Problema existenței primitivelor - Aplicații

în acest videoclip voi arăta cum

abordăm rezolvarea exercițiilor

în care ni se cere Să arătăm că

o funcție admite sau nu admite

primitive Considerăm următorul

exercițiu Să se arate că funcția

f definită pe interval închis minus

1 pe 2 plus infinit cu valori in

R dată prin legea de corespondență

f de x egal cu radical din 2x plus

1 minus 1 totul supra x unde x

diferit de 0 și 1 când x egal cu

0 admitere primitivă pentru a rezolva

acest exercițiu care ne cere Să

arătăm că funcția f admite primitive

pe r putem să ne folosim definiția

funcție care admite primitive adică

să punem în evidență o primitivă

f mare a funcției f mic fie să

ne folosim de faptul că orice funcție

continua pe un interval admite

primitive pe acel interval pentru

că nu pare simplu să identificăm

funcția a cărei derivată este radical

din 2x plus 1 minus 1 totul supra

x Adică o primitivă a funcției

f mic vom ma rezolva acest exercițiu

prin a doua metodă vom verifica

dacă f este continuă Daca x este

diferit de 0 și este din domeniul

de definiție al funcției adică

din intervalul minus 1 pe 2 închis

floss infini fdx este egală cu

radical din 2x plus 1 minus 1 supra

x Deci se obțin prin operații cu

funcții continue înseamnă că a

f este continuă pentru x egal cu

0 trebuia să calculăm limitele

laterale și valoarea funcției în

0 dacă limitele laterale sunt egale

cu valoarea funcției însă atunci

f este continuă și în zero calculăm

limită când x tinde la 0 cu valori

mai mici decât 0 din fdx adică

limită când x tinde la 0 cu valori

mai mici decât 0 din radical din

2x plus 1 minupono soacra x când

x tinde la 0 radicalul timp de

la 2 x 0 plus unu Adică 1 minus

1 înseamnă 0 supra 0 Deci avem

caz de nedeterminare 0 pe 0 pentru

calcularea limitei putem folosi

regula lui l'hopital și atunci

această limita va fi egală cu limită

când x tinde la 0 cu valori mai

mici decât să rotim derivata numărătorului

1 derivată e 0 Deci ne rămâne să

derivam radicalul 2x plus 1 derivat

este 2 supra 2 radical din 2x plus

1 x derivat este 1 simplificăm

cu Dori și atunci această limită

este egală cu limită când x tinde

la 0 cu valori mai mici decât 0

din 1 supra radical din 2x plus

1 radicalul tinde la 1 când x tinde

la 0 de clinica este egală cu unu

limită când x tinde la 0 cu valori

mai mari decât 0 din f de x Ia

stai egală cu limită când x tinde

la 0 cu valori mai mari decât 0

tot din radical din 2x plus 1 minus

1 supra x calculul acestei limite

este același cu calculul limitei

la stânga lui Zorro Deci această

limită va fi egală cu 1 valoarea

funcției în 0 conform legii de

corespondență a funcției este egală

cu 1 și atunci obținem ca pentru

x egal cu zero avem limita la stânga

egală cu limita la dreapta și egală

cu valoarea funcției un 0 rezultă

că funcția f este continuă în 0

funcția f continua pe toate elementele

Domeniului de definiția diferită

de 0 Ia stai continua în 0 din

acestor două rezultate rezultă

că a f este continuă pe domeniul

ei de definiție in care este continua

pe domeniul ei de definiție ar

rezulta ca f admite primitive Să

considerăm acum un alt exercițiu

Să se arate că funcția f definită

pe r cu valori în R f de x egal

cu partea întreagă din x nu admite

primitive că dacă exercițiul cerere

Să arătăm că funcția nu admite

primitive pe o mulțime pentru a

rezolva putem fi Să arătăm că funcția

f are puncte de discontinuitate

de speță a fi Să arătăm că nu are

proprietatea lui darboux vom rezolva

acest exercițiu prin ambele metode

de aici varianta întâi de rezolvare

vrem Să arătăm că f are puncte

de discontinuitate de speță întâi

pentru ca să putem identifica una

fel de puncte discontinuitatea

Haideți să ne amintim Cum arată

graficul funcției parte întreagă

oprit înregistrarea și schițat

traficul pe o foaie de hârtie graficul

funcției parte întreagă ar trebui

să aibă forma aceasta este ca o

funcție scară și atunci putem foarte

ușor identificat de pe grafic un

punct în care funcția este discontinuă

să luăm de exemplu x egal cu 1

limite când x tinde la 1 cu valori

mai mici decât 1 din parte întreagă

din x la stânga lui 1 partea întreagă

a lui x este egală cu 0 Deci această

limită va fi egală cu zero limita

la treapta lui 1 din partea întreagă

din x este egală cu la dreapta

lui uno partea întreagă a lui x

este egală cu unu Deci această

limită va fi egală cu 1 și valoarea

funcției în unu s d 1 este egală

cu parte întreagă din 1 care este

unul din acestă 3 rezultate rezulta

ca limita la dreapta lui un om

este egală cu F de 1 și asta e

ca ala cu unu iar limita la stânga

lui 1 este egală cu 0 Deci astea

pentru x egal cu 1 rezulta ca x

egal cu 1 este un punct de discontinuitate

despre se pentru funcția f rezultate

f are cel puțin un punct de discontinuitate

de speță întâi Deci nu admitere

primitivă cu aceasta am finalizat

Prima variantă de rezolvare și

vom trece la varianta a doua de

rezolvare să vedem acum cum am

putea rezolva acest exercițiu folosind

faptul că f nu are proprietatea

lui darboux Deci în varianta a

doua de rezolvare Noi ar trebui

să arătăm că e f are proprietatea

lui darboux știm că A dacă o funcție

care nu este funcție constantă

este definită pe un interval de

numere reale cu valori în imaginea

funcției nu este un interval atunci

nu are proprietatea lui darboux

să vedem cine este imaginea funcției

f definită pe r cu valori în R

f de x egal cu parte întreagă din

x din moment ce partea întreagă

a lui x este întotdeauna un număr

întreg rezulta ca imaginea funcției

f din exercițiul nostru este egală

cu z Zet nu este un interval înseamnă

că a funcția f nu are proprietatea

lui darboux pe aer înseamnă atas

nu admite primitive pe r o observație

în varianta a doua de rezolvare

a fi putut arăta că funcția f nu

are proprietatea lui darboux folosind

una de faptul că funcția care are

puncte de discontinuitate de speță

întâi nu are proprietatea lui darboux

dar atunci am fi avut un demers

similar cu demersul de rezolvare

din varianta 1