Propoziții, predicate și cuantificatori
Tag-uri
Partajeaza in Google Classroom
Transcript
această lecție va deschide un nou
capitol numit elemente de logică
matematică și teoria mulțimilor
logica studiază propozițiile însă
nu din punct de vedere gramatical
pe noi la matematică ne interesează
doar valoarea lor de adevăr prin
urmare logica matematică studiază
accele enunțuri care pot fi adevărate
sau false iar un astfel de enunț
se numește propoziția acest capitol
își propune să consolideze limbajul
și raționamentul matematic iar
în lecția aceasta o să discutăm
despre propoziții predicate și
cuantificatori să ne uităm puțin
la aceste enunțuri și să vedem
care dintre acestea sunt propoziții
primul enunț Cât e ceasul nu este
o propoziție matematică pentru
că nu putem spune cu certitudine
că ea este adevărată sau falsă
prin urmare aceste nunți nu este
o propoziție partea întreagă a
numărului 3 este 3 este o propoziție
adevărată Închide ușa Nu este o
propoziție enunțurile imperative
și interogative nu sunt propoziții
matematice x plus 7 egal 11 unde
x este număr real acest enunț ar
putea fi o propoziție adevărată
pentru o anumită valoare a lui
x însă pentru alte valori ale variabilei
x poate fi o propoziție falsă prin
urmare nu putem ști cu certitudine
dacă este adevărat sau fals acest
enunț înseamnă că nu este o propoziție
5 mai mare decât 9 este o propoziție
falsă dreptunghiul are toate unghiurile
drepte este o propoziție adevărată
și doi plus 10 egal 9 este o propoziție
falsă propozițiile se pot nota
cu litere mici litere notăm această
propoziție cu p a doua cu q r și
s prima luarea de adevăr a unei
propoziții înțelege în proprietatea
acesteia de a fi adevărată sau
falsă valoarea de adevăr a unei
propoziții se notează astfel și
a poate fi egală cu unu dacă p
este adevărată sau 0 dacă p este
falsă în lung de 1 și 0 putem pune
și simbolurile A și F de la adevărat
sau fals și acum să vedem ce valoare
de adevăr are prima propoziție
partea întreagă a numărului 3 este
3 spuneam că aceasta este o propoziție
adevărată și atunci valoarea sa
de adevăr va fi 1 valoarea de adevăr
a propoziției q este 0 pentru că
am spus că această propoziție este
falsă valoarea de adevăr a propoziției
a r dreptunghiul are toate unghiurile
drepte este egală cu 1 și valoarea
de adevăr a propoziției s 2 plus
10 egal 9 este propoziția falsă
Deci valoarea de adevăr este egală
cu 0 acum să ne îndreptăm atenția
asupra acestui enunț spuneam mai
devreme că pentru o anumită valoare
atribuită variabilei x putem obține
o propozitie adevărată iar pentru
alte valori obținem o propoziție
falsă un astfel de enunț în care
apare una sau mai multe variabile
se numește predicat să vedem în
continuare și alte exemple de predicate
predicatele se notează cu p mic
iar în paranteză se trece variabila
care apare în enunț Primul predicat
pdx x plus 5 mai mic decât 10 unde
x este număr real pentru că în
aceste nunți apare o singură variabilă
acest predicat se va numi predicat
Un ar al doilea predicat este un
predicat venal deoarece aici Avem
două variabile în enunț x plus
y egal 7 unde x și y sunt numere
naturale al treilea predicat este
un predicat Turner pentru că avem
trei variabile x pătrat plus pătrat
egal cu Z pătrat unde x y și z
sunt numere naturale dacă atribuim
variabilelor anumite valori obținem
propoziții adevărate sau false
să ne uităm la Primul predicat
și să vedem ce propoziție obținem
pentru x egal cu unu obținem următoarea
propoziție pe DN1 1 plus 5 mai
mic decât 10 aceasta este propoziție
adevărată în al doilea predicat
monta variabilelor x și y valorile
1 și 2 obținem astfel propoziția
pe de 1 și 2 1 plus 2 este egal
cu 7 Aceasta este o propozitie
falsă și pentru al treilea predicat
să vedem ce propoziții obținem
în cazul în care x este 1 este
2 și z este 3 obținem astfel că
1 la pătrat plus 2 la pătrat este
egal cu 3 la pătrat 5 egal cu 9
este o propoziție falsă și acum
să vedem ce propoziții obținem
dacă x este 3 4 și Z5 e de 3 4
5 3 la pătrat plus 4 la pătrat
egal cu 5 la pătrat Aceasta este
o propoziție adevărată pentru că
numerele 3 4 și 5 sunt numere pitagorice
observăm Așadar că Pentru anumite
valori atribuite variabilelor predicatele
devin propoziții adevărate ia pentru
alte valori de vin propoziții false
această mulțime care apare aici
se numește mulțimea de valori sau
domeniul de definiție al predicatului
pentru predicatul unr domeniul
de definiție este r în acest caz
în al doilea exemplu domeniul de
definiție este l iar în al treilea
exemplu domeniul de definiție a
creditului este n în continuare
să vedem Ce înțelegem prin mulțimea
de adevăr a un predicat am notat
această mulțime cu A mare de la
adevăr mulțimea de adevăr a predicatului
p de x este formată din acele elemente
x din domeniu a notat cu Denis
este meniu cu proprietatea că p
de x este o propoziție adevărată
și în continuare un exemplu concret
avem următorul predicat pe Dan
x x plus 4 supra x plus 5 este
număr întreg unde x este număr
întreg diferit de minus 5 ne propunem
să determinăm mulțimea de adevăr
a acestui predicat mai exact trebuie
să vedem Pentru ce valori ale variabilei
x fracția aceasta este număr întreg
o să mai scriu o dată x plus 4
supra x plus 5 o fracție este număr
întreg dacă numărătorul se împarte
exact la numitor sau altfel zis
dacă numitorul este un divizor
al numărătorului dar ajutat dacă
locul expresiei de la numărător
am avea un număr pentru că atunci
am putea să scriem divizorii acelui
număr și atunci mă faci un artificiu
de calcul în loc de patru o să
scriem cinci minus 1 și o să vedeți
imediat de ce așa Dar avem x plus
5 minus 1 supra x plus 5 la numărător
avem o diferență și atunci putem
să despărțim această fracție în
alte două fracții prima fracție
x plus 5 supra x plus 5 minus 1
supra x plus 5 Observați că se
simplifică x plus 5 acesta este
și motivul pentru care am vrut
să le scriem pe 4 cu ajutorul lui
cinci și obținem în continuare
egal cu 1 minus 1 supra x plus
5 din moment ce 1 este număr întreg
pentru ca toată această expresie
să fie număr întreg mai trebuie
ca fracția aceasta să fie număr
întreg 1 supra x plus 5 este număr
întreg dacă x plus 5 este un divizor
al lui 1 prin urmare x plus 5 aparține
mulțimii formate din elementele
1 și minus 1 Aceștia sunt divizorii
lui 1 vorbind despre divizori întregi
în continuare Nu ne rămâne decât
să rezolvăm aceste Două ecuații
prima ecuație x plus 5 egal cu
1 va avea soluția x egal cu minus
4 x plus 5 egal cu minus unu are
soluția x egal cu minus 6 deci
pentru aceste două valori atribuite
variabilei x fracția noastră este
număr întreg Deci mulțimea de adevăr
acestui predicat este a mare formată
din elementele minus 4 și minus
6 spuneam mai devreme că dacă atribuind
variabilelor anumite valori transformăm
predicatele în propoziții însă
mai avem și o altă metodă de a
transforma predicatele în propoziții
folosind anumite expresii să vedem
în continuare Care sunt aceste
expresii prin care putem transforma
un predicat în propoziție folosind
expresia există cel puțin un x
astfel încât să aibă loc pe de
x transformăm un predicat în propoziție
iar această propoziție se numește
propoziția existențială Și a se
notează astfel există cel puțin
un x astfel încât să aibă loc pe
de x sau mai putem nota așa există
x un număr din domeniu astfel încât
are loc propoziția pe de x acest
simbol ca și un e întors se citește
există și se numește cuantificatori
existențial moartea expresii cu
ajutorul căruia putem transforma
în predicat între o propoziție
este următoarea expresie oricare
ar fi x are loc pe de x această
expresie transformăm predicat în
propoziție iar această propoziție
se numește propoziție universală
și se notează astfel oricare ar
fi x are loc pe dx sau mai poate
fi notată și așa oricare ar fi
x un element din domeniul de definiție
are loc pe de x acest simbol se
citește oricare ar fi și se numește
cuantificator universal Propoziția
existențială este adevărată dacă
există cel puțin un element x din
domeniul de Valori astfel încât
propoziția pdx să fie adevărată
iar propoziția universală este
adevărată dacă pentru orice număr
x din domeniul de Valori pdx este
adevărată în schimb propoziția
universală este falsă dacă există
cel puțin un x din mulțimea de
Valori astfel încât p de x să fie
falsă să vedem în continuare un
exemplu concret pornind de la acest
predicat pdx x divide pe 8 unde
x este număr natural să construim
propoziția existențială propoziția
universală și să vedem apoi valoarea
de adevăr a acestora începem cu
propoziția existențială există
un x număr natural astfel încât
x divide pe opt sau mai putem să
notăm și așa există x un element
din mulțimea numerelor naturale
astfel încât x divide pe opt spuneam
că propoziția existențială este
adevărată dacă există cel puțin
un element din domeniul de Valori
adică azul nostru din n astfel
încât x cel dividă pe 8 de exemplu
pentru x egal cu 2 această relație
de divizibilitate este adevărată
Așadar Propoziția existențială
este propoziția adevărată este
suficient să găsim cel puțin o
valoare a lui x astfel încât relația
aceasta să aibă loc pornind apoi
de la acest predicat să construim
propoziția universală oricare ar
fi x număr natural x divide pe
8 sau oricare ar fi x număr natural
x divide pe 8 cazul în care există
cel puțin un număr natural pentru
care această relație să nu aibă
loc propoziția universală va fi
falsă ne exemplu pentru x egal
cu 9 9 divide pe opt este o propoziție
falsă înseamnă că această relație
de divizibilitate nu are loc pentru
orice număr natural prin urmare
propoziția universală este falsă
nu mai facem în continuare niște
aplicații Fie x un număr întreg
și ne propunem să vedem valoarea
de adevăr a acestor propoziții
prima propoziție există x număr
întreg astfel încât modul din 4
minus x plus modul din 2x minus
8 să fie egal cu 0 dacă găsim cel
puțin unul număr întreg astfel
încât această egalitate să aibă
loc atunci Propoziția este adevărată
Suma a două module este 0 Dacă
fiecare dintre aceste două module
este egal cu 0 modul din 4 minus
x este 0 dacă x este egal cu 4
iar modul din 2x minus 8 este 0
dacă x este egal cu 4 primare am
găsit cel puțin o valoare a lui
x astfel încât această relație
să fie adevărată prin urmare această
propoziție este o propoziție adevărată
a doua propoziție oricare ar fi
x număr întreg 2x minus opt este
mai mare sau egal decât 0 trebuie
să vedem dacă această relație are
loc pentru orice număr întreg sau
să găsim cel puțin un număr întreg
pentru care inegalitatea este falsă
De exemplu dacă x este egal cu
unu obținem 2 minus 8 Adică min
6 mai mare sau egal decât 0 Adică
o propoziție falsă având în vedere
că am găsit cel puțin o valoare
a lui x pentru care această inegalitate
este falsă propoziția oricare ar
fi x 2x minus 8 mai mare sau egal
decât 0 este o propoziție falsă
a treia propoziție există x număr
întreg astfel încât x la a doua
minus 64 egal cu 0 să vedem dacă
găsim cel puțin un x pentru care
să aibă loc egalitatea aceasta
există chiar două valori pentru
x și anume X1 egal cu 8 și X2 egal
cu minus opt pentru aceste două
valori ale lui x egal litatea aceasta
este adevărată Deci Propoziția
existențială este adevărată în
cazul în care avem predicate binare
sau ternare acesteia pot fi transformate
în propoziții utilizând cu anticarul
existențial în combinație cu cel
universal de exemplu avem aceste
ridicat binar 3 x plus y egal cu
1 unde x și y sunt numere întregi
putem transforma acest predicat
în propoziție folosind cei doi
cuantificatori de exemplu putem
obține propoziția oricare ar fi
x există un yn300 lângă 3 x plus
y să fie egal cu 1 sau o altă propoziție
există x număr întreg astfel încât
oricare ar fi Y apartamente cu
edificator nu sunt comutative pentru
că aceste două propoziții număr
avea aceeași valoare de adevăr
o să vedem imediat de ce să determinăm
mai întâi valoarea de adevăr a
acestei propoziții sau mai citim
odată pentru orice x număr întreg
există un y9 întreg astfel încât
3 x plus igrec să fie egal cu 1
Haideți atunci să ne alegem un
x arbitrar ești pentru un x număr
întreg ales arbitrar trebuie să
verificăm dacă există cel puțin
un y7 această egalitate să aibă
loc dacă îl exprimăm pe ecran din
această relație avem că y este
egal cu 1 minus 3x Deci pentru
un x ales arbitrar există trei
adevărul ytmp3 ca aceasta să aibă
loc însă nu este suficient să le
exprimăm pe ia din această relație
trebuie și să verificăm dacă acesta
este număr întreg din moment ce
x ia doar valori întregi atunci
și y a fi număr întreg pentru că
nu există aici pericolul să avem
vreo fracție sau lângă radical
Așadar y scrise sub această formă
este număr întreg Deci această
propoziție este propoziție adevărată
întrucât x a fost ales arbitrar
Deci oricare ar fi x din sat există
una din z astfel încât 3 x plus
igrec să fie egal cu unu în a doua
propoziție trebuie să verificăm
dacă există cel puțin un x număr
întreg astfel încât oricare ar
fi Y apartamente Vaslui x Haideți
să exprimăm pe x x va fi egal cu
1 minus y supra 3 trebuie să vedem
dacă acest x este număr întreg
pentru orice valoare a lui y din
z însă dacă alegem pe y2 Gal cu
2 obținem că x este egal cu minus
1 supra 3 dar minus 1 supra 3 nu
este număr întreg prin urmare nu
pentru orice număr din Zet există
un x astfel încât 3 x plus y să
fie egal cu 1 Deci această propoziție
este falsă rețineți Așadar că cei
doi cuantificatori nu sunt comutative
în concluzie Voi trebuie să rețineți
din această lecție următoarele
aspecte o propoziție este un enunț
care poate fi adevărat sau fals
un predicat este un enunț care
conține una sau mai multe variabile
și Pentru anumite valori atribuite
variabilelor obținem propoziții
adevărate sau false și mai trebuie
să știți că logica matematică are
două principii de bază primul este
principiul tertului exclus asta
înseamnă că o propoziție poate
să fie ori adevărată ori falsă
a treia variantă nu există și mai
avem principiul noncontradicției
Adică o propoziție nu poate să
fie în același timp și adevărată
și falsă cam atât gata