Va rugam dezactivati programul ad block pentru a vizualiza pagina!

Cumpara abonament!
Plateste cu PayPal

Operații cu numere complexe (forma algebrică)

Partajeaza in Google Classroom

Partajeaza cu Google Classroom
Susține Lectii-Virtuale!
Pentru a putea vizualiza un video va rugam sa va logati aici! Daca nu aveti cont va puteti inregistra apasand aici.
11 voturi 388 vizionari
Puncte: 10

Transcript



în această secvență vom rezolva

câteva operații cu numere complexe

un număr complex z are forma algebrică

a plus b e a este partea reală

iar b se numește partea imaginară

conjugatul său are forma algebrică

a minus b e Deci se schimbă semnul

doar la parte imaginară modulul

unui numar complex este radical

din partea reală la pătrat plus

parte imaginară la pătrat și trebuie

să rețineți că e pătrat este egal

cu minus unu în continuare să rezolvăm

acest exercițiu Se dau numerele

complexe Z 1 egal cu 4 plus 3 y

și z 2 egal cu 1 minus e la punctul

A trebuie să calculăm conjugatul

conjugatului numărului complex

Z 1 o să mai scriu încă o dată

numărul Z1 este 4 plus 3 e mai

întâi vom scrie Z1 conjugat și

egal cu 4 minus 3 e acum conjugatul

conjugatului numărului complex

Z 1 va fi egal cu 4 plus 3 i am

schimbat din nou semnul părții

imaginare observăm astfel că numărul

complex Z 1 conjugat de două ori

are aceeași formă algebrică cu

numărul unu Aceasta este o proprietate

importantă a numerelor complexe

Așadar este bine să rețineți că

numărul z conjugat de două ori

este egal cu z la punctul B trebuie

să calculăm Z1 plus 10231 plus

Z2 este egal cu 4 plus 3x plus

1 minus i Roma adunat mai întâi

părțile reale avem 4 plus 1 egal

cu 5 iar 3-a minus e este egal

cu 2 la punctul ce trebuie să calculăm

modul din Z 1 minus 2 Mai întâi

vom calcula diferența Z1 minus

Z2 și avem patru plus 3x minus

1 minus e egal cu 4 plus 3 minus

1 plus y egal 4 minus 1 este 3

iar 3a plus e este 4 in și acum

vom calcula modul din Z 1 minus

z 2 egal cu modul din 3 plus 4

egal cu radical din 3 la a doua

plus 4 la a doua egal 3 la a doua

este 9 4 la a doua 16 9 plus 16

este 25 iar adică el din 25 este

egal cu 5 vom continua cu punctul

d trebuie să calculăm Z1 plus Z2

conjugat mai întâi voi calcula

2 conjugat dată Z2 este 1 minus

e atunci Z2 conjugat va fi 1 plus

e și acum calculăm 10 unu plus

de doi conjugat vom avea patru

plus 3 plus 1 plus 4 plus 1 este

5 3-a plus e este 4 la punctul

E trebuie să calculăm modul din

Z 1 ori Z 2 Mai întâi vom calcula

produsul Z1 ori Z2 și avem patru

plus 3x înmulțit cu 1 minus e înmulțirea

se face obișnuit ca și la numere

reale Înmulțind 4 cu fiecare număr

din a doua paranteză apoi înmulțim

numărul 3 cu fiecare număr din

a doua paranteză 4 ori 1 este patru

patru ori minus e este minus 4

e 3 ori 1 este trei in trei ori

minus e este minus 3 e pătrat egal

cu 4 minus 4y plus 3y Ela a doua

este minus unu iar minus 3 ori

minus 1 este plus 3 patru uși cu

3 este 7 iar minus 4x plus 3 e

este minus e în continuare vom

calcula modul din z unu ori doi

și avem modul din 7 minus e egal

cu radical din 7 la a doua plus

minus 1 la a doua egal cu radical

7 la a doua este 49 plus 15050

este 25 ori 2 și obținem în final

5 radical din 2 continuăm cu punctul

f trebuie să calculăm Suma de 1

la pătrat plus z 2 la pătrat mai

întâi calculez 1 la pătrat vom

avea 4 plus 3 totul la a doua egal

aici aplicăm formula de calcul

prescurtat a plus b totul la a

doua este egal cu a la a doua plus

doi a b plus b la a doua și vom

avea a 4 la a doua plus doi ori

4 ori 3 plus 3 la a doua egal cu

16 plus 24 3e la a doua este 9

e pătrat dar e pătrat este minus

unu așa dar voi scrie minus 9 egal

16 minus nu este 7 plus 24 e acum

să calculăm 10 2 la pătrat avem

1 minus e totul la a doua aici

aplicăm formula a minus b la a

doua este egal cu a la a doua minus

2ab plus b la a doua și avem unul

la a doua adică 1 minus 2x plus

e la pătrat egal cu 1 minus 2 la

a doua cum spuneam este minus 1

și obținem în final minus doi i

Deci 1 la pătrat plus z 2 la pătrat

va fi egal cu 7 plus 24 minus 2

egal cu 7 plus 22 e și ultimul

punct trebuie să calculăm raportul

Z 1 supra Z2 egal cu 4 plus 3 y

supra 1 minus i pentru a scrie

Acest număr sub forma algebrică

va trebui să amplificăm cu conjugata

numitorului conjugata va fi 1 plus

e și vom avea patru plus 3 pe lângă

1 plus y supra 1 minus e pe lângă

1 plus e egal 4 ori 1 este 4 plus

4x plus 3 plus 3 e pătrat supra

a minus b pe lângă a plus b este

a la a doua minus b la a doua Deci

vom avea 1 la a doua minus y la

a doua egal cu 4 plus 4 și cu 3

e este 7 e trei e la a doua va

fi egal cu minus 3 supra 1 minus

y la a doua este minus unu Deci

avem minus minus unu adică plus

1 egal 4 minus trei este 1 plus

7 supra 2 scrie maces număr sub

forma algebrică și vom avea 1 pe

2 plus 7 pe 2 x un alt exercițiu

Determinați x și y știind că 1

plus 3 înmulțit cu x plus 1 minus

2 înmulțit cu y este egal cu 4

minus i înainte de a rezolva acest

exercițiu trebuie mai întâi să

discutăm puțin despre egalitatea

a două numere complexe dacă avem

numărul complex Z 1 de formă a

1 plus b1e iar Z2 de forma A2 plus

b2e atunci aceste două numere complexe

a sunt egale Dacă și numai dacă

A1 este egal cu a 2 și b 1 este

egal cu b 2 cu alte cuvinte două

numere complexe scrise sub forma

algebrică sunt egale dacă atât

părțile reale cât și părțile imaginare

coincid avem aici o egalitate de

două numere complexe al doilea

număr Complex 4 minus i este scris

sub forma algebrică însă primul

număr complex nu este sub forma

algebrică va trebui mai întâi să

desfacem parantezele să separăm

partea reală de ceai imaginară

iar apoi vom pune condiția ca partea

reală a primului număr complex

să fie egală cu 4 iar partea imaginară

să fie egală cu minus 1 Așadar

mai întâi desface parantezele și

vom avea x plus 3 x y plus y minus

2y e egal cu 4 minus x plus y aceasta

va fi partea reală plus din acești

doi termeni o să îl dăm factor

comun pe și vom avea 3x minus 2y

înmulțit cu e egal cu 4 minus i

și acum vom pune condiția ca x

plus y să fie egal cu 4 iar partea

imaginară adică 3 x minus 2 y să

fie egal cu minus unu Așadar vom

obține un sistem de Două ecuații

cu două necunoscute prima ecuație

a sistemului va fi x plus y egal

4 a doua ecuație va fi 3x minus

2y egal cu minus 1 voi rezolva

si sistem prin metoda reducerii

înmulțim prima ecuație cu 2 vom

obține 2 x plus 2y egal cu 8 și

3x minus 2y egal cu minus 1 adunăm

Cele Două ecuații și avem cinci

X egal cu 7 obținem astfel x egal

cu 7 supra 5 înlocuim valoarea

lui x întruna din ecuații de exemplu

în prima a descriem o dată x plus

y egal cu 4 x este 7 supra 5 De

ce avem 7 pe 5 plus y egal cu 4

rezultă egal cu 4 minus 7 supra

5 y vei fi egal 20 minus 7 13 ce

supra 5 Așadar obținem x egal cu

7 pe 5 y egal cu 13 supra 5

Operații cu numere complexe scrise sub forma algebricăAscunde teorie X

Operații cu numere complexe

z equals a plus b i comma space z apostrophe equals c plus d i comma space a comma space b comma space c comma space d element of straight real numbers.

Adunarea:

z plus z apostrophe equals open parentheses a plus c close parentheses plus open parentheses b plus d close parentheses i

Scăderea:

z minus z apostrophe equals open parentheses a minus c close parentheses plus open parentheses b minus d close parentheses i

Înmulțirea:

z times z apostrophe equals open parentheses a plus b i close parentheses times open parentheses c plus d i close parentheses equals a c minus b d plus open parentheses a d plus b c close parentheses i

Puterile numărului i

i to the power of 4 k end exponent equals 1
i to the power of 4 k plus 1 end exponent equals i
i to the power of 4 k plus 2 end exponent equals negative 1
i to the power of 4 k plus 3 end exponent equals negative i.

Conjugatul unui număr complex

Dacă z = a+bi este un număr complex, atunci conjugatul lui z este numărul:

z with bar on top equals a minus b i.

Proprietăți ale numerelor complexe conjugate:

a right parenthesis space space space space space z plus z with bar on top space element of straight real numbers
b right parenthesis space space space space space z times z with bar on top space element of straight real numbers.
c right parenthesis space space space space stack z plus z apostrophe with bar on top equals z with bar on top plus stack z apostrophe with bar on top
d right parenthesis space space space space stack z times z apostrophe with bar on top equals z with bar on top times stack z apostrophe with bar on top
e right parenthesis space space space space stack open parentheses fraction numerator z over denominator z apostrophe end fraction close parentheses with bar on top equals fraction numerator z with bar on top over denominator stack z apostrophe with bar on top end fraction
f right parenthesis space space space stack z to the power of n with bar on top equals open parentheses z with bar on top close parentheses to the power of n
g right parenthesis space space space stack z with bar on top with bar on top equals z.

Observație. Pentru a demonstra că un număr complex z este real, arătăm că numărul z este egal cu conjugatul său.

z element of straight real numbers left right double arrow z equals z with bar on top.

Raportul a două numere complexe

Pentru a calcula raportul a două numere complexe, se amplifică fracția cu conjugatul numitorului.

Modulul unui număr complex

Dacă z = a+bi este un număr complex, atunci modulul lui z este numărul real pozitiv:

open vertical bar z close vertical bar equals square root of a squared plus b squared end root.

Proprietăți ale modulului:

a right parenthesis space space space space open vertical bar z close vertical bar greater or equal than 0 comma space for all z element of straight complex numbers
b right parenthesis space space space space open vertical bar z close vertical bar equals 0 left right double arrow z equals 0
c right parenthesis space space space space open vertical bar z close vertical bar equals open vertical bar z with bar on top close vertical bar
d right parenthesis space space space space open vertical bar z close vertical bar squared equals z times z with bar on top
e right parenthesis space space space space open vertical bar z times z apostrophe close vertical bar equals open vertical bar z close vertical bar times open vertical bar z apostrophe close vertical bar
f right parenthesis space space space space open vertical bar fraction numerator z over denominator z apostrophe end fraction close vertical bar equals fraction numerator open vertical bar z close vertical bar over denominator open vertical bar z apostrophe close vertical bar end fraction comma space z apostrophe not equal to 0
g right parenthesis space space space space open vertical bar z to the power of n close vertical bar equals open vertical bar z close vertical bar to the power of n
h right parenthesis space space space space open vertical bar z plus z apostrophe close vertical bar less or equal than open vertical bar z close vertical bar plus open vertical bar z apostrophe close vertical bar.

Cumpara abonament
Plătește cu PayPal

Ajutor
Feedback-ul d-voastră este important pentru noi. Dacă observați vreo neregulă vă rugăm să ne-o semnalați apăsând butonul Trimite Feedback de mai jos.

Despre Lecții-Virtuale.ro

Lecții-Virtuale este o platformă educațională care oferă suport în vederea pregătirii pentru Evaluare Națională și Bacalaureat la Matematică, Fizică și Chimie. Lecțiile noastre sunt alcătuite din filme și exerciții și probleme cu tot cu rezolvări. Platforma noastră este o soluție ideală pentru școala online. Pentru facilitarea activității profesorilor în cadrul ecosistemului GSuite de la Google am implementat butonul Google Classroom. Scopul nostru este să ne concentrăm pe prezentarea noțiunilor și fenomenelor într-o manieră care să stimuleze înțelegerea și nu memorarea mecanică. Ne propunem să facilităm accesul la conținut educațional de calitate mai ales elevilor cu venituri mai modeste care nu își pemit meditații particulare. Sperăm să vă simțiti bine alături de noi și să invățați lucruri folositoare. Hai România!

Newsletter

Abonează-te la Newsletter pentru a fi la curent cu toate ofertele noastre.

Parteneri

EduApps partener Lectii Virtuale UiPath partener Lectii Virtuale Scoala365 partener Lectii Virtuale CCD Galați partener Lectii Virtuale

2021 © Lecții-virtuale.ro Toate drepturile rezervate
Termeni   Despre   Contact   Confidenţialitate   Cariere Parteneri