Va rugam dezactivati programul ad block pentru a vizualiza pagina!

Cumpara abonament!
Plateste cu PayPal

Proiecții ortogonale pe un plan

Partajeaza in Google Classroom

Partajeaza cu Google Classroom
Susține Lectii-Virtuale!
Pentru a putea vizualiza un video va rugam sa va logati aici! Daca nu aveti cont va puteti inregistra apasand aici.
26 voturi 833 vizionari
Puncte: 10

Transcript



să vorbim în continuare despre

proiecții ortogonale Pe plan Ce

înseamnă ortogonal pe scurt ortogonal

înseamnă perpendicular Deci trebuie

să proiectăm în mod perpendicular

pe un plan și ce putem să proiectăm

pe un plan Păi putem să proiectăm

un punct pe un plan Iată vrem să

proiectăm punctul A pe planul alfa

pentru a face acest lucru trebuie

să ducem perpendiculară din acest

punct Pe plan Deci vom trasa O

dreaptă care trece prin a și acea

dreaptă este perpendiculară pe

planul alfa și o să trasez mai

întâi dreapta așa apoi trece în

punctul de intersecție al dreptei

cu planul trecem aici a prim și

facem această parte a dreptei punctat

pentru că ea se află sub plan deci

practic nu se vede Bun și venim

și notăm Care este proiecția punctului

contul lui a pe planul alfa este

chiar punctul de intersecție al

dreptei cu acest plan de ce este

punctul a prim devreme c a prim

este perpendiculară pe Alfa atunci

rezultă că proiecția și vom nota

așa pe aer proiecția punctului

a idee să scriu mai la dreapta

punctului a pe planul alfa și planul

alfa venim și o trecem Aici este

punctul a prim și astfel Am proiectat

un punct pe un plan dacă însă punctul

aparține planului Deci punctul

b este în planul alfa atunci din

acest punct nu avem ce perpendiculară

să ducem pe plan pentru că deja

punctul este în plan Deci dacă

punctul B aparține planului Alfa

înseamnă că proiecția punctului

b pe planul alfa este care credeți

chiar punctul B mult mai putem

să proiectăm și un segment pe un

plan Iată vrem să proiectăm pe

planul alfa segmentul ab atenție

când proiectăm pe un plan puncte

coliniare atunci ceea ce vom obține

vor fi tot puncte coliniare Deci

proiectând un segment pe un plan

homo obține tot un segment și este

suficient să proiectăm capetele

segmentului Deci vom proiecta mai

întâi punctul A pe planul alfa

și voi duce această linie punctată

și avem aici a prim proiecția punctului

a pe planul alfa și apoi proiectăm

punctul B pe planul alfa și obținem

aici punctul d prim proiecția segmentului

a b pe planul alfa este segmentul

a prim b prim și venim aici și

notăm proiecția pe planul alfa

a segmentului AB voi trece aici

pe mentul închis AB este segmentul

închis a prim b prim dacă proiectam

un segment deschis Deci aveam aici

paranteze rotunde obținem tot un

segment deschis Care este legătura

între lungimea segmentului proiectat

și lungimea proiecției Deci legătura

între lungimea segmentului AB și

a segmentului a prim b prim p Pentru

aceasta vom construi o paralelă

prin a la a prim b prim și această

paralelă intersectează segmentul

B B prim în punctul C voi trece

aici punctul C Ce știm iată că

ac este paralelă cu a prim b prim

și devreme c b b prim a perpendiculară

pe planul alfa înseamnă că b d

prim perpendiculară pe a prim b

prim și cum a prim D prim e paralelă

cu a Ce înseamnă că BB prim perpendicular

pe AC De ce avem aici un unghi

de 90 de grade Deci triunghiul

BCA este un triunghi dreptunghic

nu uitați noi vrem să găsim legătura

între AB și a prim b prim Însă

a prim b prim cu c segment este

congruent Păi avem aici să ne uităm

la patrulaterul a c d prim a prim

a a prim și c și c b prim sunt

paralele la fel și a c și a prim

b prim De ce avem aici un paralelogram

chiar mai mult pentru că avem aici

un unghi de 90 de grade înseamnă

că și acest unghi are tot 90 de

grade pentru că punctele b c b

prim sunt coliniare Deci avem de

fapt un dreptunghi Haide să trasezi

aici se vadă mai clar că avem un

unghi drept bun asta înseamnă că

a prim b prim acest segment congruent

cu ac și atunci Care e legătura

între ac și ab Păi avem aici un

triunghi dreptunghic și voi nota

aici cu unghiul făcut de AB și

AC 60 să scriem formula cosinusului

cosinus de unghiul u Cu cât este

egal pe avem lungimea catetei alăturate

unghiului dac trecem aici ace supra

lungimea ipotenuzei adică abc rezultă

de aici rezultă că ac se scrie

ab ori cosinus de unghiul u a b

înmulțit cu cosinus de x dar nu

e am spus că aceeasi segmente concurent

cu a prim b prim devreme c AC este

egal cu a prim b prim rezultă că

a prim b prim lama locuit pe AC

este egal cu a b înmulțit cu cosinus

de unghiul x și chiar putem să

încadrăm această relație și astfel

am găsit legătura între Iată lungimea

segmentului AB și lungimea proiecției

sale a prim b prim dacă însă segmentul

pe care vrem să îl proiectăm este

perpendicular pe plan atunci ce

vom obține Păi trebuie să proiectăm

fiecare punct al segmentului Pe

plan cam spus e suficient să proiectăm

capetele segmentului și acum Dacă

proiectăm punctul C Pe planul gama

Deci din ce trebuie să ducem o

linie punctată nu voi a tras aici

și o voi transa de aici încolo

și vom obține aici si prim proiecția

punctului C Pe planul gama Dacă

proiectăm punctul d Pe planul gama

promo tot punctul c prim deci de

fapt în această situație proiecția

segmentului este de fapt un punct

Deci venim și notăm proiecția Pe

planul gama a segmentului închis

CD este de fapt punctul c prim

atenție însă noi proiectăm aici

o mulțime de puncte mulțimea a

punctelor care alcătuiesc acest

segment Da avem aici o mulțime

de puncte atunci ce vom obține

este tot o mulțime și anume mulțimea

formată din punctul c prim de aceea

trebuie să trecem aici între acolade

acest punct proiecția Pe planul

gama a segmentului închis CD este

mulțimea formată din punctul c

prim o singură observație mai vreau

să facem aici când proiectăm un

segment pe un plan și anume când

proiectăm pe un plan mijlocul unui

segment Deci dacă m este mijlocul

segmentului de Iată uite si aici

de segmentul de congruent cu segmentul

m n atunci proiecția punctului

m Pe planul Beta să notăm aici

obținem punctul M prim proiecția

punctului m Pe planul Beta este

mijlocul proiecției adică D prim

m prim este congruent cu m prim

e prim cu alte cuvinte proiecția

mijlocului este mijlocul proiecției

Deci dacă dm este egal cu m e atunci

rezultă că d prim m prim este egal

cu m prim e prim Evident putem

să trecem aici și eu să folosiți

scrierea cu paranteze Deci vom

folosi scrierea cu segmente și

vom trece congruente la fel și

aici mai putem să proiectăm Udrea

pe un plan dacă dreapta inclusă

în plan atunci proiecția dreptei

Pe plan nici ar dreapta respectivă

dacă însă avem o dreaptă exterioară

unui plan atunci avem trei situații

posibile și anume dreapta este

paralelă cu planul dreapta e paralelă

cu planul alfa și vrem să proiectăm

această dreaptă Pe plan mai des

alegem două puncte pe această dreaptă

a și b și vom proiecta fiecare

punct împarte proiectăm punctul

A și notăm aici a prim proiecția

punctului a pe plan și la fel procedăm

și pentru punctul B trecem aici

B prim proiecția punctului b pe

planul alfa știm deja că atunci

când proiectăm puncte coliniare

obținem tot puncte coliniare Deci

proiectând o dreaptă pe un plan

vom obține tot o dreaptă și anume

dreapta a prim b prim de să notăm

că proiecția dreptei ab pe planul

alfa este dreapta a prim b prim

și cum dreapta a a b este paralelă

cu planul alfa atunci ce am obținut

Aici este o dreaptă paralelă cu

dreapta AB DC AB este paralelă

cu a prim b prim dacă însă dreapta

este perpendiculară pe plan Iată

dreapta d perpendiculară pe planul

alfa atunci dacă alegem punctul

se spune în b pe dreapta d atunci

proiectând punctul B pe planul

alfa a vom obține punctul o la

fel și dacă luăm un punct de sub

plan de exemplu alegem aici punctul

A pe care dacă îl proiectăm pe

planul alfa ne va da tot punctul

O de fapt proiectând orice punct

al dreptei Pe plan vom obține punctul

o adică punctul de intersecție

al dreptei cu planul alfa cu alte

cuvinte proiecția dreptei D pe

planul alfa este mulți A formată

din punctul o m aceasta a se obține

dacă avem o dreaptă perpendiculară

pe plan dacă însă avem o dreaptă

secantă cu planul Iată dreapta

d este secantă planului Alfa atunci

cum obținem proiecția aceste drepte

pe planul alfa Păi mai întâi Haide

să mute acest notația acestui punct

o vom trece aici pentru că o să

avem nevoie de spațiu și să alegem

Pe planul pe dreapta d pardon un

punct de exemplu aleg aici punctul

b și îl proiectez pe planul alfa

și voi obține aici punctul B prim

mine alegem aici încă un punct

să îi spunem si pe care tot așa

îl proiectăm pe același plan și

trecem aici punctul c prim e bine

știm deja că dacă proiectăm puncte

coliniare obținem tot puncte coliniare

Deci ce vom obține este tot o dreaptă

și anume aceasta dreapta pe care

o putem numi Fie AB prim fie a

c prim și c prim b prim Deci proiectând

dreapta de pe planul alfa proiecția

pe planul alfa a dreptei d este

dreapta sau numim c prim b prim

și astfel Am proiectat Pe plan

și o dreaptă secantă cu planul

Proiecții ortogonale pe un planAscunde teorie X

1. Proiecția ortogonală a unui punct pe un plan este piciorul perpendicularei duse din acel punct pe plan.

A A apostrophe perpendicular alpha rightwards double arrow p r subscript alpha A equals A apostrophe

Observație. Dacă punctul aparține planului, atunci proiecția sa coincide cu punctul respectiv.

2. Proiecția unui segment [AB] pe un plan este un segment [A'B'], unde A', B' sunt proiecțiile punctelor A și B pe plan.

p r subscript alpha left square bracket A B right square bracket equals A apostrophe B apostrophe

Observație. Dacă segmentul care se proiectează este perpendicular pe plan, atunci proiecția sa este un punct.

Lungimea proiecției unui segment pe un plan:

box enclose space A apostrophe B apostrophe equals A B times cos measured angle u space end enclose

unde colon
measured angle u equals measured angle left parenthesis A B comma space A C right parenthesis
A C parallel to A apostrophe B apostrophe.

Proiecția mijlocului unui segment este mijlocul proiecției segmentului respectiv.

3. Proiecția unei drepte pe un plan este o dreaptă (dacă dreapta nu este perpendiculară pe plan) sau un punct (dacă dreapta este perpendiculară pe plan).

 

Cumpara abonament
Plătește cu PayPal

Ajutor
Feedback-ul d-voastră este important pentru noi. Dacă observați vreo neregulă vă rugăm să ne-o semnalați apăsând butonul Trimite Feedback de mai jos.

Despre Lecții-Virtuale.ro

Lecții-Virtuale este o platformă educațională care oferă suport în vederea pregătirii pentru Evaluare Națională și Bacalaureat la Matematică, Fizică și Chimie. Lecțiile noastre sunt alcătuite din filme și exerciții și probleme cu tot cu rezolvări. Platforma noastră este o soluție ideală pentru școala online. Pentru facilitarea activității profesorilor în cadrul ecosistemului GSuite de la Google am implementat butonul Google Classroom. Scopul nostru este să ne concentrăm pe prezentarea noțiunilor și fenomenelor într-o manieră care să stimuleze înțelegerea și nu memorarea mecanică. Ne propunem să facilităm accesul la conținut educațional de calitate mai ales elevilor cu venituri mai modeste care nu își pemit meditații particulare. Sperăm să vă simțiti bine alături de noi și să invățați lucruri folositoare. Hai România!

Newsletter

Abonează-te la Newsletter pentru a fi la curent cu toate ofertele noastre.

Parteneri

EduApps partener Lectii Virtuale UiPath partener Lectii Virtuale CCD Galați partener Lectii Virtuale

2021 © Lecții-virtuale.ro Toate drepturile rezervate
Termeni   Despre   Contact   Confidenţialitate   Cariere Parteneri