Mulțimi mărginite - noțiuni introductive

în această înregistrare vom discuta

despre mulțimi mărginite mai întâlnit

noțiunea de mulțime mărginită opriți

un pic înregistrarea și încercați

să vă amintiți contextul în care

ați întâlnit această noțiune Probabil

că va fi amintită ați discutat

despre intervale mărginite și aveați

de exemplu intervalul minus 2 deschis

patron încheie un interval mărginit

ceas mai discutat despre șiruri

marginita șirurile a căror elemente

pot fi încadrată între două numere

reale Dacă toate elementele unei

uși erau mai mari decât unul număr

real și mai mici decât un alt număr

el Atunci spuneam șirului asta

Marcel pentru a defini riguros

noțiunea de mulțime mărginită avem

nevoie de două noțiuni ajutătoare

vom defini aceste două noțiuni

considerăm mulțimea A o mulțime

de numere reale nevida semnul mic

un număr real Ia stai Minora al

mulțimii a dacă m mic este mai

mic sau egal cu x pentru orice

x din a cu alte cuvinte m este

minorant al mulțimii A dacă este

mai mic sau egal cu orice element

al mulțimii a A mare 4 număr real

se numește majorant al mulțimii

a da ca un numar a este mai mare

sau egal cu orice element al mulțimii

a o punem aicea și semnul de orice

ca să știm că ai vorba de oricare

dintre elementele mulțimii a să

dăm un exemplu considera mulțimea

A intervalul deschis minus 2 închis

1 și să încercăm să identificăm

un minorant sau mai mulți un majorat

sau mai mulți al acesteia reprezinta

mulțimea pe o axă conform definiției

în minoranti este Orice număr mai

mic decât toate elementele mulțimii

A cu alte cuvinte dacă noi la noapte

minus 3 minus trei este un mineral

pentru mulțimea A dacă la noapte

minus 2 și un mineral pentru mulțimea

A pentru că este mai mic decât

toate elementele din alfabet fiecare

element corect cu alte cuvinte

toate numerele mai mici decât minus

doi vor fi mineran pentru mulțimea

a să vedem ce se întâmplă cu minus

doi dacă luăm în considerare pe

minus 2 și minus 2 este mai mic

sau egal decât orice element din

ei cu alte cuvinte și minus 2 va

fi bun pentru mulțimea A constatăm

că de fapt mulțimea A are o infinitate

de mineran vom nota mulțimea minorantilor

cu M mare indice 1 și a va fi egală

cu interval minus infinit minus

2 să vedem cine ar putea să fie

a mulțimea majorantilor mulțimii

ca daca luam de exemplu numărul

real 2 2 este mai mare decât fiecare

element al mulțimii A și 1 este

mai mare decât fiecare element

al mulțimii A deci dacă toate numerele

mai mari decât unul obții Majoran

pentru mulțimea a Hai să vedem

ce se întâmplă în unu unu este

mai mare sau egal decât orice element

din mulțimea A este chiar egal

cu pentru ca unul face parte din

mulțimea de asta nu deranjează

pentru femei definiție avem mai

mare sau egal cu alte cuvinte mulțimea

majorantilor mulțimii a 8 motan

cu m2 va fi intervalul închis 1

plus infinit Constanța mulțimea

a arătat o infinitate de Morun

și o infinitate majora având această

două definiție putin ma definim

mulțimile marginita pentru aceasta

vom considera mulțimea A o mulțime

de numere reale nevida is pe mine

o rată sau mărginită inferior dacă

are cel puțin un minut unde a este

majorată sau mărginită superior

dacă are cel puțin un majorant

ce punem de aer este mărginită

dacă este mărginită atât superior

pe ce inferior este foarte important

acest Și dacă o mulțime este mărginită

doar superior respectiv doar inferior

ea nu este mărginită de exemplu

mulțimea numerelor naturale este

mărginită inferior mulțimea minorantilor

acestei mulțimi Deci dacă ar fi

să notăm tot cu M1 mulțimea minorantilor

atunci ar fi egal cu intervalul

minus infinit 0 pentru ca toate

numerele din acest interval sunt

mai mici sau egală cu oricare din

numerele naturale Dar această mulțime

nu are niciun Majoran pentru că

nu există nici un număr real care

să fie mai mare decât oricare număr

natural dacă vrem să demonstrăm

acest lucru putem să o facem prin

reducere la absurd Să presupunem

că există M mare majorant al acestei

mulțimi aceasta înseamnă că M mare

este mai mare sau egal decât n

pentru orice n natural și atunci

notăm cu n indice 0 partea întreagă

a lui m pentru că a n indice 0

este partea întreagă a lui e înseamnă

că n indice 0 este un număr natural

una dintre proprietățile scoarței

întregi anexa Orice număr este

cuprins între partea sa întreagă

și partea sa întreagă plus un om

adică m va fi cuprins între lens.ro

și în 0 plus 1 m zero plus 1 este

număr natural pentru că a n 0 era

număr natural și cu aceasta am

arătat că presupunerea pe care

am făcut o anume că M este un majorant

pentru mulțimea numerelor naturale

este falsă pentru că am găsit numărul

natural n 0 plus 1 care este mai

mare decât n pe aici rezulta ca

m zero plus 1 trebuie să specificăm

că e natural de aici A rezulta

ca m nu e majoră adică masina numerelor

naturale nu are nici un majorat

în consecință nu este mărginită

superior și nu va fi nici mărginită

există acum teoremă care ne dă

o condiție necesară și suficientă

pentru ca o mulțime să fie mărginită

a o submulțime a numerelor reale

este mărginită dacă și numai dacă

există un număr real pozitiv la

notat aici cu M mare cu proprietatea

că modul din x mai mic sau egal

cu n pentru orice x din mulțimea

pentru teoremă în care ne apare

existența unui număr pentru a fi

demonstrată și utilizată Ar fi

bine să știm cum anume am putea

determina acest număr cine va fi

m dacă știm că a este mărginită

atunci noi știm că A are cel puțin

un majorat și un minorat dacă ai

un minut armonia Mara și acest

mineral cu Ami atunci a este mai

mic sau egal decât x pentru orice

x din Amara și dacă notăm cu b

mic un majorat dar nu țin Yamaha

atunci avem că Majoran tu acesta

b trebuie să fie mai mare sau egal

decât x și asta pentru orice x

din Amara pentru ca să putem găsi

acest om considerat că m este egal

cu maximum.md intra motor de a

și motor dacă din modul în care

le am definit pe a m știm sigur

că Ion este pozitiv pentru că este

cea mai mare valoare dintre două

module iar dacă x este mai mare

sau egal cu a și mai mic sau egal

cu b cu siguranță că x să fie mai

mare sau egal cu minus și mai mic

sau egal cu n cu alte cuvinte minus

m este la rândul său un mineral

pentru mulțimea A și m este un

majorant înălțimea a de la module

de la proprietățile modulelor știind

că aceste două inegalități înseamnă

de fapt că am o prind Ia stai mai

mic sau egal decât m Acest lucru

se întâmplă pentru orice x Deci

aici avem orice fișe de încoace

avem orice x din a aceasta este

și ideea demonstrației doar că

la demonstrație trebuie să aveți

în vedere IV ca un această teorema

avem o dublă implicație adică prima

dată a trebuit să arătăm că dacă

ai este mărginită atunci există

m pozitiv cu proprietatea că modul

din x mai mic sau egal decât n

pentru orice x din a și după aceea

trebuie demonstrată și implicația

inversă Adică dacă știind că există

un pozitiv cu proprietatea că modul

din x mai mic sau egal decât n

pentru orice din asta să facem

un exemplu vom considera mulțimea

A egală cu intervalul deschis minus

1 închis 3 reunit cu elementele

4:05 un minor an pentru această

mulțime este de exemplu o minus

2 un majorat pentru această mulțime

este de exemplu 5 și atunci pentru

a determina 1 m vom lua maximum

OBI intră modul din minus 2 și

modul de 5 Maximul dintre doi și

cinci cu alte cuvinte Este o 5

deci noi Putem afirma că acest

m pozitiv care exista este egal

cu 5 după atâta tot de aici din

modul în care am rezolvat acest

exercițiu m nu este unic determinat

dacă noi am ales un minor n minus

2 și un majorat 5 atunci m în alegerea

pe care am făcut un este 5 dacă

am fi luat alt minorant alți majorant

am fi putut obține un alt