Paralelogramul (Teorie)

prin definiție un patrulater cu

laturile opuse paralele se numește

paralelogram observăm că latura

a d este paralelă cu bc și AB este

paralelă cu De ce să vedem care

sunt proprietățile paralelogramului

prima proprietate Laturile opuse

sunt congruente ab va fi congruentă

cu cd iar latura bc va fi congruentă

cu ad Cum putem să demonstrăm această

proprietate o se duce o diagonală

de exemplu ace observăm că stau

format două triunghiuri Triunghiul

abc și triunghiul adc aceste două

triunghiuri sunt congruente deoarece

au următoarele elemente congruente

având în vedere că a d este paralelă

cu bc și ac este secantă atunci

unghiul A1 va fi congruent cu unghiul

c 1 vinde unghiuri alterne interne

Dacă AB este paralelă cu d c iar

a c este secantă unghiul A2 va

fi congruent cu unghiul C doi fiind

de asemenea unghiuri alterne interne

cele două triunghiuri mai au o

latură comună aceasta este latura

AC va rezulta sunt cazului de congruență

unghi latura unghi că cele două

triunghiuri sunt congruente de

ce elementele corespondente vor

fi congruente latura ab va fi congruentă

cu cd iar latura bc va fi congruentă

cu ad congruență acestor două triunghiuri

implică și congruența unghiurilor

b și d aceasta este cea de a doua

proprietate a paralelogramului

unghiurile opuse sunt congruente

Deci unghiul b este congruent cu

unghiul d iar dacă am 2 Să demonstrăm

că unghiul A este congruent cu

unghiul c atunci m duce diagonala

bd sar forma alte două triunghiuri

ia din congruența celor triunghiuri

va rezulta că unghiul A este congruent

cu unghiul c cea de a treia proprietate

a unui paralelogram unghiurile

alăturate sunt suplementare de

exemplu măsura unghiului A plus

măsura unghiului b este egală cu

180 de grade Acest lucru se datorează

faptului că dreptele AD și BC sunt

paralele iar a b fiind o secantă

unghiul A și unghiul b sunt unghiuri

interne de aceeași parte a secantei

Ați învățat în clasa a șasea că

unghiurile interne de aceeași parte

a secantei sunt suplementare Dacă

prelungim latura bc unghiul a va

fie congruent cu acest unghi pe

care îi putem nota cu x pentru

că sunt unghiuri alterne interne

dar unghiul x împreună cu unghiul

b formează un unghi cu măsura de

180 de grade înseamnă că și unghiul

a împreună cu unghiul b sunt suplementare

o altă proprietate a acestui paralelogram

diagonalele se înjumătățesc De

exemplu dacă îl construim diagonalele

ele se intersectează în punct o

atunci AO va fi congruent cu o

c iar b o va fi congruent cu OD

pentru a demonstra această proprietate

se demonstrează congruența triunghiurilor

aob și d o c a b e este paralelă

cu cd iar AC secantă rezultă că

unghiul b a o este congruent cu

unghiul o c d Dacă AB și CD sunt

paralele și Considerăm o altă secantă

b d atunci unghiul o d c va fi

congruent cu unghiul oba fiind

alterne interne a b este congruentă

cu DC pentru că am văzut la prima

proprietate că laturile opuse sunt

congruente și atunci conform cazului

de congruență umblatul unghi va

rezulta că cele două triunghiuri

sunt congruente Iar asta înseamnă

că și segmentele AO și oc vor fi

congruente respectiv b o și o d

rețineți aceste Patru proprietăți

ale paralelogramului pentru a demonstra

ca un patrulater este paralelogram

putem fi să aplicăm definiția adică

Să arătăm că are laturile opuse

paralele două câte două fie aplicăm

una din aceste patru proprietăți

însă mai este și o altă modalitate

de a demonstra ca un patrulater

este paralelogram dacă arătăm de

exemplu ca Acesta are două laturi

opuse paralele și congruente de

exemplu dacă arătăm că a d și b

c sunt paralele și congruente atunci

va rezultat că patrulaterul respectiv

este paralelogram și nu mai e nevoie

să demonstrăm congruența celorlalte

două laturi respectiv relația de

paralelism dintre acestea Haideți

să vedem această teoremă un patrulater

este paralelogram Dacă și numai

dacă are două laturi opuse paralele

și congruente observăm că această

teoremă conține expresia Dacă și

numai dacă înseamnă că această

teoremă este formată din alte două

teoreme teoremă directă și teoremă

reciprocă sârma directă sau implicația

directă este următoarea Dacă un

patrulater este paralelogram atunci

are două laturi opuse paralele

și congruente nu mai e nevoie să

demonstrăm această implicație deoarece

rezultă clar din definiția paralelogramului

și din prima proprietate pe care

am văzut o anterior iar teorema

reciprocă sau implicația inversă

este următoarea Dacă un patrulater

are două laturi opuse paralele

și congruente El este paralelogram

Demonstrați asa implicație inversă

am scris ipoteza și concluzia avem

un patrulater a b c d d a m dată

nu știind că este paralelogram

ne propunem să demonstrăm acest

lucru în patrulaterul a b c d Se

știe că a d este paralelă cu bc

și congruentă cu bc trebuie să

arătăm că a b c d este un paralelogram

și voi folosi definiția paralelogramului

arăta că și celelalte două laturi

a b și b c sunt paralele pentru

aceasta voi construit diagonala

AC Dacă Considerăm dreptele a b

și b c împreună cu secanta a ce

se formează o pereche de unghiuri

alterne interne acestea sunt unghiurile

BAC De ce a Dacă arăt că aceste

două unghiuri alterne interne sunt

și congruente va rezulta că ab

este paralelă cu d c pentru a demonstra

congruență acestor două unghiuri

încadrăm în două triunghiuri voi

arăta că triunghiul ABC este congruent

cu triunghiul c d a iar din congruența

celor două triunghiuri rezultat

și congruența unghiurilor respective

demonstrație Fiind date dreptele

AB și DC iar AC secantă ma rezultat

că unghiul bac împreună cu unghiul

de ce a formează o pereche de unghiuri

alterne interne în continuare vom

arăta că aceste unghiuri sunt congruente

Și atunci vom demonstra că ab este

paralelă cu bc comparăm triunghiul

abc cu triunghiul c d a știm din

ipoteza că b c este congruentă

cu a d mai știm din datele problemei

că a d este paralelă cu bc Dacă

Considerăm secanta AC se formează

două unghiuri alterne interne acestea

sunt unghiurile BCA și de aceea

Rescrie că unghiul BCA este congruent

cu unghiul dac sind unghiuri alterne

interne și observăm că aceste triunghiuri

au o latură comună aceasta este

latura AC segmentul AC este congruent

cu segmentul AC fiind o latură

comună din aceste trei relații

ma rezulta conform cazului de congruență

latura unghi latura a triunghiul

ABC este congruent cu triunghiul

c d a iar din congruență acestor

triunghiuri rezultă și congruența

unghiurilor bac și DCA ia raspuns

și eu unghiuri alterne interne

A rezultat că dreptele a b și b

c sunt paralele notez aceste relații

cu 1 și 2 din unu și doi va rezulta

că ab este paralelă cu bc Așadar

a b c d este un paralelogram