Parte stabilă

în acest videoclip voi Definiți

și exemplificați noțiunile de parte

stabilă și lege de compoziție indusă

Considerăm Mulțimea numerelor complexe

și operația de înmulțire Care este

o lege de compoziție pe mulțimea

numerelor complexe Considerăm două

submulțimi prima submulțime este

formată din elementele 1 minus

1 e și minus e am mitocaș și în

mod Evident este inclusă în mulțimea

numerelor complexe a doua mulțime

este mulțimea formată din elementele

0 1 și 2 și este de asemenea o

submulțime a mulțimii numerelor

complexe să realizăm tabla înmulțirii

pentru elementele din mulțimea

A și apoi să realizăm tabla înmulțirii

pentru elementele mulțimii pe opriți

înregistrarea video și realizați

cele două table de operații Verificați

dacă ați obținut aceste două table

ale înmulțirii Dacă ați efectuat

înmulțirile corect și a ținut cont

că e ori e este pătrat și este

egal cu minus 1 înseamnă că ați

obținut aceleași rezultate ca și

mine să ne uităm la elementele

care apar în cele două tabla pe

care le am realizat puteți observa

că am colorat elementele din fiecare

tablă si e peste tot unde am avut

același element Evident vom vedea

aceeași culoare în tabla înmulțirii

pentru elementele din H constatam

ca toate elementele din interiorul

tablei sunt colorate cu cele patru

culori albastru mov verde sau bej

în cazul tablei operației de înmulțire

pe mulțimea am colorat elementele

mulțimii 0 este albastru nu este

mov 2 este verde constatăm că în

interiorul tablei avem un element

care nu este colorat cu albastru

mov sau verde este vorba de numărul

4 pe care la scris cu alb acest

element nu face parte din mulțimea

am constatat că în interiorul tablei

operației de înmulțire pe H Avem

doar elemente din Hush și vom spune

că h este o parte stabilă a mulțimii

C A mulțimii numerelor complexe

în raport cu operația de înmulțire

constatam ca de fapt pentru mulțimea

Haș înmulțirea este o lege de compoziție

pentru că ia Asociază unei perechi

Din produsul cartezian ori fac

un element din mulțimea h spre

deosebire de înmulțire a Fie mulțimea

care nu mai este o lege de compoziție

internă pentru că 2 ori 2 este

egal cu 4 care nu aparține mulțimii

b și evident 2 este un element

din pentru a defini partea stabilă

și legea de compoziție indusă să

vedem Care sunt elementele definitorii

ale primei situații pentru ca aici

pomeneam la un moment dat că h

este parte stabilă În primul rând

trebuie să avem o mulțime și o

lege de compoziție definită pe

mulțimea Ceia în cazul acestei

situații am pornit cu mulțimea

numerelor complexe a și operația

de înmulțire sau legea de compoziție

înmulțirea apoi am avut o submulțime

a lui c Deci este sub mulțimea

lui c și ea este parte stabilă

pentru ca rezultatul operației

dintre oricare două elemente rămâne

în asta am putea să o scrie oricare

ar fi x si y din mulțimea h x înmulțit

cu y pentru că în cazul nostru

avem operația de înmulțire aparține

lui spuneam că operația de înmulțire

este o lege de compoziție pe H

și vom spune că această lege de

compoziție în cazul nostru înmulțirea

este o lege de compoziție indusă

pe mulțimea h de înmulțirea numerelor

complexe puteam de acum definițiile

celor două noțiuni pe care îl menționăm

chiar la începutul videoclipului

partea stabilă și legea de compoziție

indusă dacă mie este diferită de

mulțimea vidă și avem stea definită

pe amour n cu valori în n o lege

de compoziție pe m sub mulțimea

A inclusă în m este parte stabilă

a lui m în raport cu operația stea

dacă oricare ar fi x și y aparținând

lui a avem x si y aparține lui

a în această definiție este foarte

important să menționăm A cui parte

stabilă a mulțimea A este parte

stabilă a lui m și în raport cu

cine în raport cu operația stea

În condițiile în care a inclusă

în m este o parte stabilă a lui

m în raport cu legea de compoziție

stea spunem că această lege de

compoziție definită pe produsul

cartezian a ori a cu valori in

a este o lege de compoziție indusă

pe ei de către legea de compoziție

stea voi da acum câteva exemple

Considerăm Mulțimea numerelor complexe

și operația de adunare n z q r

Toate sunt foarte stabile ale lui

c în raport cu adunarea în mod

Evident toate sunt submulțimi ale

mulțimii numerelor complexe a și

de exemplu dacă adunăm două numere

raționale rezultatul Va fi totul

număr rațional al doilea exemplu

Considerăm tot mulțimea numerelor

complexe de data asta operația

de înmulțire n z q r vor fi parte

stabilă a lui c în raport cu înmulțirea

al treilea exemplu Considerăm Mulțimea

numerelor naturale și operația

de adunare notam cu p mic n mare

tatai elementele de forma pamuk

Ori n unde n este un număr natural

de ce Aici este vorba de multiplii

lui pe fiind la rândul lui un număr

natural această mulțime va fi parte

stabilă a lui n în raport cu adunarea

în primul rând este un suc mulțime

A mulțimii numerelor naturale pentru

că de fapt fiecare element al acestei

mulțimi se obține ca produs de

două numere naturale și dacă adunăm

două elemente din an rezultatul

rămâne în n Dacă adunăm doi multipli

Dacă vom obține totul multi plouă

de aseară al patrulea exemplu Considerăm

Mulțimea numerelor naturale și

operația de înmulțire aceeași mulțime

va fi parte stabila lui n în raport

cu înmulțirea puneam înainte că

este submulțime a mulțimii numerelor

naturale și dacă înmulțim doi rezultatul

va fi de asemeni un multiplu de

pe al cincilea exemplu Considerăm

Mulțimea matricilor pătratice de

ordin n cu elemente din mulțimea

numerelor complexe și operația

de înmulțire mulțimea s Care este

mulțimea matricilor inversabile

Ia stai o parte stabilă a mulțimii

matricilor pătratice în raport

cu operația de înmulțire Este evident

ca s este o submulțime a mulțimii

matricilor pătratice și dacă înmulțim

două matrici inversabile rezultatul

va fi tot o matrice inversabilă

voi discuta în continuare despre

cum abordăm rezolvarea exercițiilor

în care să cereți Să demonstrăm

că o mulțime este parte stabilă

a unei alte mulțimi raport cu o

lege de compoziție În primul rând

depinde de mulțime Dacă mulțimea

este finită atunci procedăm ca

și în cazul acestui exemplu scriam

tablă operației și ne uităm dacă

în interiorul tablei Avem doar

elemente din mulțimea care trebuie

să arătăm că este parte stabilă

pentru a arăta cum procedăm în

cazul unei mulțimi Infinite voi

considera următorul exercițiu Se

consideră mulțimea numerelor reale

și legea de compoziție cerc x compus

cu y egal cu x y minus 2 pe lângă

x plus igrec 6 pentru orice x y

din r se consideră intervalul închis

2 plus infinit aparține lui r Să

se arate că x este parte stabilă

a lui R în raport cu operația cer

pentru a rezolva acest exercițiu

ne vom folosi de definiția părții

stabil adică știm că este parte

stabilă a lui R în raport cu operația

cerc dacă pentru orice x și y din

x rezultă că x compus cu y aparține

2 adică avem de arătat aceasta

implicația pentru a demonstra implicația

să punctăm ceea ce știm ce Da ca

x este un element oarecare din

efin intervalul 2 plus infinit

înseamnă că x aparține intervalului

închis 2 plus infinit adică x mai

mare sau egal cu doi adică x minus

doi este mai mare sau egal cu 0

același lucru și pentru Y5 ăsta

un element oarecare din Isa adică

aparține intervalului închis tu

lui plus infinit ceea ce înseamnă

că y este mai mare sau egal cu

doi adică y minus 2 mai mare sau

egal cu 0 cine se mai dă definiția

legii de compoziție x compus cu

y este egal cu x minus 2 pe lângă

x plus igrec plus 6 ce trebuia

să demonstrăm nu ai treabă Elsa

aratam ca x compus cu y este din

mulțimea i s fiind interval închis

2 plus infinit înseamnă că trebuie

să arătăm că x compus cu x aparține

intervalului închis 2 plus infinit

adică x compus cu y este mai mare

sau egal cu doi adică x compus

cu x minus 2 este mai mare sau

egal cu 0 Deci trebuie să arătăm

că x compus cu y minus doi este

mai mare sau egal cu zero ceea

ce echivalentă cu x y înlocuim

x compus cu igrec ouă x x minus

2 pe lângă x plus y plus 6 deci

vom avea x y minus 2 pe lângă x

plus y plus 6 minus 2 mai mare

sau egal cu 0 desfacem paranteza

și efectuăm 6 minus 2 și obține

mic si y minus 2x minus 2y plus

4 mai mare sau egal cu 0 gropan

primii doi termeni și dau un factor

pe x grupăm ultimii doi termeni

și dăm Factor pe minus 2 vom obține

x pe lângă y minus 2 minus 2 pe

lângă x y minus 2 mai mare sau

egal cu zero adică y minus doi

ori x minus 2 mai mare sau egal

cu 0 Deci dai ca să arătăm că x

compus cu y aparține lui e trebuie

să arătăm că e y minus 2 pe lângă

x minus 2 este mai mare sau egal

cu 0 dar noi știm că x minus doi

este mai mare sau egal cu 0 și

y minus doi este mai mare sau egal

cu 0 Deci avem un produs de doi

factori în care știind că fiecare

factor este pozitiv înseamnă că

relația este adevărată ceea ce

înseamnă că x compus cu y aparține

lui r să nu uitam x compus cu y

y aparține lui n pentru orice x

și y din înseamnă că am arătat

că este parte stabilă a lui R în

raport cu operația de opunere cooperația

cer