ambele etape ale

nopții au fost confirmate Așadar

propoziția pe DN este adevărată

oricare ar fi n mai mare sau egal

cu 1 gata

Metoda inducției matematiceAscunde teorie X

Fie P(n) o propoziție matematică ce depinde de numărul natural n.

n element of straight natural numbers comma space n greater or equal than m.

Pentru a demonstra prin metoda inducției matematice propoziția: 

" P left parenthesis n right parenthesis comma space for all n greater or equal than m "

parcurgem două etape:

  1.  Etapa de verificare: se verifică dacă propoziția P(m) este adevărată.
  2.  Etapa de demonstație: demonstrăm implicația

P left parenthesis k right parenthesis rightwards double arrow P left parenthesis k plus 1 right parenthesis comma space k greater or equal than m

Pentru aceasta, presupunem că propoziția P(k) este adevărată și se demonstrează că P(k+1) este adevărată.

Concluzie: dacă ambele etape sunt verificate, atunci propoziția P(n) este adevărată, for all n element of straight natural numbers comma space n greater or equal than m.

Cumpara abonament
Plătește cu PayPal

Ajutor
Feedback-ul d-voastră este important pentru noi. Dacă observați vreo neregulă vă rugăm să ne-o semnalați apăsând butonul Trimite Feedback de mai jos.

Despre Lecții-Virtuale.ro

Lecții-Virtuale este o platformă educațională care oferă suport în vederea pregătirii pentru Evaluare Națională și Bacalaureat la Matematică, Fizică și Chimie. Lecțiile noastre sunt alcătuite din filme și exerciții și probleme cu tot cu rezolvări. Platforma noastră este o soluție ideală pentru școala online. Pentru facilitarea activității profesorilor în cadrul ecosistemului GSuite de la Google am implementat butonul Google Classroom. Scopul nostru este să ne concentrăm pe prezentarea noțiunilor și fenomenelor într-o manieră care să stimuleze înțelegerea și nu memorarea mecanică. Ne propunem să facilităm accesul la conținut educațional de calitate mai ales elevilor cu venituri mai modeste care nu își pemit meditații particulare. Sperăm să vă simțiti bine alături de noi și să invățați lucruri folositoare. Hai România!

Newsletter

Abonează-te la Newsletter pentru a fi la curent cu toate ofertele noastre.

Parteneri

EduApps partener Lectii Virtuale UiPath partener Lectii Virtuale Scoala365 partener Lectii Virtuale CCD Galați partener Lectii Virtuale

2024 © Lecții-virtuale.ro Toate drepturile rezervate
Termeni   Despre   Contact   Confidenţialitate   Cariere Parteneri