Proprietățiile progresiei aritmetice (teorie)

în această lecție o să discutăm

despre proprietățile progresiei

aritmetice și avem această progresie

aritmetică pe care am notată cu

a n dat este egală cu a unde a

este număr real nenul iar ca și

exemplu a scris această progresie

aritmetică 1 3 5 7 9 11 13 15 Aceasta

este o progresie aritmetica cu

rația egală cu 2 pentru început

ne propunem să găsim o formulă

de calcul pentru termenul general

al unei progresii aritmetice primul

termen al acestei progresii este

A1 al doilea termen este A2 și

acesta se obține adunând la primul

termen rația al treilea termen

a 3 este egal cu ad plus rația

și egal mai departe A2 este A1

plus R plus R egal cu a 1 plus

2 r al patrulea termen a fi A3

plus rația egal mai departe cu

a 1 plus 2 r plus R egal cu a 1

plus 3 r și așa mai departe observăm

Așadar că pentru termenul de rang

3 avem aici 2 ori rația pentru

termenul de rang 4 avem trei ori

rația prin urmare pentru termenul

de rang n o să avem A1 plus minus

1 ori rația oricare ar fi n mai

mare sau egal cu 1 am găsit așa

dar această formulă care ne permite

să calculăm orice termen al unei

progresii aritmetice dacă se cunosc

primul termen și rația demonstrați

aceste formule se face prin metoda

inducției matematice și o lăsăm

ca și exercițiu revenind la exemplul

acesta Haideți să calculăm l31

la termen în acest exemplu primul

termen este egal cu 1 rația este

egală cu 2 și atunci l31 lea termen

în formă acestei formule a fi egal

cu a 1 adică 1 plus 31-a minus

1 ori rația egal în continuare

cu 1 plus 30 ori 2 egal cu 61 să

reținem Așadar această formulă

cu ajutorul căreia putem să calculăm

orice termen al unei progresii

în funcție de primul termen și

rația progresiei continuăm cu o

a doua proprietate a progresiilor

iar pentru aceasta Haide să ne

uităm puțin la acest exemplu observăm

că numărul 3 este media aritmetică

a numerelor 1 și 5 pentru că 1

plus 5 supra 2 este 6 pe 2 adică

3 de asemenea Numărul 5 este media

aritmetică a numerelor 3 și 7 3

plus 7 este 10 supra 2 egal cu

5 la fel numărul 7 este media aritmetică

a numerelor 5 și 9 5 plus 9 este

14 supra 2 7 observăm Așadar că

fiecare termen al progresiei aritmetice

începând cu al doilea este media

aritmetică a termenilor Alăturați

de aici și provine numele progresiei

aritmetice în caz generalizați

să proprietate se va scrie astfel

a n termenul de rang n este media

aritmetică a numerelor a n minus

1 și a n plus 1 oricare ar fi n

mai mare sau egal cu 2 sau această

formulă se mai poate scrie și astfel

2-a n este egal cu a n minus 1

plus a n plus 1 Haideți să demonstrăm

această formulă calculăm Așadar

Suma a n minus 1 plus a n plus

1 reamintesc formula termenului

general pe care am de dus o mai

devreme a n este egal cu a 1 plus

n minus 1 ori rația Atunci a indice

n minus 1 va fi egal cu 1 plus

n minus 1 minus 1 adică a minus

2 ori rația plus iar termenul de

rang n plus 1 va fi egal cu a 1

plus m plus 1 minus 1 adică n ori

rația egal A1 plus A1 este 2 A1

Plus aici Da factor comun pe r

avem n pe lângă n minus 2 plus

n egal mai departe cu 2-a 1 plus

R pe lângă 2 n minus 2 egal cu

2-a 1 plus în paranteză de factor

comun pe 2 avem 2 pe lângă n minus

1 ori rația mai dăm încă o dată

factor comun pe 2 și o să avem

2 pe lângă 1 plus a minus 1 ori

Air observăm acum că în paranteză

dreaptă avem expresia pentru termenul

general a n așa dar putem să scriem

egal mai departe cu 2-a n Iată

de unde am pornit a n minus 1 plus

a n plus 1 este egal cu 2-a n așadar

am demonstrat această formulă prin

urmare să reținem că oricare ar

fi trei termeni consecutivi ai

unei progresii aritmetice termenul

din mijloc este media aritmetică

a termenilor Alăturați trecem la

o a treia proprietate a progresiilor

aritmetice pentru aceasta am rescris

progresia aritmetică sub această

formă O să vedeți imediat De ce

mai întâi să ne uităm la acest

exemplu observăm că 1 plus 15 este

egal cu 3 plus 13 egal cu 5 plus

11 egal cu 7 plus 9 putem chiar

să scriem acest lucru 1 plus 15

este egal cu 3 plus 13 egal cu

5 plus 11 egal cu 7 plus 9 observăm

Așadar că suma oricăror două numere

egale depărtate de numerele Extreme

este egală cu suma numerelor extreme

în cazul general Acest lucru se

va scrie astfel A1 plus a n acestea

sunt numerele extreme a fi egal

cu a 2 plus a n minus 1 egal cu

puncte puncte și egal cu a k plus

a minus k plus 1 dacă ne uităm

la indici observăm că suma indicilor

este întotdeauna egală cu n plus

1 Așadar al caulea termin de la

început Este evident a k însă el

ca lulea termen de la sfârșit Deci

pornind de la dreapta spre stânga

va fi a indice n minus k plus unu

ca să respectăm această regulă

ca suma indicilor să fie egală

cu n plus 1 vom demonstra această

formulă mai exact demonstrăm această

egalitate Haideți să calculăm suma

a k plus a indice n minus apa plus

unu și aplicăm din nou formula

termenului general al unei progresii

aritmetice pe care o să mai scriu

încă o dată a n este egal cu a

1 plus a minus 1 stația bănuiesc

că deja Ați învățat această formulă

a k la final cu A1 plus apa minus

1 r plus a fumat chest termen va

fi egal cu a 1 plus n minus k plus

1 minus 1 ne rămâne în minus k

ori rația egal 1 plus 1 este 2

A1 plus de factor comun pe r avem

R pe lângă km enis 1 plus a minus

k egal cu 2 A1 plus a minus 1 ori

R egal în loc de 2 1 scrie a 1

plus 1 plus a minus unu Air însă

această expresie reprezintă formula

de calcul pentru termenul de rang

n și atunci Putem să scriem egal

mai departe e cu a 1 plus a m iar

am arătat că această sumă a k a

plus a indice n minus 1 este egală

cu a 1 plus a n să reținem Așadar

că între o progresie aritmetică

suma oricăror două numere egal

depărtate de numerele Extreme este

egală cu suma numerelor Extreme

și continuăm cu o apatra proprietate

a progresiilor aritmetice ne propunem

să determinăm formula de calcul

pentru suma primelor n numere ale

unei progresii aritmetice și notam

această sumă cu s m s n va fi egal

cu a 1 plus A2 plus puncte puncte

penultimul termen este a indice

n minus 1 și ultimul termen din

suma va fi a n pentru a găsi o

formulă de calcul pentru această

sumă vom Rescrie suma sub următoarea

formă a n plus a n minus 1 plus

puncte puncte plus A2 plus a 1

știind că adunarea este comutativă

așa dar putem să rescriem suma

invers adunăm cele două relații

membru cu membru nu am obține 2

este egal adunăm pe verticală A1

plus a n plus A2 plus a n minus

1 plus puncte puncte plus a n minus

1 plus A2 și plus a n plus a 1

fiecare paranteză va conduce spre

același rezultat deoarece conform

proprietății de stat a anterior

suma termenilor egal depărtați

de numerele Extreme este egală

cu suma extremelor Așadar fiecare

paranteză a fi egală cu a 1 plus

a n din moment ce avem n astfel

de paranteze putem să scrie încă

doi Essen va fi egal cu n ori A1

plus și acum îl exprimă în prezent

Nelson va fi egal cu m pe lângă

a 1 plus a n totul supra 2 aceasta

este formula de calcul pentru suma

primilor n termeni ai unei progresii

aritmetice pentru exemplul nostru

Haideți să calculăm suma primelor

20 de numere Așadar s20 va fi egal

În cazul nostru n este 20 ohm avea

20 pe lângă A1 este 1 plus a 20

totul supra 2 Mai trebuie să calculăm

al douăzecilea termen al 20 este

egal cu A1 Adică 1 plus 20 minus

1 ori rația rația în cazul acestui

exemplu este egală cu 2 și obținem

1 plus 19 ori 238 egal cu 39 atunci

s20 va fi egal ai se simplifică

20 cu doi de rămâne în 10 pe lângă

1 plus 39 și egal cu 406 stă formulă

care ne permite să calculăm suma

primelor n numere ale unei progresii

aritmetice în continuare aș vrea

să mai fac câteva observații O

primă observație dacă avem trei

numere consecutive a b și c ale

unei progresii aritmetice Uneori

în exerciții este util să scriem

cele trei numere sub următoarea

formă b egal cu k a egal cu k minus

iar c egal cu k plus r dacă le

scriem sub această formă putem

să le calculăm mai rapid o a doua

observație dacă avem acum patru

numere a b c d ale unei progresii

aritmetice patru numere consecutive

ale unei progresii aritmetice atunci

în Este convenabil să le scriem

astfel ei să fie k minus 3 r b

k minus r c egal cu k plus r iar

de va fi egal cu k plus 3 r în

acest caz rația este egală cu 2

r iar dacă avem cinci numere consecutive

a b c d și e ale unei progresii

aritmetice Atunci numărul din mijloc

c va fi egal cu k b va fi egal

cu k minus r a este k minus 2 r

d este k plus r iar e va fi egal

cu k plus 2 r Așadar să reținem

că în unele exerciții este mai

convenabil să scriem numerele dintre

o progresie aritmetică sub acestei

forme pentru a le putea găsi mai

ușor să reținem Așadar cele patru

formule importante pe care le am

văzut în această lecție formula

termenului general al unei progresii

aritmetice a n este egal cu a 1

plus n minus 1 ori rația fiecare

termen al unei progresii aritmetice

este media aritmetică a termenilor

Alăturați a n este egal cu a n

minus 1 plus a m plus 1 supra 2

suma termenilor egal depărtați

de numerele extremi este egală

cu suma extremelor deci a k a plus

a n minus k plus 1 a fi egal cu

a 1 plus a n iar formula care ne

permite să calculăm suma primelor

n numere ale unei progresii aritmetice

este m pe lângă a 1 plus a n supra

2 Dacă reținem aceste formule putem

să rezolvăm orice exercițiu cu

progresii aritmetice