Proprietățiile progresiei aritmetice (teorie)
Tag-uri
Partajeaza in Google Classroom

Transcript
în această lecție o să discutăm
despre proprietățile progresiei
aritmetice și avem această progresie
aritmetică pe care am notată cu
a n dat este egală cu a unde a
este număr real nenul iar ca și
exemplu a scris această progresie
aritmetică 1 3 5 7 9 11 13 15 Aceasta
este o progresie aritmetica cu
rația egală cu 2 pentru început
ne propunem să găsim o formulă
de calcul pentru termenul general
al unei progresii aritmetice primul
termen al acestei progresii este
A1 al doilea termen este A2 și
acesta se obține adunând la primul
termen rația al treilea termen
a 3 este egal cu ad plus rația
și egal mai departe A2 este A1
plus R plus R egal cu a 1 plus
2 r al patrulea termen a fi A3
plus rația egal mai departe cu
a 1 plus 2 r plus R egal cu a 1
plus 3 r și așa mai departe observăm
Așadar că pentru termenul de rang
3 avem aici 2 ori rația pentru
termenul de rang 4 avem trei ori
rația prin urmare pentru termenul
de rang n o să avem A1 plus minus
1 ori rația oricare ar fi n mai
mare sau egal cu 1 am găsit așa
dar această formulă care ne permite
să calculăm orice termen al unei
progresii aritmetice dacă se cunosc
primul termen și rația demonstrați
aceste formule se face prin metoda
inducției matematice și o lăsăm
ca și exercițiu revenind la exemplul
acesta Haideți să calculăm l31
la termen în acest exemplu primul
termen este egal cu 1 rația este
egală cu 2 și atunci l31 lea termen
în formă acestei formule a fi egal
cu a 1 adică 1 plus 31-a minus
1 ori rația egal în continuare
cu 1 plus 30 ori 2 egal cu 61 să
reținem Așadar această formulă
cu ajutorul căreia putem să calculăm
orice termen al unei progresii
în funcție de primul termen și
rația progresiei continuăm cu o
a doua proprietate a progresiilor
iar pentru aceasta Haide să ne
uităm puțin la acest exemplu observăm
că numărul 3 este media aritmetică
a numerelor 1 și 5 pentru că 1
plus 5 supra 2 este 6 pe 2 adică
3 de asemenea Numărul 5 este media
aritmetică a numerelor 3 și 7 3
plus 7 este 10 supra 2 egal cu
5 la fel numărul 7 este media aritmetică
a numerelor 5 și 9 5 plus 9 este
14 supra 2 7 observăm Așadar că
fiecare termen al progresiei aritmetice
începând cu al doilea este media
aritmetică a termenilor Alăturați
de aici și provine numele progresiei
aritmetice în caz generalizați
să proprietate se va scrie astfel
a n termenul de rang n este media
aritmetică a numerelor a n minus
1 și a n plus 1 oricare ar fi n
mai mare sau egal cu 2 sau această
formulă se mai poate scrie și astfel
2-a n este egal cu a n minus 1
plus a n plus 1 Haideți să demonstrăm
această formulă calculăm Așadar
Suma a n minus 1 plus a n plus
1 reamintesc formula termenului
general pe care am de dus o mai
devreme a n este egal cu a 1 plus
n minus 1 ori rația Atunci a indice
n minus 1 va fi egal cu 1 plus
n minus 1 minus 1 adică a minus
2 ori rația plus iar termenul de
rang n plus 1 va fi egal cu a 1
plus m plus 1 minus 1 adică n ori
rația egal A1 plus A1 este 2 A1
Plus aici Da factor comun pe r
avem n pe lângă n minus 2 plus
n egal mai departe cu 2-a 1 plus
R pe lângă 2 n minus 2 egal cu
2-a 1 plus în paranteză de factor
comun pe 2 avem 2 pe lângă n minus
1 ori rația mai dăm încă o dată
factor comun pe 2 și o să avem
2 pe lângă 1 plus a minus 1 ori
Air observăm acum că în paranteză
dreaptă avem expresia pentru termenul
general a n așa dar putem să scriem
egal mai departe cu 2-a n Iată
de unde am pornit a n minus 1 plus
a n plus 1 este egal cu 2-a n așadar
am demonstrat această formulă prin
urmare să reținem că oricare ar
fi trei termeni consecutivi ai
unei progresii aritmetice termenul
din mijloc este media aritmetică
a termenilor Alăturați trecem la
o a treia proprietate a progresiilor
aritmetice pentru aceasta am rescris
progresia aritmetică sub această
formă O să vedeți imediat De ce
mai întâi să ne uităm la acest
exemplu observăm că 1 plus 15 este
egal cu 3 plus 13 egal cu 5 plus
11 egal cu 7 plus 9 putem chiar
să scriem acest lucru 1 plus 15
este egal cu 3 plus 13 egal cu
5 plus 11 egal cu 7 plus 9 observăm
Așadar că suma oricăror două numere
egale depărtate de numerele Extreme
este egală cu suma numerelor extreme
în cazul general Acest lucru se
va scrie astfel A1 plus a n acestea
sunt numerele extreme a fi egal
cu a 2 plus a n minus 1 egal cu
puncte puncte și egal cu a k plus
a minus k plus 1 dacă ne uităm
la indici observăm că suma indicilor
este întotdeauna egală cu n plus
1 Așadar al caulea termin de la
început Este evident a k însă el
ca lulea termen de la sfârșit Deci
pornind de la dreapta spre stânga
va fi a indice n minus k plus unu
ca să respectăm această regulă
ca suma indicilor să fie egală
cu n plus 1 vom demonstra această
formulă mai exact demonstrăm această
egalitate Haideți să calculăm suma
a k plus a indice n minus apa plus
unu și aplicăm din nou formula
termenului general al unei progresii
aritmetice pe care o să mai scriu
încă o dată a n este egal cu a
1 plus a minus 1 stația bănuiesc
că deja Ați învățat această formulă
a k la final cu A1 plus apa minus
1 r plus a fumat chest termen va
fi egal cu a 1 plus n minus k plus
1 minus 1 ne rămâne în minus k
ori rația egal 1 plus 1 este 2
A1 plus de factor comun pe r avem
R pe lângă km enis 1 plus a minus
k egal cu 2 A1 plus a minus 1 ori
R egal în loc de 2 1 scrie a 1
plus 1 plus a minus unu Air însă
această expresie reprezintă formula
de calcul pentru termenul de rang
n și atunci Putem să scriem egal
mai departe e cu a 1 plus a m iar
am arătat că această sumă a k a
plus a indice n minus 1 este egală
cu a 1 plus a n să reținem Așadar
că între o progresie aritmetică
suma oricăror două numere egal
depărtate de numerele Extreme este
egală cu suma numerelor Extreme
și continuăm cu o apatra proprietate
a progresiilor aritmetice ne propunem
să determinăm formula de calcul
pentru suma primelor n numere ale
unei progresii aritmetice și notam
această sumă cu s m s n va fi egal
cu a 1 plus A2 plus puncte puncte
penultimul termen este a indice
n minus 1 și ultimul termen din
suma va fi a n pentru a găsi o
formulă de calcul pentru această
sumă vom Rescrie suma sub următoarea
formă a n plus a n minus 1 plus
puncte puncte plus A2 plus a 1
știind că adunarea este comutativă
așa dar putem să rescriem suma
invers adunăm cele două relații
membru cu membru nu am obține 2
este egal adunăm pe verticală A1
plus a n plus A2 plus a n minus
1 plus puncte puncte plus a n minus
1 plus A2 și plus a n plus a 1
fiecare paranteză va conduce spre
același rezultat deoarece conform
proprietății de stat a anterior
suma termenilor egal depărtați
de numerele Extreme este egală
cu suma extremelor Așadar fiecare
paranteză a fi egală cu a 1 plus
a n din moment ce avem n astfel
de paranteze putem să scrie încă
doi Essen va fi egal cu n ori A1
plus și acum îl exprimă în prezent
Nelson va fi egal cu m pe lângă
a 1 plus a n totul supra 2 aceasta
este formula de calcul pentru suma
primilor n termeni ai unei progresii
aritmetice pentru exemplul nostru
Haideți să calculăm suma primelor
20 de numere Așadar s20 va fi egal
În cazul nostru n este 20 ohm avea
20 pe lângă A1 este 1 plus a 20
totul supra 2 Mai trebuie să calculăm
al douăzecilea termen al 20 este
egal cu A1 Adică 1 plus 20 minus
1 ori rația rația în cazul acestui
exemplu este egală cu 2 și obținem
1 plus 19 ori 238 egal cu 39 atunci
s20 va fi egal ai se simplifică
20 cu doi de rămâne în 10 pe lângă
1 plus 39 și egal cu 406 stă formulă
care ne permite să calculăm suma
primelor n numere ale unei progresii
aritmetice în continuare aș vrea
să mai fac câteva observații O
primă observație dacă avem trei
numere consecutive a b și c ale
unei progresii aritmetice Uneori
în exerciții este util să scriem
cele trei numere sub următoarea
formă b egal cu k a egal cu k minus
iar c egal cu k plus r dacă le
scriem sub această formă putem
să le calculăm mai rapid o a doua
observație dacă avem acum patru
numere a b c d ale unei progresii
aritmetice patru numere consecutive
ale unei progresii aritmetice atunci
în Este convenabil să le scriem
astfel ei să fie k minus 3 r b
k minus r c egal cu k plus r iar
de va fi egal cu k plus 3 r în
acest caz rația este egală cu 2
r iar dacă avem cinci numere consecutive
a b c d și e ale unei progresii
aritmetice Atunci numărul din mijloc
c va fi egal cu k b va fi egal
cu k minus r a este k minus 2 r
d este k plus r iar e va fi egal
cu k plus 2 r Așadar să reținem
că în unele exerciții este mai
convenabil să scriem numerele dintre
o progresie aritmetică sub acestei
forme pentru a le putea găsi mai
ușor să reținem Așadar cele patru
formule importante pe care le am
văzut în această lecție formula
termenului general al unei progresii
aritmetice a n este egal cu a 1
plus n minus 1 ori rația fiecare
termen al unei progresii aritmetice
este media aritmetică a termenilor
Alăturați a n este egal cu a n
minus 1 plus a m plus 1 supra 2
suma termenilor egal depărtați
de numerele extremi este egală
cu suma extremelor deci a k a plus
a n minus k plus 1 a fi egal cu
a 1 plus a n iar formula care ne
permite să calculăm suma primelor
n numere ale unei progresii aritmetice
este m pe lângă a 1 plus a n supra
2 Dacă reținem aceste formule putem
să rezolvăm orice exercițiu cu
progresii aritmetice