Patrulater inscriptibil (aplicații)

rezolvăm în continuare următoarea

problemă fie MNP un triunghi a

este mijlocul laturii NP b este

mijlocul laturii m p m c este perpendiculară

pe m p p d este perpendiculară

pe MN și am notat cu h punctul

de intersecție dintre dreptele

Mc și PD cu alte cuvinte punctul

H este ortocentrul triunghiului

Deoarece m c și p d sunt înălțimi

Fie m mijlocul segmentului m h

Demonstrați că patrulaterul ABC

este inscriptibil pentru a demonstra

că acest patrulater este inscriptibil

vom demonstra că acesta are două

unghiuri opuse suplementare mai

exact O Să arătăm că unghiurile

a b și e c a sunt suplementare

având în vedere că măsura unghiului

c este de 90 de grade mai trebuie

doar să arătăm că măsura unghiului

abe este de 90 de grade dacă a

și b sunt mijloacele laturilor

m p și m p înseamnă că ab este

linie mijlocie în triunghiul mnp

și atunci AB este paralelă cu MN

să scriem acest lucru a este mijlocul

segmentului NP b este mijlocul

segmentului mp și atunci ab va

fi linie mijlocie în triunghiul

MNP prin urmare a va fi paralelă

cu MN dacă a este mijlocul segmentului

mp iar b este mijlocul lui m p

înseamnă că ab e este linie mijlocie

în triunghiul m h p este mijlocul

segmentului m h b este mijlocul

segmentului mp și atunci ib va

fi linie mijlocie în triunghiul

MNP rezulta ca e b e este paralelă

cu HP dar observăm că mn este perpendiculară

pe dreapta HP având în vedere că

PD era înălțime dacă MN este perpendicular

pe h p iar a b este paralel cu

m n și a b este paralel cu h p

atunci va rezulta ca aceste două

drepte AB și ab sunt la rândul

lor perpendiculare m n este perpendiculară

pe HP pentru că dreapta b d este

înălțime și atunci din aceste trei

relații pe care să le notez cu

1 2 și 3 din relațiile 1 2 și 3

la rezultat că ab este perpendiculară

pe a b Dacă aceste două drepte

sunt perpendiculare înseamnă că

aici avem un unghi drept Așadar

măsura unghiului abm este egală

cu 90 de grade dar știm din ipoteze

că și măsura unghiului BCA este

egală cu 90 de grade pentru că

m c era perpendiculară pe NP și

atunci din aceste două relații

rezultă că aceste două unghiuri

sunt suplementare pentru că măsura

unghiului abm plus măsura unghiului

a c a este egală cu 180 de grade

prin urmare patrulaterul a b e

c este inscriptibil cu alte cuvinte

punctele a b și c sunt puncte conciclice

deoarece există un cerc care să

treacă prin aceste patru puncte