Prezentarea metodei inducției matematice

în multe probleme de matematică

trebuie să demonstrăm propoziții

ce depinde un număr natural n metoda

folosită se numește metoda inducției

matematice și în continuare o să

prezentăm această metodă pornind

de la urmatorul exemplu avem propoziția

pe care am notat ocupi de an 1

plus 2 plus 3 plus puncte puncte

plus n egal cu n pe lângă n plus

1 supra 2 oricare ar fi n număr

natural diferit de zero prin urmare

vrem să demonstrăm că suma primelor

n numere naturale este dată de

Formula scrisă în membrul Drept

metoda inducției matematice are

două etape prima este etapa de

verificare în care verificăm dacă

propoziția pe DN este adevărată

pentru primele valori pe care le

poate lua n din moment ce an este

diferit de zero înseamnă că prima

valoare pe care o poate lua n este

unul prin urmare vrem să verificăm

dacă propoziția pe D1 este o propoziție

adevărată din moment ce pdn este

o sumă de n termeni înseamnă că

BD 1 va avea un singur termen mai

exact 1 egal în această formulă

înlocuind pe n cu 1 și avem 1 pe

lângă 1 plus 1 supra 2 1 este egal

cu aici Avem doi supra 2 se simplifică

2 și ne rămâne unul am ajuns la

o relație adevărată prin urmare

Propoziția pd-1 este adevărată

să vedem dacă este adevărată și

propoziția pe d2 dacă Înlocuim

pe an cu doi în această sumă înseamnă

că ultimul termen al sumei va fi

doi Deci avem suma primelor două

numere naturale 1 plus 2 înlocuind

pe aer cu doi în această formulă

și obținem 2 pe lângă 2 plus 1

supra 2 1 plus 2 este 3 se simplifică

doi cu doi doi plus unu trei prin

urmare propoziția pe de doi este

adevărată să vedem dacă este adevărată

și propoziția pe D3 dacă Înlocuim

pe n cu 3 în membrul stâng înseamnă

că ultimul termen al sumei este

3 Prin urmare avem suma unu plus

doi plus trei egal și acum Înlocuim

pe n cu 3 în această formulă și

obținem 3 pe lângă 3 plus 1 supra

2 unu plus doi plus trei este 6

aici avem trei ori 4 12 supra 2

adică 6 în urmare iată că și propoziția

Play de trei este adevărată din

moment ce pd-1 și pe de doi sunt

propoziții adevărate înseamnă că

are loc implicația pe D1 implică

pe d2 dar și propoziția pd3 este

adevărată înseamnă că pe D2 implică

pe D3 și am putea să continuăm

acest șir însă în continuare o

să demonstrăm că propoziția pe

dk implică pdk plus 1 oricare ar

fi ca apa un număr mai mare sau

egal cu 3 iar această etapă se

numește etapa de demonstrație prin

urmare ne propunem să demonstrăm

că are loc această implicație pdk

implică pedica plus 1 oricare ar

fi ca apa mai mare sau egal cu

3 și pentru a demonstra această

implicație o Să presupunem că propoziția

Petrica este adevărată și demonstrăm

pe baza acesteia că propoziția

pdk plus unu este adevărată acum

se pune întrebarea de ce Să presupunem

că PD ca este adevărată Ce se întâmpla

dacă nu ar fi Păi răspunsul la

această întrebare este dat de tabelul

de valori pe care îl am văzut atunci

când am studiat implicația a două

propoziții iată în cazul în care

propoziția pe este falsă atunci

implicația este adevărată indiferent

de valoarea de adevăr a propoziției

q prin urmare nu prea are sens

să studiem cazul în care pdk este

falsă pentru că în acest caz implicația

este adevărată o să pornim de la

ipoteza că pdk este adevărată iar

dacă reușim să demonstrăm că și

propoziția PD ca plus 1 este adevărată

atunci implicația va fi adevărată

iar dacă această implicații este

adevărată pentru orice număr ca

mai mare sau egal cu 3 înseamnă

că propoziția pdn va fi adevărată

oricare ar fi n număr natural diferit

de 0 mare Haide să scriem propoziția

pe ca avem suma primelor k numere

naturale Deci unul cu imp n cu

k atât în membrul stâng cât și

în membrul Drept 1 plus 2 plus

3 plus puncte puncte plus k egal

cu k pe lângă k plus 1 supra 2

iar Aceasta este o propoziție adevărată

acum să scrie în expresia pentru

propoziția pe deca plus 1 pe de

că a plus 1 se obține înlocuind

pe n cu k plus 1 atât în membrul

stâng cât și în membrul Drept avem

1 plus 2 plus 3 plus puncte puncte

ultimul termen este ca plus 1 dar

termenul situat înaintea acestuia

este k și o să îl scriem și pe

acesta plus k plus 1 egal în loc

de n scriem k plus 1 și avem k

plus 1 pe lângă aici o să avem

ca Plus 1 plus 1 adică k plus 2

paturi supra 2 nu știm dacă această

propoziție este adevărată dorim

să demonstrăm acest lucru pornind

de la faptul că pdk este adevărată

observăm că în cadrul expresiei

pdk plus 1 avem suma primelor ca

numere naturale dar aceasta este

propoziția pdk din moment ce pdk

este adevărată înseamnă că putem

să înlocuim această sumă cu formula

scrisă aici și o să avem k pe lângă

ca plus 1 supra 2 plus urmează

acuma si stermin apa plus 1 egal

să facem calculele aici aducem

la numitor comun amplificăm cu

doi și o să avem k pe lângă k plus

1 plus 2 pe lângă k plus 1 totul

supra 2 egal putem să dăm factor

comun la numărător pe k plus unu

și obținem k plus 1 pe lângă k

plus 2 totul supra 2 dată deci

că am ajuns la aceeași formulă

care se regăsește și în expresia

pe D că a plus 1 prin urmare propoziția

pedica plus unu este adevărată

Atunci înseamnă că are loc și această

implicație pdk implică pe D că

a plus 1 iar dacă implicația aceasta

este adevărată rezultă că propoziția

pdn este adevărată oricare ar fi

n număr natural diferit de 0 filmare

să reținem că metoda inducției

matematice are două etape etapa

de verificare în care verificăm

dacă propoziția pe DN este adevărată

pentru prima valoare pe care o

poate lua and eu aici am verificat

și propozițiile pe D2 și D3 Însă

este suficient să verificăm propoziția

pd-1 Iar pe viitor o să ne limităm

la acest caz apoi a doua etapă

este etapa de demonstrație în care

demonstrăm că are loc implicația

pdk implică pe deca plus unu dacă

petca este falsă atunci automat

implicația va fi adevărată Deci

pornind de la ipoteza că PD ca

este adevărată pe baza acesteia

demonstrăm că și propoziția pe

ca plus 1 este adevărată observăm

că în cadrul expresiei propoziție

pdk plus 1 regăsim propoziția pdk

din moment ce pdk este adevărată

înseamnă că putem să înlocuim acea

sumă cu formula aferentă propoziției

Pad ca și făcând calculele ajungem

la concluzia că pe de că apa plus

unu este adevărată câte un mare

pe DN este adevărată oricare ar

fi n număr natural diferit de 0