Proprietățile determinanților- aplicații

ne propunem Spre exemplu să calculăm

acest determinant pentru a calcula

mai ușor urmărim să obține în urma

aplicării unor proprietăți cât

mai multe zerouri Spre exemplu

pe linia a doua sau pe linia a

treia sau coloana a treia respectiv

coloana a patra să ne oprim la

linia a doua ne propunem să obținem

în locul acestui element 0 păstrăm

Așadar coloana a doua doi unu minus

trei patru iar această coloană

o înmulțim cu minus 2 adunăm la

coloana 1 adică 1 plus 2 ori minus

2 2 plus 1 ori minus 2 3 plus minus

3 ori minus 2 2 plus 4 ori minus

2 pentru a obține și locul acestui

element vom aduna coloana a 2 cu

coloana 3 obținem 2 minus 2 1 minus

1 minus 3 plus 0 4 din Auchan coloana

a patra o Vom copia deoarece aceasta

îl conține deja pe 0 3 0 5 2 am

obținut Așadar determinantul 1

minus 4 minus 3 2 minus 2 0 3 plus

6 9 2 minus 8 minus 6 2 1 minus

3 4 0 0 minus 3 3 3 0 5 2 putem

dezvolta acum după linia 2 obținând

determinantul 1 înmulțit cu minus

1 la puterea 2 plus 2 înmulțit

cu determinantul obținut prin suprimarea

liniei 2 și a coloanei 2 adică

determinantul minus 3 0 3 9 minus

3 5 minus 6 3 2 țigan observăm

că elementele coloanei 1 respectiv

coloanei 2 sunt multiplii de 3

și atunci determinantul acesta

îl putem scrie ca fiind minus 3

înmulțit cu minus 3 înmulțit cu

1 minus 3 2 0 1 minus 1 3 5 2 noul

determinant obținut observăm că

dacă vom aduna linia 3 la linia

2 obținem elementul de pe linia

a doua coloana a doua egal cu zero

ceea ce ne permite dezvoltarea

după coloana a doua adică avem

astfel nouă înmulțit cu spuneam

că păstrăm linia 1 1 0 3 păstrăm

linia 3 2-a minus 1 2 iar la această

linie adunăm linia doua obținând

elementele minus unu zero șapte

Așadar determinantul este egal

cu 9 înmulțit cu minus 1 înmulțit

cu minus 1 la puterea linia a treia

coloană a doua adică 5 și înmulțit

cu determinantul 1 3 minus 1 7

adică 9 înmulțit cu 7 plus 31090

o altă aplicație interesantă Este

și calculul determinantului vandermond

de ordin 3 acel determinant se

poate calcula utilizând atât regula

lui sarrus respectiv regula triunghiului

urmând ca în final se descompune

un factor expresia obținută cât

și metoda dezvoltării după o linie

sau după o coloană metodă care

ne oferă în același timp și descompunerea

în factori ne vom opri asupra ultimei

tehnici încercând însă să formăm

pe una dintre linii sau coloane

cât mai multe zerouri observăm

că linia 1 conține numere identice

Așadar va fi cel mai simplu să

formăm zerouri pe această linie

vom păstra astfel coloana 1 omul

cu minus 1 și vom aduna la coloana

a doua respectiv la coloana a treia

am obținut astfel determinantul

în care pe prima linie Avem două

zerouri putem dezvolta acum determinantul

după linia 1 Ținând 1 înmulțit

cu Delta 1 1 plus zero înmulțit

cu Delta 1 2 plus zero înmulțit

cu Delta unu trei avem Așadar determinantul

vetrei egal cu minus 1 la puterea

1 plus 1 înmulțit cu determinantul

obținut prin suprimarea liniei

1 și a coloanei 1 din determinantul

b3 observăm că elementele liniei

a doua din acest determinant pot

fi descompuse în produse de factori

Așadar observăm că elementele coloanei

întâi respectiv elementele coloanei

a doua sunt multipli cate prin

factorul b minus a respectiv c

minus a se obține astfel un determinant

egal cu produsul dintre cei doi

factori b minus a respectiv c minus

a și acest determinant în care

elementele coloanei întâi respectiv

coloanei a doua picăturile împărțirii

la acești factori vom calcula acum

acest determinant conform definiției

determinantului de ordinul 2 obținând

determinantul de 3 ca fiind produsul

dintre b minus a c minus a respectiv

c plus a minus b minus a Așadar

determinantul vetrei se poate scrie

sub formă de produs ca b minus

a c minus a respectiv c minus b

în mod Analog putem calcula un

determinant vandermonde ordinul

4 ca fiind un produs dintre b minus

a c minus a d minus a c minus b

d minus b d minus c adică un produs

de diferențe ale elementelor liniei

a doua în care descăzutul are indicele

de coloană mai mare decât celălalt

scăzătorului b minus a c minus

a mie nu se și așa mai departe

vă propun să aplicăm proprietățile

determinanților și în următoarea

problemă Fie a o matrice pătratică

de ordinul 3 care are elementul

doi doi elementul trei unu și elementul

trei trei depinzând de un număr

real X o prima cerință este să

determinăm numărul real x astfel

încât determinantul matricei a

de x să fie egal cu 0 a doua cerință

este să calculăm determinantul

matricei 2 Oradea iar în ultima

instanță nu se cere să calculăm

determinantul sumei matricelor

a 1 a 2-a de 2017 pentru calculul

determinantului matricei de x observăm

că adunând coloana 1 la coloana

3 obținem pe aceasta a pe coloana

a treia obținem două zerouri Așadar

determinantul matricei Alex este

1 0 x 2 x 0 0 0 2 x plus 1 determinant

pe care îl putem dezvolta după

coloana a treia astfel 2x plus

1 înmulțit cu minus 1 la puterea

3 plus 3 și înmulțit cu determinantul

obținut prin suprimarea liniei

3 și a coloanei 3 Adică determinantul

1 2 0 x Așadar determinantul matricei

a de x este egal cu 2x plus 1 înmulțit

cu x egal în Dar cum acest determinant

cu 0 obținem ecuația care are ca

soluții X1 egal cu minus 1 pe 2

și x 2 egal cu zero pentru calculul

determinantului ori ad1 vom folosi

proprietatea determinantul matricei

k ori a este egal cu k la puterea

n ori determinantul matricei a

de n reprezintă numărul de linii

respectiv de coloane al matricei

a Așadar determinantul matricei

2 Oradea 1 va fi egal cu 2 la puterea

a treia înmulțit cu determinantul

matricei ad1 cu un determinantul

matricei a de x este 2 x plus 1

înmulțit cu x locuind ul pe x cu

unu obținem determinantul matricei

2 ore Ea de 1 ca fiind egal cu

2 la a treia înmulțit cu 3 înmulțit

cu 1 L că 24 pentru rezolvarea

cerinței c să calculăm întâi suma

acestor Matrice vom înlocui în

matricea a de x pe x pe rând cu

o numerele naturale 1 2 2017 obținem

Așadar suma acestor 2017 Matrice

Care este egală cu matricea care

are ca elemente sumele elementelor

corespunzatoare din cele 2017 Matrice

adică unu plus unu plus unu de

2017 ori doi plus doi plus doi

de 2017 ori minus 1 minus 1 minus

1 de 2017 ori zero plus zero plus

zero unu plus doi plus 2017 zero

plus zero plus zero unu plus doi

plus 2000 17 0 plus 0 plus 0 și

în sfârșit 2 plus 3 plus 2018 calculând

aceste sume obținem matricea care

are ca elemente 2017 2017 ori 2

minus 2017 Am aplicat pentru calcula

chest a sumei suma lui Gauss obținând

numărul 2017 aur 2018 supra 2 în

același mod obținem și elementul

de pe linia 3 coloana 1 pentru

calculul acestui element la am

scris pe 2018 ca o sumă Dintre

1 și 2017 obținând Așadar suma

lui Gauss până la 2017 însumând

încă o dată numărul 2017 efectuând

calculele obținem această Matrice

și observăm că elementele matricei

a sunt divizibile cu 2017 ceea

ce înseamnă că o putem scrie ca

produsul dintre 2017 și matricea

care conține gâturile împărțirii

fiecărui element la 2017 observăm

de asemenea că elementele liniei

1 sunt aceleași cu elementele liniei

1 din ardei x iar în locul elementului

x observăm că avem 1.009 ad că

această Matrice nu este altceva

decît produsul dintre 2017 și a

de 1900mah acum calcula determinantul

aceste sume ad1 plasei de 2 plus

Adi 2017 ca fiind determinantul

matricei 2017 înmulțit cu a de

1.000 adică 2017 la puterea a treia

înmulțit cu 2 1.009 plus 1 înmulțit

cu 1.009 obținem așa dar determinantul

ca fiind egal cu 2017 la puterea

a treia înmulțit cu 2019 și înmulțit

cu 1.009