Produsul scalar exprimat cu ajutorul coordonatelor

în această lecție vând aduce expresia

analitică a produsului scalar a

doi vectori iar apoi o să facem

câteva aplicații avem un reper

cartezian o i j unde e și g sunt

versuri adică vectorii unitate

ai direcțiilor pozitive ale actelor

o x respectiv oe y și a2 coordonatele

unui Vector a și cu B1 B2 coordonatele

unui Vector b atunci vectorii a

și b se pot scrie cu ajutorul versurilor

astfel am este egal cu a unui plus

a2z iar b va fi egal cu B1 plus

b 2 J în continuare vom exprima

produsul scalar a celor doi vectori

cu ajutorul coordonatelor și vom

vedea că nu este necesar să cunoaștem

unghiul dintre aceștia mai mult

produsul astfel obținut se poate

folosi pentru a calcula unghiul

dintre cei doi vectori Haideți

să calculăm produsul scalar a ori

b vom avea a1e plus a2z înmulțit

cu b1e plus b 2 j egal cu a 1 b

1 e ori e plus a 1 b 2 ori j plus

A2 B1 j ori plus a2 b2 j Orange

în continuare va trebui să calculăm

aceste produse scalare Haideți

să calculăm produsul scalar ori

in conform definiției acest produs

va fi egal cu modulul vectorului

e ori modul de ori cosinus de 0

i și j sunt Vector unitate Prin

urmare modulele lor sunt egale

cu 1 Deci modul de y este 1 iar

cosinus de 0 este 1 prin urmare

e ori e este egal cu 1 în mod Analog

obținem j o j egal cu unu apoi

e origi va fi egal cu modul de

x ori modul de z ori cosinus de

90 de grade egal cu 1 ori 1 ori

coș de 90 este 0 prin urmare orice

este egal cu 0 ori va fi de asemenea

egal cu 0 Deci ori este 1 0 ori

0 iar J1 Și atunci vom obține a

1 b 1 plus a 2 b 2 întrucât acești

termeni se anulează am obținut

Așadar expresia analitică a produsului

scalar a doi vectori a ori b va

fi egal cu a 1 b 1 plus a2 b2 să

reținem această formulă pentru

că vom aplica în exerciții în continuare

Haideți să vedem cum putem să calculăm

modulul unui Vector când se cunosc

coordonatele acestuia În reperul

cartezian o i j am construit un

Vector am iar A1 și a2 reprezintă

în coordonatele acestuia putem

să și scriem a având coordonatele

a1 a2 ne propunem în continuare

să calculăm modulul vectorului

a pentru aceasta vom aplica teorema

lui Pitagora în acest triunghi

dreptunghic lungimea acestui segment

este egală cu a 2 iar lungimea

acestui segment este egală cu a

1 prin urmare modul de a la pătrat

la fiecare cu a 1 la pătrat plus

a 2 la pătrat Deci modulul vectorului

a este radical din a 1 la pătrat

plus A2 la pătrat aceasta este

formula de calcul pentru modulul

vectorului a având coordonatele

A1 și a2 în continuare vom determina

formula de calcul pentru cosinusul

unghiului a doi vectori în funcție

de coordonatele acestora știm din

lecția trecută că formula de calcul

pentru cosinus de Alfa este a ori

b supra modul de a ori modul de

B înlocuind produsul scalar a ori

b respectiv modulele celor doi

vectori cu expresiile pe care tocmai

am găsit atunci formula pentru

cosinus de Alfa va fi următoarea

a 1 b 1 plus a 2 b 2 supra radical

din a 1 la pătrat plus A2 la pătrat

ori radical din b 1 la pătrat plus

b-2 la pătrat în continuare vom

face câteva exerciții primul exercițiu

Avem doi vectori a și b unde a

este egal cu 3 x plus 2 j iar b

este egal cu minus 4 j se cere

să calculăm produsul scalar a ori

b coordonatele vectorului am sunt

3 și 2 iar coordonatele vectorului

b sunt unu și minus 4 atunci a

ori b este egal cu a 1 b 1 plus

a2 b2 și egal cu 3 ori 1 plus 2

ori minus 4 egal cu 3 minus 8 minus

5 în al doilea exercițiu avem vectorii

a și b unde a este egal cu e minus

2 j iar b este egal cu minus y

plus z se cere să calculăm cosinusul

unghiului dintre cei doi vectori

vectorul a are coordonatele unu

și minus 2 vectorul b are coordonatele

minus unu unu cosinus de Alfa este

produsul scalar dintre a și b supra

modulul vectorului ori modul de

b a ori b este egal cu a 1 b 1

plus a2 b2 Deci avem 1 ori minus

1 plus minus 2 ori unu egal cu

minus 3 modulul vectorului a este

radical din a 1 la pătrat plus

a 2 la pătrat egal cu radical din

1 la pătrat plus minus 2 la pătrat

și înalt cu radical din 5 iar modulul

vectorului b este radical din b

1 la pătrat plus b 2 la pătrat

adică radical din minus 1 la pătrat

plus 1 la pătrat egal radical din

2 Și acum Revenim la această formulă

și obținem a ori b este minus 3

modulul vectorului a este radical

din 5 iar modul de B este radical

din 2 decembrie în continuare cu

minus 3 supra radical din 10 și

un ultim exercițiu Avem doi vectori

a și b se știe că modul de y este

egal cu 2 modulul vectorului V

este egal cu 1 iar unghiul Alfa

dintre cei doi vectori este egal

cu pi supra 6 radiani Săcele să

calculăm u a minus b înmulțit cu

2 plus V desfacem parantezele și

Avem doi ori unu plus a ori b minus

2 ori a minus b ori V și a egal

cu 2 la pătrat UV minus doi unu

este minus 1 minus b la pătrat

acum pula pătrat care este de fapt

orium va fi egal conform definiției

cu modul de ori modul de ori coș

de 0 și egal cu modul de la pătrat

egal cu 2 la a doua și egal cu

4 în mod Analog Wella a doua va

fi egal cu modul de z la pătrat

și egal cu 1 iar produsul scalar

dintre ușii va fi egal cu modul

de ori modulul vectorului V ori

cosinus de pi supra 6 egal cu doi

ori unu ori radical din 3 pe 2

egal cu radical din 3 și acum să

continuăm aici Avem doi ori 4 minus

radical din 3 minus 1 egal cu 7

minus radical din 3