Va rugam dezactivati programul ad block pentru a vizualiza pagina!

Cumpara abonament!
Plateste cu PayPal

Produsul scalar a doi vectori

Partajeaza in Google Classroom

Partajeaza cu Google Classroom
Susține Lectii-Virtuale!
Pentru a putea vizualiza un video va rugam sa va logati aici! Daca nu aveti cont va puteti inregistra apasand aici.
8 voturi 269 vizionari
Puncte: 10

Transcript



în această lecție vom defini o

operație care Asociază unei perechi

de vectori un număr real iar această

operație se numește produs scalar

această noțiune este des întâlnită

în fizică de exemplu lucrul mecanic

este produsul scalar dintre vectorul

forță și vectorul deplasare pentru

a defini produsul scalar a doi

vectori mama Cezar cei doi vectori

astfel încât să aibă aceeași origine

și voi nota cu alfa unghiul dintre

aceștia produsul scalar al vectorilor

a și b se notează astfel a ori

b și este egal prin definiție cu

modulul vectorului a înmulțit cu

modulul vectorului b ori cosinus

de Alfa această relație se mai

poate scrie și astfel a ori b egal

cu modul de a ori coș de Alfa ori

modulul vectorului b dacă duc prin

extremitatea vectorului a o perpendiculară

pe dreapta suport a atunci se obține

aici proiecția vectorului a pe

dreapta b ne uităm în acest triunghi

dreptunghic și avem cos de Alfa

egal cu raportul dintre catetele

tu rată și ipotenuză cateta alăturată

este proiecția vectorului a pe

dreapta b iar ipotenuza este modulul

vectorului a prin urmare modul

de a ori cos de Alfa este egal

cu proiecția vectorului a pe dreapta

b și acum revenind la această relație

și înlocuind modul de aur cos de

Alfa cu proiecția vectorului a

pe dreapta b produsul scalar se

mai poate scrie astfel a ori b

egal cu proiecția vectorului a

pe dreapta b ori modulul vectorului

b Aceasta este o altă modalitate

de a scrie produsul scalar a doi

vectori în cazul în care unghiul

Alfa are măsura egală cu 90 de

grade atunci cei doi vectori se

numesc ortogonali în acest caz

produsul scalar al vectorilor a

și b este egal cu modulul vectorului

a ori modulul vectorului b ori

cosinus de 90 de grade Care este

zero prin urmare doi vectori a

și b sunt ortogonali dacă și numai

dacă produsul scalar este egal

cu 0 dacă vectorii sunt coliniari

și au același sens atunci unghiul

Alfa are măsura egală cu 0 situație

produsul scalar este egal cu modulul

vectorului a ori modulul vectorului

b ori post de 0 grade Care este

egal cu 1 prin urmare produsul

scalar a doi vectori coliniari

având același sens este egal cu

produsul modulelor lor să vedem

în continuare câteva proprietăți

ale produsului scalar o prima proprietate

produsul scalar este comutativ

deci a ori b este egal cu b ori

am comutativitatea înmulțirii numerelor

reale conduce și la comutativitatea

produsului scalar întrucât modulul

vectorului a și modulul vectorului

b sunt numere a doua proprietate

produsul scalar al unui Vector

cu el însuși a ori a va fie egal

cu modulul vectorului a înmulțit

cu modulul vectorului a ori coș

de 0 grade Care este egal cu 1

de ce dar mai departe cu modulul

vectorului a la pătrat de aici

putem deduce că modulul unui Vector

este rădăcina pătrată a produsului

scalar al vectorului cu el însuși

și eu altă proprietate produsul

scalar este distributiv față de

adunarea vectorilor de a ori b

plus c este egal cu produsul scalar

al vectorilor a și b plus a ori

c din această relație putem să

exprimăm cosinus de Alfa și vom

obține produsul scalar al vectorilor

a și b supra modul de a ori modul

de B aceasta este formula prin

care putem să calculăm cosinusul

unghiului dintre cei doi vectori

și în continuare vom face 2 Exerciții

primul exercițiu se dă pătratul

ABCD cu latura având lungimea egală

cu șase unități se cere sa calculăm

produsul scalar al vectorilor ab

și ac acesta va fi egal cu modulul

vectorului ab ori modulul vectorului

AC ori cosinusul unghiului dintre

cei doi vectori din moment ce abcd

este pătrat iar AC este diagonală

unghiul Acesta are măsura egală

cu 45 de grade de ce avem aici

colț de 45 egal a b este 6 lungimea

vectorului a c se poate calcula

foarte ușor cu teorema lui Pitagora

AC la pătrat este egal cu 6 la

pătrat plus 6 la pătrat obținem

că AC este egal cu 6 radical din

2 deci modulul vectorului a c este

6 radical din 2 iar posibil de

45 de grade este radical din 2

pe 2 egal cu 36 și al doilea exercițiu

Se dă triunghiul abc în care ab

are lungimea egală cu patru unități

AC are șase unități măsura unghiului

BAC este egală cu 60 de grade m

este mijlocul lui bc b c a m este

mediană și se cere să calculăm

modulul vectorului a m vă reamintesc

că modulul unui Vector la pătrat

este produsul scalar al vectorului

cu el însuși vom calcula mai întâi

modul de m la pătrat pentru aceasta

voi prelungii segmentul a m cu

un segment având aceeași lungime

cu acesta sa format astfel un patrulater

în care m este mijlocul diagonalelor

prin urmare Patrulaterul abdc este

un paralelogram și acum vom considera

vectorii AB AC și a m observăm

că a m este jumătate din ad dar

AD este suma vectorilor ab și ac

vrei amintesc că suma a doi vectori

este diagonala paralelogramului

având ca laturi cei doi vectori

prin urmare modulul vectorului

a m la pătrat este egal cu a m

ori a m Adică 1 supra 4 pe lângă

ab plus AC ori ab plus și acum

desfacem parantezele și avem unul

pe 4 pe lângă a b ori a b plus

a b ori a c plus ace ori ab plus

pace ori ac egal cu 1 pe 4 pe lângă

a b ori a b este modul de a b la

pătrat plus ab ac plus AC ori ab

este egal cu 2ab ori AC iar AC

ori AC este modul de acela pătrat

egal cu 1 pe 4 pe lângă modul de

a b la pătrat este 4 la a doua

16 modulului acela pătrat este

6 la a doua 36 plus 2 ori aici

avem produsul scalar al vectorilor

ab și ac adică patru ori 6 ori

cosinusul unghiului dintre aceștia

Deci cosinus de 60 de grade egal

cu 1 pe 4 pe lângă 52 plus 24 8

ore 648 ori cozi de 60 1 pe 2 egal

cu 1 pe 4 ori 52 plus 24 este 7676

se simplifică cu patru uși ne rămâne

în 19 Deci modul de a m la pătrat

este egal cu 19 prin urmare modulul

vectorului a m a fi egal cu radical

din 19

Produsul scalar a doi vectoriAscunde teorie X

F i e space a with rightwards arrow on top comma space b with rightwards arrow on top space d o i space v e c t o r i space ș i space alpha space u n g h i u l space d i n t r e space a c e ș t i a.

Definiție. Produsul scalar al celor doi vectori este numărul real:

a with rightwards arrow on top times b with rightwards arrow on top equals open vertical bar a with rightwards arrow on top close vertical bar times open vertical bar b with rightwards arrow on top close vertical bar times cos alpha.

Produsul scalar se mai poate exprima și astfel:

a with rightwards arrow on top times b with rightwards arrow on top equals p r subscript b a with rightwards arrow on top times open vertical bar b with rightwards arrow on top close vertical bar.

Observații:

1. space D a c ă space alpha equals 90 degree space left parenthesis v e c t o r i i space s u n t space o r t o g o n a l i right parenthesis rightwards double arrow a with rightwards arrow on top times b with rightwards arrow on top equals 0
space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space a with rightwards arrow on top perpendicular b with rightwards arrow on top left right double arrow a with rightwards arrow on top times b with rightwards arrow on top equals 0
2. space space D a c ă space alpha equals 0 degree left parenthesis v e c t o r i i space s u n t space c o l i n i a r i right parenthesis rightwards double arrow a with rightwards arrow on top times b with rightwards arrow on top equals open vertical bar a with rightwards arrow on top close vertical bar times open vertical bar b with rightwards arrow on top close vertical bar.

 

Proprietățile produsului scalar

1. space a with rightwards arrow on top times b with rightwards arrow on top equals b with rightwards arrow on top times a with rightwards arrow on top space left parenthesis c o m u t a t i v i t a t e right parenthesis
2. space a with rightwards arrow on top times a with rightwards arrow on top equals open vertical bar a with rightwards arrow on top close vertical bar squared rightwards double arrow open vertical bar a with rightwards arrow on top close vertical bar equals square root of a with rightwards arrow on top times a with rightwards arrow on top end root
3. space a with rightwards arrow on top times left parenthesis b with rightwards arrow on top plus c with rightwards arrow on top right parenthesis equals a with rightwards arrow on top times b with rightwards arrow on top plus a with rightwards arrow on top times c with rightwards arrow on top.

 

Cosinusul unghiului dintre doi vectori

cos alpha equals fraction numerator a with rightwards arrow on top times b with rightwards arrow on top over denominator stack open vertical bar a close vertical bar with rightwards arrow on top times open vertical bar b with rightwards arrow on top close vertical bar end fraction.

Cumpara abonament
Plătește cu PayPal

Ajutor
Feedback-ul d-voastră este important pentru noi. Dacă observați vreo neregulă vă rugăm să ne-o semnalați apăsând butonul Trimite Feedback de mai jos.

Despre Lecții-Virtuale.ro

Lecții-Virtuale este o platformă educațională care oferă suport în vederea pregătirii pentru Evaluare Națională și Bacalaureat la Matematică, Fizică și Chimie. Lecțiile noastre sunt alcătuite din filme și exerciții și probleme cu tot cu rezolvări. Platforma noastră este o soluție ideală pentru școala online. Pentru facilitarea activității profesorilor în cadrul ecosistemului GSuite de la Google am implementat butonul Google Classroom. Scopul nostru este să ne concentrăm pe prezentarea noțiunilor și fenomenelor într-o manieră care să stimuleze înțelegerea și nu memorarea mecanică. Ne propunem să facilităm accesul la conținut educațional de calitate mai ales elevilor cu venituri mai modeste care nu își pemit meditații particulare. Sperăm să vă simțiti bine alături de noi și să invățați lucruri folositoare. Hai România!

Newsletter

Abonează-te la Newsletter pentru a fi la curent cu toate ofertele noastre.

Parteneri

EduApps partener Lectii Virtuale UiPath partener Lectii Virtuale Scoala365 partener Lectii Virtuale CCD Galați partener Lectii Virtuale

2022 © Lecții-virtuale.ro Toate drepturile rezervate
Termeni   Despre   Contact   Confidenţialitate   Cariere Parteneri