Va rugam dezactivati programul ad block pentru a vizualiza pagina!

Cumpara abonament!
Plateste cu PayPal

Operații cu radicali. Raționalizarea numitorului (II)

Partajeaza in Google Classroom

Partajeaza cu Google Classroom
Susține Lectii-Virtuale!
Pentru a putea vizualiza un video va rugam sa va logati aici! Daca nu aveti cont va puteti inregistra apasand aici.
15 voturi 423 vizionari
Puncte: 10

Transcript



în această secvență vom continua

exercițiile de raționalizarea numitorului

Dar pentru început aș vrea să prezint

câteva formule de calcul prescurtat

pe care le vom aplica în rezolvarea

exercițiilor expresia a la a doua

minus b la a doua se descompune

în factori astfel a minus b pe

lângă a plus b cunoașteți această

formulă încă din clasele mai mici

a treia minus b la a treia se va

Descompune în factori astfel a

minus b pe lângă a la a doua plus

a b plus b la a doua pentru a verifica

acest aspect putem să facem calculele

Haide să desfacem parantezele și

avem a la a treia plus a la a doua

b plus a b la a doua și acum înmulțim

pe b cu fiecare termen din paranteză

și avem minus a la a doua b minus

a b la a doua minus b la a treia

se reduc niște termeni Iată a la

a doua B cu minus a la a doua b

și a b la a doua minus ab la a

doua în final de rămâne a la a

treia minus b la a treia în consecință

formula scrisă Este corectă pentru

a la a patra minus b la a patra

vom avea următoarea descompunere

în factori a minus b pe lângă a

la a treia plus a la a doua b plus

a b la a doua plus b la a treia

Haideți să verificăm Dacă este

corect această formulă desfacem

parantezele și avem ala a patra

plus a la a treia b plus a la a

doua b la a doua plus b la a treia

minus a la 3 la b minus a la a

doua b la a doua minus a b la a

treia minus b la a patra se reduc

termenii a la a treia b minus a

la a treia b avem apoi a la a doua

b la a doua minus a la a doua b

la a doua și ab la a treia minus

ab la a treia în final rămâne a

la a patra minus b la a patra ia

atașa de Artă și această relație

scrisă Este corectă pentru a la

a cincea a minus b la a cincea

vom avea următoarea descompunere

a minus b pe lângă a la a patra

plus a la a treia b plus a la a

doua b la a doua plus b la a treia

plus de la a patra pentru a reține

mai ușor la acest formule Iată

câteva aspecte importante în a

doua paranteză exponenții lui b

cresc Iată aici avem 1 care poate

fi considerat de la zero apoi Bella

întâia b la a doua de la a treia

și Bela a patra exponenții lui

a sunt în ordine descrescătoare

avem ala a patra a la a treia a

la a doua a la 1:01 adică a la

zero și întotdeauna suma exponenților

este 4 în mod asemănător putem

deduce și formula pentru a la 6

minus b la a șasea Mama mea a minus

b pe lângă a la a cincea plus a

la a patra b plus a la a treia

b la a doua plus b la a doua b

la a treia plus a patra plus de

la a cincea și în cazul acesta

expune lui a sunt în ordine descrescătoare

puterile lui b cresc iar suma exponenților

este 5 Haideți acum să scriem descompunerea

în factori pentru expresia a la

n minus b la n Boom avea a minus

b pe lângă a la n minus 1 plus

a la a minus 2 b plus a la minus

3 b la a doua plus puncte puncte

plus penultimul termen va fi a

b la a minus 2 iar ultimul termen

este b la n minus unu acum în cazul

în care avem într un exercițiu

un numitor de forma radical de

ordinul n din A minus radical de

ordinul n din b pentru a elimina

radicali va trebui să această expresie

cu conjugata a astfel încât să

obținem radical de ordinul n din

ei totul la n care este egal cu

a de asemenea radical de ordinul

n din b la n la fiecare b prin

urmare Înmulțind această expresie

cu conjugată a vom obține în final

a minus b și astfel vom reuși să

eliminăm radicalii conjugat aceste

expresii va fi următoarea ne uităm

la Formula scrisă mai sus în cazul

acesta a este radical de ordinul

n din a iar b va fi radical de

ordinul n din b prin urmare conjugată

va fi următoarea radical de ordinul

n din a la n minus 1 plus radical

de ordinul n din a la n minus 2b

radical de ordinul n din a la n

minus 3 b la a doua plus așa mai

departe radical de ordinul n din

a b la n minus 2 plus radical de

ordinul n din b la n minus unu

așa dar atunci când avem numitori

de forma aceasta radical de ordinul

n din A minus radical de ordinul

n din b moment pe fiica ei cu conjugată

acestei expresii care este dată

de relația scrisă în a doua paranteză

și astfel vom reuși să eliminăm

radicalii obținând la numitor a

minus b Haideți acum să vedem cum

vom Descompune în factori expresiile

de formă a la a doua plus b la

a doua a la 3 plus b la a treia

și așa mai departe pentru a la

a doua plus b la a doua nu stema

descompunere în factori Așadar

această expresie nu poate fi descompusă

în factori pentru a la a 3-a plus

b la a treia vom avea următoarea

formulă a plus b pe lângă a la

a doua minus a b plus b la a doua

Haideți să verificăm corectitudinea

acestei relații nu am desface parantezele

și avem ala a treia minus a la

a doua plus b la a doua și acum

înmulțim pe b cu fiecare termen

din a doua paranteză vom avea a

la a doua b minus a b la a doua

plus b la a treia se reduc următorii

termeni minus a la a doua B cu

plus a la a doua b a b la a doua

cu minus a b la a doua prin urmare

ne rămân ala a treia plus b la

a treia Deci formula scrisă Este

corectă pentru a lua a patra a

plus b la a patra nu avem descompunere

în factori ia atașa dar că atunci

când exponenții sunt numere pare

expresiile nu pot fi descompuse

în factori dacă avem ala 5-a plus

b la a cincea această expresie

se va Descompune în factori astfel

a plus b pe lângă a la a patra

minus a la a treia b plus a la

a doua b la a doua minus a b la

a treia plus b la a patra dacă

veți desface parantezele și veți

face calculele Observați că se

vor reduce niște termeni și în

final ne rămâne a la a cincea a

plus b la a cincea să ne uităm

puțin în a doua paranteză observăm

că semnele alternează Deci avem

plus minus plus minus plus de asemenea

observăm că puterile lui b cresc

avem 1 care poate fi considerat

Bella 0 apoi a b la a întâia b

la a doua b la a treia și b la

a patra iar exponenții lui a sunt

în ordine descrescătoare avem a

patra a la a treia a la a doua

a întâia și a la zero în mod asemănător

vom de duce și relația pentru a

la 7 plus b la a șaptea întrucât

pentru el așa se plus b la șasea

nu avem descompunere în factori

și acum să vedem la 7:00 a plus

b la noaptea va fi a plus b pe

lângă a la a șasea minus a la a

cincea B plus a la a patra de la

a doua minus a la a treia de la

a treia plus a la a doua b la a

patra minus 5-a plus de la 6:00

întotdeauna ultimul termen va avea

Semnul plus iar penultima va avea

semnul minus și acum putem să scriem

relația pentru a la n plus b la

n în cazul în care n este număr

impar vom mai avea a plus b pe

lângă a la n minus 1 minus a la

n minus 2 b plus a la a minus 3

b la a doua deci întotdeauna suma

exponenților trebuie să fie n minus

1 minus puncte puncte penultimul

termen va fi a la a minus 2 iar

ultimul termen va fi plus de la

and minus unu în cazul în care

vom avea într un exercițiu un numitor

de formare de cal de ordinul n

din a plus radical de ordinul n

din b va trebui să înmulțim această

expresie cu conjugată a eliminând

astfel radicali și vom obține în

final a plus b pentru că repet

radical de ordinul n din a ridicat

la puterea n este egal cu a și

acum să vedem conjugat acestei

expresii ne uităm la formula de

mai sus iar în loc de ei noi avem

radical de ordinul n din ei prin

urmare radical de ordinul n din

a la n minus 1 minus radical de

ordinul n din a la n minus 2b plus

radical de ordinul n din a la minus

3 b la a doua minus cea mai departe

penultimul termen va fi radical

de ordinul n din a b la n minus

2 iar ultimul termen este radical

de ordinul n din b la n minus 1

să ținem și această formulă care

se va aplica atunci când vom raționaliza

numitorul de forma aceasta radical

de ordinul n din a plus radical

de ordinul n din b aceasta va fi

conjugata iar în final vom elimina

radicalii obținând la numitor a

plus b această formulă se aplică

numai în cazul în care e n este

număr impar Deci n este de forma

2 k plus unu și acum se face un

cont in uare câteva aplicații primul

exercițiu se cere să raționalizăm

numitorul fracției 12 supra radical

de ordinul 3 din 7 minus 1 pentru

a elimina radicalul de la numitor

ar trebui să avem sub radical 7

la a treia Așadar vom folosi următoarea

relație a 3-a minus b la a treia

este egal cu a minus b pe lângă

a la a doua plus a b plus b la

a doua în cazul de față A este

radical de ordinul 3 din 7 iar

b este 1 pentru a obține a la a

treia minus b la a treia trebuie

să amplificăm fracția cu conjugată

aceste expresii iar conjugata este

cea de a doua paranteză Tudor mare

vom amplificat fracția cu următoarea

expresie radical de ordinul 3 din

7 la pătrat plus urmează ab de

radical de ordinul 3 din 7 ori

1 plus b la pătrat adică unul la

pătrat și totul supra radical de

ordinul 3 din 7 minus 1 pe lângă

radical de ordinul 3 din 7 la pătrat

plus radical de ordinul 3 din 7

ori 1 plus 1 la pătrat egal cu

12 pe lângă radical de ordinul

3 din 49 plus radical de ordinul

3 din 7 plus 1 supra la numitor

vom avea a treia minus b la a treia

adică radical de ordinul 3 din

7 ridicat la puterea a treia minus

1 la a treia egal cu 12 pe lângă

radical de ordinul 3 din 49 plus

radical de ordinul 3 din 7 plus

1 supra 7 minus unu șase simplificăm

cu șase și obținem în final 2 pe

lângă radical de ordinul 3 din

49 plus radical de ordinul 3 din

7 plus 1 și ultimul exercițiu se

cere să raționalizăm numitorul

aceste fracții minus 8 supra radical

de ordinul 3 din 5 minus radical

din 3 înainte de a amplifica această

fracție cu conjugată expresie de

la numitor va trebui să aducem

radicali la același ordin observăm

că primul radical este de ordinul

3 iar al doilea radical de este

de ordinul 2 cel mai mic multiplu

comun al numerelor 2 și 3 este

6 așa dar va trebui să amplificăm

radicalii pentru a obține radicali

de ordinul 6 vom avea minus 8 supra

casă obține o radical de ordinul

șase înmulțim cu 2 atât indicele

radicalului cât și exponentul numărului

de sub radical Deci vom avea radical

de ordinul 6 din 5 la a doua și

aici înmulțim cu 3 radical de ordinul

6 din 3 la a treia asta eliminăm

radicalii de la numitori ar trebui

să ridicăm la puterea a șasea fiecare

radical prin urmare vom folosi

următoarea formulă pe care am văzut

o mai devreme a la 6 minus b la

a șasea este egal cu a minus b

pe lângă a la a cincea plus a la

a patra b plus a la a treia b la

a doua plus a la a doua b la a

treia plus abela patra plus de

la cincea În cazul nostru a este

radical de ordinul 6 din 5 la a

doua iar b este radical de ordinul

6 din 3 la a treia prin urmare

noi avem a minus b Deci mai trebuie

să amplificăm fracția cu a doua

paranteză și vom avea egal cu minus

8 pe lângă a la a cincea adică

radical de ordinul 6 din 5 la a

doua totul la a cincea urmează

apoi a la a patra b d c radical

de ordinul 6 din 5 la a doua la

a patra ori b adică radical de

ordinul 6 din 3 la a treia urmează

apoi a la a treia b la a doua deja

dichel de ordinul 6 din 5 la a

doua totul la a treia ori b la

a doua radical de ordinul 6 din

3 la a treia ridicat la a doua

plus a la a doua b la a treia de

radical de ordinul 6 din 5 la a

doua totul la a doua ori radical

de ordinul 6 din 3 la a treia la

a treia Suntem aici Urmează a b

la a patra radical de ordinul 6

din 5 la a doua ori radical de

ordinul 6 din 3 la a treia totul

la a patra și plus b la a cincea

adică radical de ordinul 6 din

3 la a treia totul la a cincea

iar la numitor luăm avea a la 6

minus b la șasea adică radical

de ordinul 6 din 5 la a doua totul

la șasea minus radical de ordinul

6 din 3 la a treia totul la a șasea

egal cu minus 8 pe lângă dar decal

de ordinul 6 din cinci la a zecea

aici înmulțim exponenții plus ai

tu să scriem sub un singur radical

radical de ordinul 6 din cinci

la a opta ori 3 la a treia plus

radical de ordinul 6 din 5 la 2

ori 3 deci 5 la a șasea ori la

fel Avem 3 la a treia totul la

a doua Deci 3 la a 6-a plus radical

de ordinul 6 din 5 la a patra ori

3 la a doua plus radical de ordinul

6 din 5 la a doua ori 3 la a 12-a

Avem 3 la a treia totul la a patra

și plus radical de ordinul 6 din

3 la a 15-a supra 5 la a doua minus

3 la a treia egal cu minus 8 pe

lângă acum vom scoate factorii

de sub radicali acolo unde este

posibil 5 la a zecea este 5:00

la 6:00 ea ori 5 la a patra prin

urmare este un 5 de sub radical

și vom avea cinci radical de ordinul

6 din 5 la a patra plus avem cinci

la a opta care este egal cu 5 la

a șasea ori 5 la a doua Și aici

este un 5 de sub radical și vom

avea cinci radical de ordinul 6

din 5 la a doua ori 3 la a treia

plus Aici este de sub radical atât

5 cât și trei deci vom avea cinci

ori 315 plus 3 la a noua este 3

la 6 ori 3 la a treia De ce avem

trei radical de ordinul 6 din 5

la a patra ori 3 la a treia plus

trei la a este 3 la a doua totul

la a șasea Deci va ieșit de sub

radical 3 la a doua adică 9 radical

de ordinul 6 din 5 la a doua plus

3 la a 15-a înseamnă 3 la a 12-a

ori 3 la a treia Deci va ieșit

de sub radical 3 la a doua 9 radical

de ordinul 6 din 3 la a treia și

totul supra 25 minus 27 minus 2

egal se simplifică minus 8 cu minus

2 și ne rămâne 4 și în continuare

să vedem cea mai putea face putem

de exemplu să mai simplificăm radicalii

și vom avea 4 pe lângă aici simplificăm

cu 2 și ne rămâne radical de ordinul

3 din 5 la a doua plus aici lăsăm

așa sub același radical 5 la a

doua ori 3 la a treia plus 15 plus

copiem și aici 3 radical de ordinul

6 din 5 la a patra ori 3 la a treia

plus aici putem simplifica cu 2

și ne rămâne 9 radical de ordinul

3 din 5 plus 9 ai simplificăm radicalul

cu trei deci rămâne radical de

ordinul 2 din 3 Deci 9 radical

din 3 am răspuns astfel cerinței

exercițiului am reușit să raționalizăm

numitorii cum aceasta ar fi forma

finală Bineînțeles că sub radical

mai putem face calculele însă scopul

acestui exercițiu nu este să învățăm

să efectuăm calculele și să învățăm

operațiile cu radicali de ordin

superior

Operații cu radicali. Raționalizarea numitorului (II)Ascunde teorie X

Raționalizarea numitorului este procedeul prin care transformăm numitorul unei fracții dintr-un număr irațional în număr rațional (eliminând radicalii). Pentru a raționaliza numitorul unei fracții se amplifică fracția cu o expresie care se numește conjugata numitorului.

A. Dacă avem fracții de forma:

fraction numerator x over denominator cube root of a plus-or-minus cube root of b end fraction space s a u space fraction numerator x over denominator cube root of a squared end root plus-or-minus cube root of a b end root plus cube root of b squared end root end fraction

vom aplica următoarele formule în care apar expresii conjugate:

a cubed minus b cubed equals open parentheses a minus b close parentheses open parentheses a squared plus a b plus b squared close parentheses rightwards double arrow a minus b equals open parentheses cube root of a minus cube root of b close parentheses open parentheses cube root of a squared end root plus cube root of a b end root plus b-th root of b squared end root close parentheses
a cubed plus b cubed equals open parentheses a plus b close parentheses open parentheses a squared minus a b plus b squared close parentheses rightwards double arrow a plus b equals open parentheses cube root of a plus cube root of b close parentheses open parentheses cube root of a squared end root minus cube root of a b end root plus b-th root of b squared end root close parentheses

B. Dacă avem fracții de forma:

fraction numerator x over denominator n-th root of a minus n-th root of b end fraction space s a u space fraction numerator x over denominator n-th root of a plus n-th root of b end fraction space left parenthesis n minus i m p a r right parenthesis

vom aplica următoarele formule în care apar expresii conjugate:

a to the power of n minus b to the power of n equals open parentheses a minus b close parentheses open parentheses a to the power of n minus 1 end exponent plus a to the power of n minus 2 end exponent b plus a to the power of n minus 3 end exponent b squared plus... plus a b to the power of n minus 2 end exponent plus b to the power of n minus 1 end exponent close parentheses space rightwards double arrow
a minus b equals open parentheses n-th root of a minus n-th root of b close parentheses open parentheses n-th root of a to the power of n minus 1 end exponent end root plus n-th root of a to the power of n minus 2 end exponent b end root plus n-th root of a to the power of n minus 3 end exponent b squared end root plus... plus n-th root of a b to the power of n minus 2 end exponent end root plus n-th root of b to the power of n minus 1 end exponent end root close parentheses

Dacă n este impar:

a to the power of n plus b to the power of n equals open parentheses a plus b close parentheses open parentheses a to the power of n minus 1 end exponent minus a to the power of n minus 2 end exponent b plus a to the power of n minus 3 end exponent b squared minus... negative a b to the power of n minus 2 end exponent plus b to the power of n minus 1 end exponent close parentheses space rightwards double arrow
a plus b equals open parentheses n-th root of a plus n-th root of b close parentheses open parentheses n-th root of a to the power of n minus 1 end exponent end root minus n-th root of a to the power of n minus 2 end exponent b end root plus n-th root of a to the power of n minus 3 end exponent b squared end root minus... negative n-th root of a b to the power of n minus 2 end exponent end root plus n-th root of b to the power of n minus 1 end exponent end root close parentheses.

 

 

 

Cumpara abonament
Plătește cu PayPal

Ajutor
Feedback-ul d-voastră este important pentru noi. Dacă observați vreo neregulă vă rugăm să ne-o semnalați apăsând butonul Trimite Feedback de mai jos.

Despre Lecții-Virtuale.ro

Lecții-Virtuale este o platformă educațională care oferă suport în vederea pregătirii pentru Evaluare Națională și Bacalaureat la Matematică, Fizică și Chimie. Lecțiile noastre sunt alcătuite din filme și exerciții și probleme cu tot cu rezolvări. Platforma noastră este o soluție ideală pentru școala online. Pentru facilitarea activității profesorilor în cadrul ecosistemului GSuite de la Google am implementat butonul Google Classroom. Scopul nostru este să ne concentrăm pe prezentarea noțiunilor și fenomenelor într-o manieră care să stimuleze înțelegerea și nu memorarea mecanică. Ne propunem să facilităm accesul la conținut educațional de calitate mai ales elevilor cu venituri mai modeste care nu își pemit meditații particulare. Sperăm să vă simțiti bine alături de noi și să invățați lucruri folositoare. Hai România!

Newsletter

Abonează-te la Newsletter pentru a fi la curent cu toate ofertele noastre.

Parteneri

EduApps partener Lectii Virtuale UiPath partener Lectii Virtuale Scoala365 partener Lectii Virtuale CCD Galați partener Lectii Virtuale

2022 © Lecții-virtuale.ro Toate drepturile rezervate
Termeni   Despre   Contact   Confidenţialitate   Cariere Parteneri