Metoda inducției matematice pentru demonstrarea unor inegalități
Tag-uri
Partajeaza in Google Classroom
Transcript
în această lecție o să aplicăm
metoda inducției matematice pentru
demonstrarea unor inegalități Și
începem cu această inegalitate
trebuie să arătăm că trei la puterea
n este mai mare decât 3 n plus
1 oricare ar fi n un număr natural
mai mare sau egal cu 2 și Haideți
să notăm această propoziție cu
pdn prima etapă a inducției etapa
de verificare trebuie să verificăm
dacă Propoziția este adevărată
în cazul în care n este egal cu
2 așa dar pentru n egal cu doi
avem propoziția pe de doi trei
la puterea a doua este mai mare
decât trei ori doi plus unu echivalent
9 mai mare decât 7 aceasta este
întradevăr o relație adevărată
prin urmare propoziția pe D2 este
adevărată a doua etapă demonstrația
trebuie să demonstrăm că are loc
implicația pdk implică pdk plus
1 oricare ar fi ca apa un număr
natural mai mare sau egal decât
2 pentru aceasta presupunem că
pdk este adevărată și arătăm că
PD că apa plus unul este adevărată
nu scrie mai întâi Propoziția pdk
3 la puterea k este mai mare decât
3 k plus 1 știind că aceasta este
propoziție adevărată pdk plus 1
3 la puterea k plus unu este mai
mare decât 3 pe lângă k plus unu
plus unu nu știm dacă aceasta este
propoziția adevărată trebuie să
demonstrăm acest lucru o să mai
scriem încă o dată membrul stâng
din pdk plus unu trei la puterea
k plus unu acest număr se poate
scrie 3 ori 3 la puterea k însă
noi știm că p d k este adevărată
prin urmare 3 la k este mai mare
decât 3 k plus 1 Așadar tot acest
număr va fi mai mare decât 3 ori
3 k plus unu Aici nu am bazat pe
faptul că propoziția pdk este adevărată
Și acum o să fac o mică paranteză
dacă avem trei numere a b și c
iar a este mai mare decât b și
b este mai mare decât c atunci
rezultă că a este mai mare decât
c și atunci în cazul nostru 3 la
k plus 1 poate fi notat cu a 3
pe lângă 3 k plus unu este b iar
această expresie este si iar 3
la k plus 1 este a Așadar Iată
că a este mai mare decât b știind
că are loc acesta Pentru că pdk
este adevărată și atunci dacă reușim
să arătăm că b este mai mare decât
c atunci va rezulta că a este mai
mare decât C tinul mare mare zolta
că p d k plus 1 este adevărată
prin urmare noi trebuie acum Să
demonstrăm că 3 pe lângă 3 k plus
1 este mai mare decât 3 pe lângă
k plus unu plus unu continuăm mai
jos mai trebuie să arătăm că 3
pe lângă 3 k plus 1 este mai mare
decât 3 pe lângă k plus unu plus
unu desfacem parantezele 9 k plus
3 este mai mare decât 3 k plus
3 plus 1 adică 3 k plus 4 6 k este
mai mare decât 1 aceasta este propoziție
adevărată întrucât k este un număr
natural mai mare sau egal cu 2
din urmare 6 ori că apa va fi întotdeauna
mai mare decât 1 așa dar am demonstrat
că b este mai mare decât c și atunci
va rezulta că a este mai mare decât
c prin urmare rezultă că propoziția
pdk plus 1 este propoziție Ade
arată așa dar are loc implicația
pdk implică pdk plus 1 oricare
ar fi ca apa mai mare sau egal
cu doi din moment ce ambele etape
ale inducției au fost validate
înseamnă că propoziția pdn este
propoziție adevărată oricare ar
fi n număr natural mai mare sau
egal cu 2 și trecem în continuare
la a doua inegalitate trebuie să
demonstrăm că 1 plus 1 supra radical
din 2 plus 1 supra radical din
3 plus puncte puncte plus 1 supra
radical din n este mai mic decât
3 radical din n oricare ar fi n
un număr natural diferit de 0 notăm
și de această dată propoziția cu
pdm începem cu prima etapă verificarea
prima valoare pe care o poate lua
m este 1 pentru n egal cu 1 verificăm
dacă propoziția pe D1 este adevărată
observăm că în membrul stâng avem
o sumă de n termeni pentru n egal
cu 1 această sumă se reduce la
un singur termen așa dar o să avem
1 mai mic decât 3 radical din 1
echivalent 1 mai mic decât 3 Aceasta
este o relație adevărată Așadar
pd1 este adevărată a doua etapă
demonstrația trebuie să demonstrăm
că pdk implică pdk plus 1 oricare
ar fi k mai mare sau egal cu unu
nu scrie mai întâi propoziția pdk
unu plus unu supra radical din
2 plus 1 supra radical din 3 plus
puncte puncte plus 1 supra radical
din k este mai mic decât 3 radical
din k aceasta este propoziție adevărată
și acum trebuie să demonstrăm că
p d k plus 1 este adevărată și
avem 1 plus 1 supra radical din
2 plus 1 supra radical din 3 plus
puncte puncte plus 1 supra scriem
și penultimul termen radical din
k plus ultimul termen este 1 supra
radical din k plus 1 mai mic decât
3 radical din k plus 1 demonstrăm
că aceasta este propoziție adevărată
Haideți să notăm această sumă care
apare în membrul stâng din pdk
cu s0 ca să redactăm mai ușor demonstrația
iar suma care apare în pdk plus
unu sau notăm cu F 1 și atunci
conform acestor notații Putem să
scriem că S1 este egal cu s0 ești
până aici avem s0 la care se mai
adaugă acest ultim termen 1 supra
radical din k plus 1 dar este 0
conform propoziție pdk este mai
mic decât 3 radical din k prin
urmare tot acest număr va fi mai
mic decât 3 radical din k plus
1 supra radical din k plus 1 aici
ne bazăm pe faptul că pdk este
propoziție adevărată și acum facem
iarăși o mică paranteză noi știm
că dacă a este mai mic decât b
și b este mai mic decât c atunci
rezultă că a este mai mic decât
cel Mare putem să notăm es1 cu
A b este acest termen iar c este
3 radical din k plus 1 și atunci
noi știm că a este mai mic decât
b Aceasta este o relație adevărată
pentru că nu am bazat pe propoziția
pdk dacă reușim să demonstrăm că
b este mai mic decât c atunci va
rezulta că a este mai mic decât
c d cipa rezultat că această sumă
S1 este mai mică decât 3 radical
din k plus 1 prin urmare are rezultat
că p d k plus 1 este adevărată
înseamnă că noi mai trebuie doar
să arătăm că b este mai mic decât
c așa dar o să scriem Mai trebuie
să demonstrăm că 3 radical din
k plus 1 supra radical din k plus
1 este mai mic decât 3 radical
din k plus 1 oricare ar fi ca apa
un număr mai mare sau egal cu 1
an mai jos din moment ce k este
mai mare sau egal cu 1 atunci Înmulțind
toată această inegalitate cu radical
din k plus unu semnul inegalității
se păstrează și o să avem trei
radical din k ori radical din k
plus unu plus unu mai mic decât
3 pe lângă k plus 1 3 radical din
k pe lângă k plus 1 este mai mic
decât 3 k desfacem paranteza și
o să avem 3 k plus 3 minus 1 2
3 k plus 2 Și acum ridicăm la pătrat
și o să avem nouă pe lângă desfacem
paranteza k pătrat k mai mic decât
aici ridicăm la pătrat după formula
a plus b totul la a doua și avem
9 k la pătrat plus 12 K plus 4
9 k la pătrat plus 9 k mai mic
decât 9 k la pătrat plus 12 K plus
4 se reduce 9k la pătrat trecem
toți termenii un membru și avem
12k minus 9 k plus 4 este mai mare
decât 0 3 k plus 4 este mai mare
decât 0 Aceasta este o relație
adevărată având în vedere faptul
că numărul k este mai mare sau
egal cu 1 Revenim puțin mai sus
am demonstrat că b este mai mic
decât c prin urmare va rezulta
că a este mai mic decât c d tăcea
stă sumă S1 este mai mică decât
3 radical din k plus 1 Deci pdk
plus 1 este adevărată rezultă că
implicația este adevărată rezultă
pe DN adevărată ambele etape ale
nopții au fost confirmate Așadar
propoziția pe DN este adevărată
oricare ar fi n mai mare sau egal
cu 1 gata