Pozițiile relative a două drepte în spațiu
Tag-uri
Partajeaza in Google Classroom
Transcript
să numărăm acum pozițiile relative
a doua drepte în spațiu cu alte
cuvinte să vedem ce fel de drepte
putem întâlni în spațiu și începem
cu dreptele paralele a paralel
cu b drepte concurente dreapta
c și dreapta d se intersectează
în tu un singur puncte ale numind
drepte concurente mai avem și drept
a suprapuse dreapta D1 coincide
cu dreapta D2 le putem numi și
drepte confundate și toate aceste
tipuri de toate aceste poziții
ale dreptelor le am întâlnit un
plan însă în spațiu putem întâlni
și drepte necoplanare și le Reprezentăm
astfel o dreaptă o Reprezentăm
cu o linie continuă și cealaltă
cu o linie întreruptă De ce facem
această reprezentare pentru că
dreptele nu au niciun punct în
comun deci a prim tot cu batran
este mulțimea vită și în același
timp ele nu sunt drepte paralele
a prim nu este paralel cu b prim
dreptele care nu sunt paralele
și nu au niciun punct în comun
se numesc drepte necoplanare deci
a prim și b prim sunt asemenea
dreptei toate celelalte drepte
cele paralele concurente și suprapuse
sunt drepte coplanare Ce înseamnă
drepte coplanare Haideți să ne
amintim două drepte se numesc drepte
coplanare dacă ele sunt incluse
în același plan foarte cuvinte
dacă există vreun plan care să
conțină ambele drepte dreptele
necoplanare sunt dreptele care
nu îndeplinesc această condiție
cu alte cuvinte Două drepte se
numesc drepte necoplanare dacă
nu există nici un plan care să
conțină ambele drepte și Haideți
să facem acum acest exercițiu mi
se dă cubul a b c d a prim b prim
c prim D prim și vrem să stabilim
poziția relativă a unor drepte
date și să justificăm vom face
câteva justificări pe scurt să
vedem cum sunt dreptele AB și DC
dreapta AB și DC Păi e ușor să
ne dăm seama pentru că având aici
un cub înseamnă că a b c d este
pătrat prin urmare a b este paralel
cu dc de ceai de să notăm a b c
d pătrat rezultă că a b dreapta
AB este paralelă cu dreapta DC
următoarea întrebare a b și b prim
c prim deci a b această dreaptă
și D prim c prim bun Cum sunt acestea
două drepte Păi Haideți să ne uităm
în acest patrulater e atât maici
pe D prim cu a și aici pe ce princube
Ce este patrulaterul a b c prim
D prim Este un paralelogram de
fapt putem Să arătăm că ele chiar
dreptunghi este suficient Să arătăm
că e paralelogram Pentru a stabili
poziția dreptelor AB și D prim
c prim Cum arătăm că este paralelogram
e foarte simplu a b este congruent
cu d prim c prim pentru că avem
aici un cub de scoatem muchiile
sunt congruente Haide să notăm
a b este congruent sau putem să
spunem egal ne referim la lungimile
lor egal cu d prim c prim bun Cum
sunt bc prim acest segment bc prim
și AD prim Păi fie putem să ne
gândim în felul următor avem aici
și triunghiul c prim c b și triunghiul
d prim d a avem aici un unghi de
90 de grade la fel și aici Deci
avem Două triunghiuri dreptunghice
Cum toate muchiile sunt congruente
înseamnă că c prim Ce este congruent
cu d prim d si b este congruent
cu a d prin urmare cele două triunghiuri
acesta și acesta sunt triunghiuri
congruente de ceai de să notăm
triunghiul d prim d a d prim D
A este congruent cu triunghiul
c prim c b Haideți să scriem aici
Ce rezultă că bc prim este egal
cu a d prim Păi din aceste două
relații cum avem acest segment
congruent cu acesta acesta este
congruent cu acesta Uite chiar
o să știi notez acesta este congruent
cu acesta atunci rezultă din proprietățile
paralelogramului că a b c prim
D prim Este un paralelogram dacă
el este paralelogram atunci e ușor
de Don seama că a b paralel cu
d prim c prim d c rezultă a b paralel
cu d prim c prim ca Să arătăm congruența
bc prim congruent cu a d prim puteam
să ne gândim și în felul următor
avem aici pătratul b c c prim b
prim care este congruent cu pătratul
a d d prim a prim finul mare din
pătrate congruente cu bc prim și
AD prim sunt diagonale în aceste
pătrate înseamnă că și le sunt
Deci puteam să facem și astfel
următoarea întrebare să vedem cum
sunt dreptele bc prim și ab Haideți
să ștergem aici ca să vedem despre
ce drepte discutăm de bc prim și
ab Cum sunt aceste drepte cu ele
se intersectează în punctul B deci
putem să notăm că bc prim intersectează
dreapta a b în punctul B sunt două
drepte cu un singur punct de intersecție
înseamnă că vorbim de drepte concurente
Cum sunt dreptele d o și o b unde
o este punctul de intersecție al
dreptelor a c și b d și d b d a
c intersectat cu d b Iată avem
aici punctul O Cum sunt dreptele
d o și b o Păi de fapt să îndrepte
suprapuse una și aceeași treaptă
deci putem să notăm aici că de
o este egal cu o b avem drepte
confundate cum sunt acum dreptele
a b și b prim c prim Deci avem
așa să ștergem ce am trasat a b
și b prim c prim iar acestea două
observăm că dreptele nu se intersectează
și ele nu sunt nici paralele de
fapt avem drepte necoplanare Cum
arătăm însă că aceste două drepte
sunt necoplanare Păi folosind metoda
reducerii la absurd presupunem
că ele ar fi coplanare Deci presupunem
prin absurd că există un plan de
ce există Alfa plan care conține
în același timp și dreapta AB deci
a astfel încât ab este inclus în
Alfa și b prim c prim această dreaptă
este și a inclus în Alfa și vrem
să ajungem la o contradicție la
o relație matematică falsă și atunci
înseamnă că presupunerea noastră
este și ea falsă Deci nu există
un plan alfa care să conțină simultan
dreptele a b și b prim c prim mod
Deci am presupus că există un plan
care conține dreapta a b și dreapta
b prin c prin Ce rezultă de aici
Păi înseamnă că aceste puncte a
b Deci notăm a b b prim și c prim
c cu ele fac parte din planul alfa
Deci aparțin toate planului Alfa
însă Cum sunt cele patru puncte
sunt necoliniare de fapt oricare
trei dintre aceste patru puncte
sunt necoliniare c și noi despre
trei puncte necoliniare că le determină
un plan unic de ceai de să alegem
trei din aceste puncte oricare
trei dorim pentru oricare trei
sunt necoliniare de exemplu pe
alegem pe primele 3 a b și b prim
sunt necoliniare și Ce rezultă
Păi din axiomă planului a scrie
așa chioma planului trei puncte
necoliniare determină un plan unic
dar în același timp acestea trei
puncte aparțin și planului Alfa
Ce înseamnă asta înseamnă că Alfa
e planul determinat de aceste trei
puncte de sigle cu planul a d d
prim bun Ce mai știm noi despre
planul alfa că el conține și punctul
c prim asta înseamnă că punctul
c prim aparține acestui plan Deci
din aceste două relații de această
relație și din aceasta înseamnă
că c prim aparține planului a b
b prim Păi ai de tren pe figura
planul a b b prim e de fapt la
anul a b b prim a prim bun și am
obținut că c prim aparține acestui
plan pe imposibil pentru că noi
avem aici un cub Deci iată că am
obținut o contradicție facem acest
semn de săbii încrucișate prin
urmare presupunerea noastră este
falsă Deci nu există am tăiat acest
semn avem nu există Alfa plan astfel
încât Alfa să conțină simultan
și dreapta AB și dreapta b prim
c prim prin urmare cele două drepte
a b și b prim Prin ce fel de drepte
sunt sunt drepte necoplanare și
am făcut Iată și demonstrația