Problema existenţei primitivelor

în acest videoclip vom aborda problema

existenței primitivelor avem o

definiție a funcției care admite

primitive pe un interval dar nu

știm dacă există anumite categorii

de funcții adică funcții care au

anumite proprietăți care admit

primitive vom considera următorul

exercițiu avem funcția f definită

pe r cu valori in r f de x egal

cu Eli când x este mai mare sau

egal cu 0 și 2 x plus m Dacă x

este mai mic decât 0 m fiind un

parametru real ce ne propunem este

zodia mea existența primitivelor

funcției f observăm că această

funcție are legea de corespondență

dată pe două ramuri de aceea vom

considera două funcții fiecare

funcție fiind corespunzătoare unei

ramuri a funcției f Deci Considerăm

funcția f 1 definită pe interval

închis 0 plus infinit cu valori

în R f 1 de x egal cu e la X și

funcția f 2 definită pe intervalul

închis minus infinit 0 cu valori

în aer F2 de x egal cu 2x plus

m unde m este un parametru real

funcția f mic 1 admite primitive

pentru că există funcția f mare

1 definită pe 0 plus infinit cu

valori în R f mare 1 d x egal cu

ala x201 unde C1 este un număr

real această funcție aia mare unul

este de fapt o primitivă a funcției

f mic 1 și acum vom chiar verifica

ca esti mare 1s este o primitivă

a funcției f mic 1 adică vom verifica

dacă e f mare 1 este derivabila

pe intervalul închis 0 plus infinit

și e mare unul este derivabilă

pe acest interval pentru că este

o sumă de două funcții elementare

funcția e la x și funcția comm

bele funcții sunt derivabile și

mai mult verificăm și condiția

a doua din definiția unei funcții

care admite primitive S mare 1

de x derivat este egal cu e la

x plus 1 derivat adică este e la

X Ila x fiind egal cu a mic 1 2x

și aceasta acest șir de egalități

este adevărat pentru orice x din

intervalul închis 0 plus infinit

și funcția f mic 2 admită primitivă

și aici arătăm că această funcție

admite primitive punând în evidență

o primitivă a funcției f mic 2

aceasta primitivă va fi f mare

2 definită pe minus infinit 0 primitiva

trebuie să aibă același domeniu

de definiție a funcției cu valori

în R f mare doi de x egal cu x

pătrat plus m x plus C2 unde ai

C2 este o constantă reală verificăm

și pentru f mare doi cele două

condiții pe care o primitivă trebuie

să le îndeplinească prima condiție

F2 derivabila pe domeniul a de

definiție adică pe minus infinit

0 este îndeplinită pentru ca esti

2 este o funcție de gradul al doilea

este Deci o funcție elementară

și este derivabila și condiția

a doua f mare 2 derivat de x trebuie

să fie egală cu a mic 2 de x pentru

orice x dimineață infinit 0 și

această condiție este verificată

pentru că derivata lui x pătrat

plus x plus c 2 este egală cu 2

x plus m iar it 2 este tocmai 2x

plus acest șir de egalități este

adevărat pentru orice x din intervalul

minus infinit 0 Deci până la acest

moment am arătat că cele două funcții

F1 și F2 care sunt de fapt cele

două ramuri din legea de corespondență

a funcției f admite fiecare din

ele primitivă am arătat că cele

două funcții admiri primitive punând

în evidență o primitivă a fiecărei

funcții și am verificat că această

primitivă chiar verifică cele două

condiții din definiția primitivei

un iPhone xi putem deduce din ceea

ce am obținut până acum că dacă

e mic admiterii mai tipa Atunci

primitiva trebuie să aibă această

formă prima ramura trebuia să fie

o primitivă a funcției f mic unu

și a doua ramură trebuie să fie

o primitivă a e f mic 2 C1 și C2

fiind ambele constante reale pentru

ca f mare să fie o primitivă a

funcției f mic trebuie să ia să

verifice cele două condiții din

definiția primitivei unei funcții

adică f mare trebuie să fie derivabilă

pe și f mare derivat de x egal

cu F mic de x pentru orice x din

r pentru că e mare 1 este o primitivă

a funcției f mic 1 și f mare 2

este o primitivă a e f mic 2 înseamnă

că de fapt e f mare verifică cele

două condiții pentru x aparținând

lui r stelat sau pentru xx ferit

de 0 Deci ambele condiții așa e

pe iPhone verificată pentru orice

x din asta la dar și în română

să verificăm cele două condiții

a și b în egal cu zero prima condiție

este derivabilă în 0 presupune

de fapt verificarea a doua aspecte

În primul rând știind că dacă o

funcție este derivabilă într un

punct Atunci trebuie să fie continua

nasol punct Deci vom verifica continuitatea

lui f în zero ai fost ai continua

în Zărand Dacă și numai dacă limitele

laterale în 0 sunt egale cu valoarea

funcției în 0 limita la stânga

lui 0 din fdx se calculează după

a doua ramura legii de corespondență

pentru că x este mai mic decât

0 și atunci această limită va fi

egală cu zero plus zero plus Si

2 adică ce 2 limita la dreapta

lui 0 se calculează după prima

ramura a funcției f mare și această

limită va fi egală cu el la zero

plus si unul adică unul plus c

1 care este egală și cu FD 0 pentru

că este 0 se calculează după aceeași

lege de corespondență aici avem

egalitatea Deci pentru ca funcția

să fie continuă în 0 este necesar

ca unul plus c 1 să fie egale cu

Shadow el înseamnă că nu mai are

rost să păstrăm cele două constantă

vom nota Constanta c1 cu în aceste

condiții C2 va fi egal cu 1 plus

c și atunci puteam Rescrie legea

de corespondență a funcției f mare

de X3 fiind egală cu Ila x plus

c când e mai mare sau egal cu 0

și x pătrat plus x plus 1 plus

făcând x mai mic decât 0 orice

fiind o constantă reală funcție

este derivabilă însă rog daca derivate

la dreapta lui 0 este egală cu

derivate la stânga lui Zorro derivate

la dreapta lui 0 este de fapt derivată

funcției 1 derivată funcției F1

este Eli atunci când x tinde la

0 la X va fi egală cu a la z.ro

care este 1 derivate la stânga

lui 0 este de fapt egală cu F2

de rai adică 2 x plus m și atunci

când x tinde la 0 derivate la stânga

lui Zorro este 2.0 plus m adică

pentru că cele două derivate trebuie

să fie egal ne apare necesitatea

ca m să fie egal cu 1 Mai avem

de verificat condiții apă pentru

x egal cu zero Adică trebuie să

verificăm Dacă F derivat în țară

este egal cu F de 0 f de 0 îl calculăm

conform legii de corespondență

a lui ef adică este e la puterea

0 care este 1 iar pentru ca derivata

în 0 este egală cu derivata la

stânga lui 0 și derivate la dreapta

lui 0 înseamnă că este conform

celor de mai sus este egală tot

cu o1 Deci condiții avea este verificată

în concluzie Dacă m egal cu 1 smyk

mai trimiti verși o primitivă a

funcției f d este funcția f mare

definită pe r cu valori în R f

de x egal cu a la X Plus second

x mai mare sau egal cu 0 și x pătrat

plus x plus 1 plus c când x este

mai mic decât 0 și ce Evident este

o constantă reală iar dacă m este

diferit de unu e mic nu admite

primitive observăm că pentru m

egal cu 1 funcția f definită pe

r cu valori în R va avea legea

de corespondență este x egal cu

Ila x Daca x mai mare sau egal

cu 0 și 2 x plus 1 dacă x mai mic

decât 0 această funcție este o

funcție continua pe aer pentru

că este o funcție elementară la

dreapta lui 0 o funcție elementară

la stânga lui 0 iar în 0 limita

la stânga este unul limita la dreapta

este 1 și valoarea funcției este

tot un om Deci pentru m egal cu

1 f este o funcție continua pe

aer și admite primitive mai general

are loc urmatorul rezultat orice

funcție f definită pe r cu valori

în aer continuă pe e admite primitive

pe intervalul pentru m diferit

de 1 funcția f definită pe r cu

valori în aer are legea de corespondență

e la X când x mai mare sau egal

cu 0 și 2 x plus m când x mai mic

decât 0 și MN este din R minus

elementul 1 funcția f are un punct

de discontinuitate de speță întâi

acela este x egal cu zero verificat

singuri acest lucru și funcția

f nu admite primitive pe r mai

general are loc urmatorul rezultat

dacă o funcție f definită pe un

interval e cu valori în R are discontinuități

de speță a t e pe e atunci funcția

f nu admite primitive pe știm că

o funcție care are discontinuități

despre Sante nu are proprietatea

lui darboux reamintiți văd ce înseamnă

că o funcție are proprietatea lui

darboux având în vedere Acest rezultat

Adică dacă e f definită pe e cu

valori în R are discontinuități

respecți alte fete unci f nu admite

primitive pe Și faptul că o funcție

care are puncte de discontinuitate

de speță 1 are proprietatea lui

darboux putem formula următorul

enunț dacă e f o funcție care este

definită pe e cu valori în R nu

are proprietatea lui darboux e

atunci f nu are primitive