Piramida hexagonală regulată (aplicații)

să rezolvăm acum o aplicație cu

piramida triunghiulară regulată

și avem această problemă între

o piramidă triunghiulară regulată

se dă înălțimea de 4 cm metri deci

o are 4 cm și măsura diedrului

format de o față laterală cu planul

bazei este de 30 de grade să aflăm

aria laterală aria totală și volumul

Ce este acela diedru pentru că

se spune măsura diedrului format

de o față laterală cu planul bazei

pe Să ne amintim că un unghi diedru

este un unghi format de două plane

și planele care sunt date aici

Sunt o față laterală de exemplu

V a B acesta n și planul bazei

deci a b c care este unghiul făcut

de planele V a b și a b c d pentru

aceasta trebuie să construim un

unghi plan al diedrului adică pe

muchia comună a celor două plane

adică muchia diedrului care aici

este ab ab este dreapta cuprinsă

inclusă în planul vab și în planul

abc pe această muchia diedrului

trebuie să alegem un punct iar

în punctul respectiv vom duce o

perpendiculară pe dreapta ab acea

dreaptă va fi inclusă în planul

vab și același lucru îl vom face

și pentru planul abc vom duce o

dreaptă perpendiculară pe AB și

inclusă în acest plan abc și de

vreme ce vorbim de o piramidă triunghiulară

regulată adică triunghiul bazei

este echilateral triunghiul vab

este isoscel atunci cel mai simplu

este să alegem mijlocul segmentului

AB de și trec aici mijlocul segmentului

AB atunci ce reprezintă v m v ă

m este mediană în triunghiul abe

Dar pentru că triunghiul este isoscel

de bază ab înseamnă că vm este

chiar înălțime în acest triunghi

Deci avem aici un unghi de 90 de

grade bun Ce reprezintă cm Pe ce

îmi este mediană în triunghiul

ABC cu triunghiul echilateral înseamnă

că cm este și înălțime Păi ce am

obținut am construit acele perpendiculare

inclusă în cele două plane perpendicularele

sunt pe dreapta ab în același punct

dacă unghiul plan al diedrului

este unghiul v m c și atunci Haideți

să notăm ca să facem o rezolvare

riguroasă Deci triunghiul abe sau

mai bine zis să începem așa cu

construcția noastră Deci construim

punctul m astfel încât a m segmentul

a m e congruent cu segmentul MB

Nu e neapărat să trecem congruență

de segmente putem să trecem și

egalitate de lungimi de segmente

construim punctul m astfel încât

m se află la mijlocul distanței

între a și b acum triunghiul vab

este un triunghi isoscel cu baza

BC M pardon cu baza ab știind că

BM este mediană Ce rezultă că vm

este și înălțime vm perpendicular

pe AB bun triunghiul ABC același

lucru vomota și pentru triunghiul

ABC care atenție este un triunghi

echilateral si m este mediană atunci

co să rezulte că ce e m este și

înălțime de cm este perpendiculară

tot pe AB și acum am obținut vm

și cm perpendiculare pe AB putem

să notăm că planele V a b și a

b c se intersectează după dreapta

ab dacă vrem să fim chiar riguroși

scriem și că vm este inclusă în

planul V a b și c m este inclusă

în planul bazei adică a b c din

toate aceste câte sunt câte relații

avem unul doi trei patru cinci

din toate aceste cinci relații

Ce rezultă o să scriu aici rezultă

că măsura unghiului format de planele

vab Deci acest plan planul V a

b cu planul ABC este de fapt egal

cu măsura unghiului făcut de dreptele

BM și cm cu alte cuvinte ce unghii

avem ce obținem avem unghiul măsura

unghiului Ia să vedem ce adică

acest unghi Sau dacă vreți unghiul

v m o pentru că punctele c o și

m sunt coliniare Deci acest unghi

avem vm si care e același cu unghiul

v m o cu alte cuvinte putem să

scriem că avem aici 30 de grade

toate datele sunt trecute pe figură

Haideți atunci să ștergem tot ce

am notat aici Și atunci să găsim

acum aria laterală Care e formula

aria laterală este egală cu produsul

dintre perimetrul bazei ori apotema

piramidei supra doi Deci avem nevoie

de perimetrul bazei adică lungimea

muchiei bazei și de apotema piramidei

care ia dă este reprezentat aici

dvm Păi ce să aflăm foarte simplu

putem să aflăm apotema piramidei

pentru că triunghiul v om Ce fel

de triunghi este este un triunghi

dreptunghic în o avem aici 90 de

grade și atunci Haideți să notăm

triunghiul v om este dreptunghic

în o triunghiul v o m măsura unghiului

o are 90 de grade și ce putem să

facem ca să determinăm lungimea

ipotenuzei Păi fie aplicăm o formula

sinusului Care este cateta opusă

adică vreo pe care o cunoaștem

supra ipotenuză Sau dacă vreți

putem să aplicăm teoremă unghiului

de 30 de grade Haide să aplicăm

teoremă unghiului de 30 de grade

care ne spune că într un triunghi

dreptunghi cateta opusă unghiului

de 30 de grade are lungimea egală

cu jumătate din lungimea ipotenuzei

Deci un v o este egală cu lungimea

ipotenuzei v m supra doi de unde

rezultă că vo Care este 4 egal

cu z m supra 2 înseamnă că obținem

că bem chiar să facem în așa fel

încât să ne încadrăm între un singur

rând Deci vom obține că vm are

patru ori 2 8 cm și atunci vom

șterge aici și deja scrie încă

avem 8 cm bun cum determinăm acum

lungimea muchiei bazei adică a

bad exemplu Păi ca să determinăm

lungimea muchiei bazei vom găsi

mai întâi Cât este apotema bazei

om după ce am găsit Cât este om

îl găsim foarte ușor pe cm și cm

este înălțime în triunghiul a b

c și știind că există o formulă

care leagă înălțimea în triunghi

echilateral de latura triunghiului

echilateral Deci mai întâi Vrem

să aflăm Cât este om foarte simplu

fie aplicăm Pitagora În triunghiul

vom da sau putem să aplicăm formula

cosinusului cosinus de m Haideți

să facem astfel să aplicăm formula

cosinusului Deci în același triunghi

cosinus de unghiul m este egal

cu ce vom obține trecem raportul

cateta alăturată unghiului m adică

om supra ipotenuză v e rezultă

că Haideți să scriem aici că avem

un v m rezultă că cosinus de 30

de grade va fi egal cu om pe care

vrem să îl aflăm supraveghem care

are 8 cm Cât este cosinus de 30

de grade avem radical din 3 supra

2 egal cu om supra 8 cât ne rezultat

unci că este om trecem aici o m

este egal cu avem 8 radical din

3 supra 2 10 obținem patru radical

din trei și dacă o să reușim să

scriem aici Deci patru să trecem

cu alb patru ori radical din 3

Atât este om acum dacă știm pe

de rost forum la care leagă apotema

bazei întru asemenea piramidă de

muchia bazei fie dacă nu ne bazăm

pe o asemenea formulă atunci o

deducem personal prefer să deduc

ca să nu fiu nevoită să rețin prea

multe formule așa că știu că apotema

bazei adică om are 4 radical din

3 cm Ce legătură este între om

și cm o este centrul de greutate

al triunghiului ABC C M este mediană

asta înseamnă că om acest segment

are lungimea egală cu o treime

din lungimea medianei adică cm

supra 3 și rezultă de aici că cm

Cu cât este egală cu 3 ori om 3

înmulțit cu o m adică avem trei

înmulțiri cu 1000 este 4 radical

din 3 De ce obținem 12 radical

din 3 cm bun atât este însă cm

mai este înălțime Iată În triunghiul

abc cm înălțime În triunghiul abc

care Ce fel de triunghi este este

un triunghi echilateral o să scriu

așa liniuță echilateral atunci

rezultă că noi știm deja formula

pentru înălțimea în triunghi echilateral

și anume Deci avem aici m Dacă

trecem dacă notăm latura triunghiului

ABC cu l mic avem l mic radical

din 3 supra 2 vom obține din aceste

două relații altă pe de o parte

știind că cm este chiar o să subliniez

ce este 12 la de cal din 3 cm și

Pe de altă parte cm este el radical

din 3 pe 2 rezultă că e l mic radical

din 3 supra 2 ce avem aici este

egală cu 12 radical din 3 simplificăm

pe radical din 3 cu radical din

3 ca și cum am împărțit această

egalitate la radical din trei deci

rezultă că el supra 2 ne dă 12

adică el este egal cu 24 de cm

venim aici putem să ștergem trecem

direct că avem 24 de cm în acest

moment avem tot ce ne trebuie ca

să calculăm aria laterală totală

și volumul Deci o să ștergem tot

ce am notat aici în afară de formula

pentru aria laterală și venim și

calculăm aria la era ala este egală

cu perimetrul bazei Păi avem 24

ori 3 înmulțit cu apotema piramidei

Care este 8 supra doi și avem aici

putem să simplificăm prin doi ne

rămâne unul și patru patru ori

3 12 ori 24 ne de 288 cm pătrați

aria totală este egală cu aria

laterală plus aria bazei aria totală

a tunci este egală cu avem 288

plus aria bazei Latura este de

24 Avem așa 24 sau chiar o să scriu

aici aria bazei ne dă 24 la a doua

radical din 3 supra 4 de unde vom

obține aici Dacă simplificăm 124

cu 4 o să ne rămână 6 ori 24 ore

Adi cal din trei deci 144 radical

din 3 centimetri pătrați și adunăm

aici plus 144 radical din 3 de

fapt putem să dăm factor comun

aici pe 144 pe lângă 2 plus radical

din 3 cm să trecem așa între o

paranteză pătrată ca să scriem

aici centimetri pătrați volumul

este egal cu aria bazei ori înălțimea

supra 3 rezultă că volumul Nevada

avem aria bazei 144 ori radical

din 3 înmulțit cu înălțimea Care

este 4 supra 3 simplificăm aici

pe 144 cu 3 vom obține 1 144 împărțit

la 3 48 și vom avea 48 ori 4 192

radical din 3 cm cubi