Va rugam dezactivati programul ad block pentru a vizualiza pagina!

Cumpara abonament!
Plateste cu PayPal

Proprietăți ale înmulțirii matricelor

Partajeaza in Google Classroom

Partajeaza cu Google Classroom
Susține Lectii-Virtuale!
Pentru a putea vizualiza un video va rugam sa va logati aici! Daca nu aveti cont va puteti inregistra apasand aici.
3 voturi 182 vizionari
Puncte: 10

Transcript



ceasul știi ce proprietăți are

această operație să vedem dacă

înmulțirea matricelor este o operație

comutativă dacă ne referim la matricele

de mai sus matricea a este de tipul

3 2 matricea b este de tipul 2

3 ceea ce înseamnă că se poate

efectua și operația pe ora pentru

calculul matricei b ora vom scrie

explicit matricele b respectiv

a minus 1 4 0 3 minus 2 minus 3

înmulțit cu matricea 1 2 minus

2 0 4 minus 1 și înmulțim în același

mod liniile matricei b cu coloanele

matricei a obținem Așadar matricea

A minus 1 ori 1 plus 4 ori minus

2 plus 0 ori 4 minus 1 ori 2 plus

4 ori 0 plus 0 ori minus unu pentru

linia a doua efectuăm calculele

3 ori 1 plus minus 2 ori 2 plus

minus 3 ori 4 3 înmulțit cu 2 plus

minus 2 înmulțit cu 0 plus minus

3 înmulțit cu minus unu adică matricea

a minus 1 minus 8 plus 0 minus

2 plus zero plus 0 3 plus 4 minus

12 6 plus 0 plus 3 adică matricea

minus 9 minus 2 minus 5 și 9 observăm

că matricea A ori B este diferită

de matricea de ora nefiind nici

măcar de același tip chiar dacă

cele două Matrice aur b și b o

rea sunt de același taxe stă situații

în care ele sunt diferite după

cum există situații în care nici

nu se poate efectua înmulțirea

Spre exemplu dacă matricea a ar

fi fost de tipul 2 3 iar matricea

b ar fi fost de tipul 3 4 matricea

a orbi ar fi fost de tipul 2 patru

iar produsul de aur ea nu se poate

efectua pentru că matricea b are

patru coloane iar matricea a are

două linii în concluzie înmulțirea

matricelor nu este o operație comutativă

să studiem acum dacă înmulțirea

matricelor este o operație asociativă

Se consideră matricele a b și c

pătratice de ordinul doi să calculăm

pentru început produsul Laur b

iar rezultatul îl vom înmulțit

cu matricea înmulțim liniile matricei

a cu coloanele matricei pe adică

a ori a plus b ori c a ori a plus

b ori c ori e plus b ori c ori

e plus de aur Cash înmulțit cu

matricea m n p q înmulțim acum

elementele produsului aur b cu

coloanele matricei c a e m plus

b g m plus sa pe Luis bhp a plus

b g n plus afq plus b h q c e m

plus DJ m plus c f p plus d h p

c d j n plus c plus d h q să vedem

acum Ce rezultat obținem la înmulțirea

matricii va cu produsul de orice

înmulțim matricea a b c d cu matricea

e ori în plus f p e m plus s q

j m plus HP gen8 adică a e m plus

a plus b c plus D plus b HP linia

1 coloana a 2-a plus a plus b si

in plus pe HQ înmulțim acum linia

a doua cu coloana 1 adică ce e

m plus c f p plus dgm SP linia

a doua coloana a doua ce e n plus

c f q plus desen plus dhq comparând

acum cele două Matrice constatăm

că acestea sunt egale deci matricele

sunt egale avem astfel egalitatea

a înmulțit cu B totul înmulțit

cu c este egal cu a înmulțit cu

b înmulțit cu c dacă înlocuim acum

matricile a b și c oricare alte

Matrice Cu condiția ca înmulțiri

a să poată fi efectuată egalitatea

se păstrează Așadar înmulțirea

matricelor este o operație asociativă

putem formula acum proprietatea

pe 1 matricea a înmulțită cu matricea

de totul înmulțit cu matricea Ce

este egal cu produsul dintre matricea

a și produsul dintre matricele

d și c Oricare ar fi matricea a

de tipul m n matricea de tipul

NP și matricea si de tipul pe q

știind că operația de înmulțire

a numerelor complexe are ca element

neutru numărul 1 Oare operația

de înmulțire a matricelor ar putea

admite un element neutru fie o

matrice a de tipul m n o matrice

care să poată fi înmulțită la stânga

lui ar trebui să aibă m coloane

iar o matrice care să poată fi

înmulțite la dreapta lui Ioan ar

trebui să aibă în linii să notăm

cu e matricea element neutru ar

trebui să fie o matrice de tipul

n m un element neutru are proprietatea

că înmulțit la stânga și la dreapta

a cu matricea a Îl lasă neschimbat

adică a înmulțit cu ei ar trebui

să fie egal cu e în cu a c egal

cu a pentru orice Matrice a de

tipul MN cu matricea a este de

tipul MN și matricea i se de tipul

n m de tuse că produsul aurie este

o matrice de tipul m m cu matricea

a este de tipul n m și matricea

a este de tipul MN de ducem că

produsul eu ori este o matrice

de tipul n n cele două Matrice

A E respectiv va trebuie să fie

egal cu matricea a astfel obținem

egalitatea că m trebuie să fie

egal cu n în concluzie un posibil

element neutru trebuie să fie o

matrice pătratică de ordin n dar

și matricele pentru care ne punem

problema existenței elementului

neutru trebuie să fie pătratice

de ordin n Dar ce matrici ar putea

juca rolul elementului neutru iau

Matrice pătratică de ordinul 2

cu elementele 1 2 3 4 că Toma matricei

care să joace rolul elementului

neutru de formă a b c d efectuând

produsul aurie înmulțim liniile

matricei a cu coloanele matricei

b obținând matricea a plus doi

c b plus 2-d 3-a plus 4 C respectiv

3 b plus 4 d care Matrice trebuie

să fie egală cu matricea a doua

Matrice sunt egale dacă elementele

corespunzătoare sunt egale obținem

astfel egalitățile a plus doi c

este egal cu unu respectiv Trei

A plus 4 c este egal cu 3 Rezolvând

acest sistem prin metoda reducerii

puteam înmulții prima ecuație cu

minus doi reducând necunoscuta

si obținem necunoscuta a ca fiind

egală cu unu înlocuind acum această

valoare în prima ecuație în obținerea

si pe c egal cu zero similar obținem

egalitățile b plus 2 d este egal

cu 2 respectiv 3 b plus 4 d este

egal cu 4 Rezolvând acum sistemul

Tot prin metoda reducerii Înmulțind

prima ecuație cu minus 2 adunând

Cele Două ecuații obținute obținem

necunoscute B ca fiind egală cu

zero înlocuind dotă asemenea în

prima ecuație obținem ecuația 0

plus 2 egal cu 2 care ne oferă

și PD Așadar obținem matricea e

ca fiind egală cu matricea 1 0

0 1 azi putea verifica dacă produsul

a înmulțit cu a este egal tot cu

ei Dacă înlocuim acum matricea

a oricare alta Matrice pătratică

de ordinul 2 obținem ca un posibil

element neutru tot această Matrice

Așadar matricea care joacă rolul

elementului neutru la înmulțirea

matricelor patratice este această

Matrice matricea care are pe prima

diagonală 1 iar în rest zerouri

matricea aceasta o notăm cu e 2

e 2 pentru că este de ordinul 2

și o numim matrice unitate sau

Matrice identică de ordinul doi

dacă vorbim de Matrice pătratică

de ordinul trei e ia are această

formă unul pe prima diagonală și

zerouri în rest aceasta este matricea

unitate de ordinul patru și aceasta

este matricea unitate de ordinul

n Așadar avem proprietatea pe 2

matricea a înmulțită cu matricea

en este egală cu matricea en er

matricea a și egal cu matricea

a Oricare ar fi matricea a o matrice

pătratică de ordinul n știm deja

că există o proprietate de legătură

între adunarea și înmulțirea numerelor

reale adică x înmulțit cu y plus

z este egal cu x ori y plus x y

z oricare ar fi x y z numere reale

este vorba de distributivitate

a înmulțirii orale față de Adunarea

numerelor reale Oare există o proprietate

similară și pentru Matrice Să considerăm

trei Matrice patratice de ordinul

doi cu elemente din mulțimea numerelor

reale Să calculăm matricea a înmulțit

cu suma dintre matricea b și matricea

ce adică matricea a înmulțită cu

unu plus doi zero plus minus unu

trei plus minus unu patru plus

trei palma mulți acum liniile matricei

a cu coloanele matricei b plus

c adică matricea a înmulțită cu

matricea 3 minus 1 2 7 9 mulți

acum liniile matricei a cu coloanele

matricei pe plus c 2 înmulțit cu

3 plus 1 înmulțit cu 2 2 înmulțit

cu minus 1 plus 1 înmulțit cu 7

minus 1 înmulțit cu 3 plus 2 înmulțit

cu 2 minus 1 înmulțit cu minus

1 plus 2 înmulțit cu 7 adică matricea

6 plus 2 minus 2 plus 7 minus 3

plus 4 1 plus 14 obținem Așadar

matricea 8 5 115 să calculăm acum

matricea a înmulțit cu B plus a

înmulțit cu ce adică înmulțim liniile

matricei a cu coloanele matricei

b 2 ori 1 plus 1 ori 3 linia 1

coloana 2 2 ore 0 plus 1 ori 4

linia 2 coloana 1 minus 1 ori 1

plus 2 ori 3 linia 2 coloana A

2-a minus unu vor 0 plus 2 ori

4 plus înmulțim acum liniile matricei

a cu coloanele matricei Si 2 ori

2 plus 1 ori minus 1 2 ori minus

1 plus 1 ori 3 linia 2 coloana

1 minus 1 ori 2 plus 2 ori minus

unu linia 2 coloana A 2-a minus

1 ori minus 1 plus 2 ori 3 adică

efectuând calculele 2 plus 3 plus

4 minus 1 plus șase zero plus opt

plus matricea 4 minus 1 minus 2

plus 3 minus 2 minus 2 1 plus 6

adică avem matricea și în 4 5 8

adunată cu matricea trei unu minus

4 7 obținem Așadar matricea 8 5

115 comparând acum cele două Matrice

observăm că ele sunt egale obținând

Așadar relația a înmulțit cu b

plus c este egal cu a înmulțit

cu B plus a înmulțit cu c aceasta

egalitate poate fi generalizată

formulând proprietatea trei A înmulțit

cu b plus c este egal cu a înmulțit

cu B plus înmulțit cu ce Oricare

ar fi matricea a de tipul m n și

oricare ar fi matricele b și c

de tipul NP dar și relația b plus

c înmulțit cu a este egal cu b

ori a plus c ori a oricare ar fi

matricile b și c de tipul m n și

Oricare ar fi matricea a de tipul

n p putem vorbi așa dar de distributivitatea

la stânga a înmulțirii față de

adunare a matricelor Taci de distributivitatea

la dreapta a înmulțirii față de

adunare a matricelor Ce legături

ar putea exista între înmulțirea

matricelor și înmulțirea matricelor

cu scalari dacă ne referim la matricile

a și b precedente Alfa înmulțit

cu produsul a ori b este egal cu

matricea a o b o avem aici este

egal cu 5 Alpha 4 Alpha 5-alfa

Octav calculând acum alfa o rea

înmulțit cu matricea B Alfa ori

a înmulțim elementele matricei

a cu alfa adică 2 Alpha Alpha minus

Alpha 2L fă înmulțit cu matricea

b103 4 înmulțim elementele matricei

Alfa b coloanele matricei b adică

2 Alpha plus 3 Alfa linia 1 coloana

2 2 Alfa aur zero zero Alfa ori

4 4 Alpha minus Alpha 1 minus Alpha

2L Faur 3 6 Alfa minus Alfa ori

0:02 Alfa ore patru opt ani Adică

matricea 5 Alpha 4 Alpha 5 Alfa

și Dacă vom calcula acum și matricea

a înmulțit cu matricea alfabet

înseamnă să înmulțim matricea 2

1 minus 1 doi ca matricea alfabet

adică Alpha 0 3 Alpha 4 Alpha înmulțim

liniile matricei a cu coloanele

matricei alfabet și obține matricea

i2 Alfa plus 3 Alpha 2.00 plus

1 ori 4 Alpha 4 Alpha minus 1 ori

Alpha minus Alpha 2 ori 3 Alpha

6 alfamino sonor 0 0 2 ori 4 Alpha

8 Adică matricea 5 Alpha 4 Alpha

5-alfa opta să observăm că Alfa

ori matricea a or b este egală

cu matricea alfa a înmulțită cu

b și este egală cu matricea a înmulțită

cu matricea alfabet calitate care

se păstrează și în cazul în care

înlocui matricele a b cu oricare

altă Matrice pentru care mulțimea

Este posibilă putem formula a patra

proprietate pe 4 și anume Alfa

înmulțită cu produsul a ori b este

egal cu a Alfa ori a înmulțit cu

matricea a b și este egal cu matricea

a înmulțit cu produsul Alfred a

Oricare ar fi a o matrice de tipul

m n b o matrice de tipul n p și

Alfa un număr complex

Teorie- proprietăți ale înmulțirii matricelorAscunde teorie X

begin mathsize 14px style 1. space left parenthesis A times B right parenthesis times C equals A times left parenthesis B times C right parenthesis comma for all A element of calligraphic M subscript m comma n end subscript left parenthesis straight complex numbers right parenthesis comma space B element of calligraphic M subscript n comma p end subscript left parenthesis straight complex numbers right parenthesis comma space C element of calligraphic M subscript p comma q end subscript left parenthesis straight complex numbers right parenthesis end style

(înmulțirea matricelor este asociativă)

begin mathsize 14px style 2. space A times bold italic I subscript bold n equals bold italic I subscript bold n times A equals A comma space for all A element of calligraphic M subscript n left parenthesis straight complex numbers right parenthesis
end style

begin mathsize 14px style 3. space A times left parenthesis B plus C right parenthesis equals A times B plus A times C comma space for all A element of calligraphic M subscript m comma n end subscript left parenthesis straight complex numbers right parenthesis comma space B comma C element of calligraphic M subscript n comma p end subscript left parenthesis straight complex numbers right parenthesis end style

begin mathsize 14px style left parenthesis B plus C right parenthesis times A equals B times A plus C times A comma space for all B comma C element of calligraphic M subscript m comma n end subscript left parenthesis straight complex numbers right parenthesis comma space A element of calligraphic M subscript n comma p end subscript left parenthesis straight complex numbers right parenthesis end style

(înmulțirea matricelor este distributivă față de adunarea matricelor)

begin mathsize 14px style 4. space alpha left parenthesis A B right parenthesis equals left parenthesis alpha A right parenthesis B equals A left parenthesis alpha B right parenthesis comma for all A element of calligraphic M subscript m comma n end subscript left parenthesis straight complex numbers right parenthesis comma space B element of calligraphic M subscript n comma p end subscript left parenthesis straight complex numbers right parenthesis comma space for all alpha element of straight complex numbers end style

Observație. Înmuțirea matricelor nu este o operție comutativă.

Navigare în lectii

Cumpara abonament
Plătește cu PayPal

Ajutor
Feedback-ul d-voastră este important pentru noi. Dacă observați vreo neregulă vă rugăm să ne-o semnalați apăsând butonul Trimite Feedback de mai jos.

Despre Lecții-Virtuale.ro

Lecții-Virtuale este o platformă educațională care oferă suport în vederea pregătirii pentru Evaluare Națională și Bacalaureat la Matematică, Fizică și Chimie. Lecțiile noastre sunt alcătuite din filme și exerciții și probleme cu tot cu rezolvări. Platforma noastră este o soluție ideală pentru școala online. Pentru facilitarea activității profesorilor în cadrul ecosistemului GSuite de la Google am implementat butonul Google Classroom. Scopul nostru este să ne concentrăm pe prezentarea noțiunilor și fenomenelor într-o manieră care să stimuleze înțelegerea și nu memorarea mecanică. Ne propunem să facilităm accesul la conținut educațional de calitate mai ales elevilor cu venituri mai modeste care nu își pemit meditații particulare. Sperăm să vă simțiti bine alături de noi și să invățați lucruri folositoare. Hai România!

Newsletter

Abonează-te la Newsletter pentru a fi la curent cu toate ofertele noastre.

Parteneri

EduApps partener Lectii Virtuale UiPath partener Lectii Virtuale Scoala365 partener Lectii Virtuale CCD Galați partener Lectii Virtuale

2022 © Lecții-virtuale.ro Toate drepturile rezervate
Termeni   Despre   Contact   Confidenţialitate   Cariere Parteneri