Proprietățile determinanților- teorie

calculul determinanților cu ajutorul

definițiilor sau unor tehnici de

calcul nu este întotdeauna simplu

mai ales pentru determinanți de

ordin mai mare sau egal cu 4 totuși

acesta poate fi simplificat dacă

avem în vedere câteva proprietăți

ale determinanților fie determinantul

care are deasupra primei diagonale

toate elementele egale cu 0 un

astfel de determinat poartă numele

de determinant sub diagonal pentru

a calcula vom dezvolta determinantul

după prima linie obținem Așadar

suma a11 Delta 1 1 plus0 Delta

1 2 plus zero Delta unui an toți

termenii cu excepția primului sunt

nuli obținem Așadar cât determinantul

este egal cu produsul dintre a

1 înmulțit cu minus 1 la puterea

1 plus 1 înmulțit cu complementul

algebric al acestui element adică

determinantul obținut prin suprimarea

liniei 1 și a 1 din acest determinant

dezvoltând încă o dată determinantul

obținut după prima sa linie vom

obține produsul a11 ora 1:00 2:00

înmulțit cu Delta doi doi adică

Delta doi doi este complementul

algebric al elementului a22 adică

determinantul obținut prin suprimarea

liniei și a coloanei care conține

elementul a22 repetând această

metodă pentru fiecare determinant

obținut avem că determinantul d

este egal cu produsul dintre a11

a22 a33 inel adică un determinant

sub diagonal este egal cu produsul

dintre elementele de pe prima diagonală

a urcării matrici pătratice de

ordin n sub diagonală același rezultat

obținem și în cazul unui determinanți

supra diagonal adică un determinant

care are toate elementele nule

dar sub prima diagonală Spre exemplu

acest determinant este un determinant

sub diagonală calculăm Așadar Înmulțind

elementele de pe prima diagonală

1 ori 2 ori 3 ori 4 ori 5 adică

5 factorial Să considerăm acum

o matrice și transpusă acesteia

determinantul matricei transpuse

îl putem calcula utilizând dezvoltarea

după coloana e așa dar este egal

cu a 1 bordel taie 1 plus ae2 ori

Delta E2 plus Ioan ori Delta l

dar coloana e din matricea a transport

nu este altceva decât linia a din

matricea a cu alte cuvinte determinantul

matricei a este egal cu determinantul

matricei transpuse pentru orice

Matrice pătratică de ordinul n

fie matricea a al cărei determinantul

vom calcula utilizând regula triunghiului

Așadar 1 ori 0 ori 1 plus 2 ori

3 ori 1 plus minus 2 ori minus

1 ori minus 1 minus minus 2 ori

0 ori 2 a minus 1 ori 3 ori minus

1 minus 1 ori 1 ori minus 1 adică

0 plus 6 minus 2 minus 0 plus 3

plus 1 egal cu 4 plus 37 plus unu

opt schimbând între ele linia 1

cu linia 2 obținem matricea b în

care Iată linia a doua din matricea

a este de fapt linia întâi din

matricea b iar linia 1 din matricea

a este linia a doua din matricea

b determinantul acestei Matrice

Balvin calculat cu regula lui sarrus

copiem Așadar primele două coloane

3 1 minus 2 0 minus unu unu și

obținem trei ori minus 1 ori 1

plus0 ori 2 ori minus 2 plus minus

1 ori 1 RON minus minus 1 ori minus

1 ori minus 2 minus 3 ori 2 ori

1 minus 6 și minus 0 1 1 1 adică

0 obținem Așadar minus 3 plus 0

minus 1 plus 2 minus 6 minus 3

cu minus 1 minus 4 minus 4 cu minus

6 minus 10 plus 2 minus 8 observăm

așa dar cât de terminatul matricei

B este de fapt opusul determinantului

matricei a cu alte cuvinte schimbând

între ele două linii ale unei Matrice

a se obține o matrice al cărui

determinant este opusul determinantului

matricei a fi de determinant de

ordin n și D prim determinantul

obținut din determinantul de prin

înmulțirea liniei e cu numărul

complex k atunci dezvoltând pe

D prim după linia e Avem de prim

este egal cu k înmulțit cu a e

un Delta e unu plus k înmulțit

cu a e 2 ori Delta e 2 plus k ori

Ioan Delta putem scoate factor

comun în această sumă pe k obținem

k înmulțit cu suma a 1 Delta e

unu plus ae2 Delta A2 plus imn

Delta Ian dar această sumă nu reprezintă

altceva decât determinantul d Așadar

dacă elementele unei Lili sau ale

unei coloane din matricea a se

înmulțesc un număr complex k se

obține o matrice al cărui determinant

este egal cu produsul dintre k

și determinantul matricei a Spre

exemplu observăm că în acest determinant

elementele linii ei doi sunt multiplii

de Așa da el se poate calcula ca

produs dintre trei și un determinant

în care linia 1 și linia a trece

au păstrat elementele liniei doi

sunt cât urile împărțirii acestor

elemente la 3:00 dacă în plus dorim

să calculăm determinantul produsului

matricei a cu numărul complex k

atunci aplicăm această proprietate

pentru fiecare dintre liniile matricei

a obținând produsul k o k o k de

înmulțit cu determinantul matricei

a cu alte cuvinte k la puterea

n înmulțit cu determinantul matricei

a Așadar determinantul matricei

k ori a este egal cu k la puterea

n înmulțit cu determinantul matricei

pentru orice Matrice pătratică

de ordinul n și o c k număr complex

fie acum un determinant în care

elementele liniei e sunt egale

cu 0 dezvoltând determinantul după

această linie obținem suma 0 ori

Delta e 1 plus0 Delta e210 ori

Delta en adică 0 Așadar dacă elementele

unei linii sau ale unei coloane

dintre o matrice pătratică sunt

egale cu 0 determinantul a este

egal cu 0 Analizând acest determinant

observăm că elementele coloanei

a doua sunt nule Așadar și determinantul

va fi nul și acum un determinant

în care linia e și linia j sunt

linii identice și determinantul

D prim în care schimbăm linia e

cu linia j știm deja că schimbarea

între ele a două linii determină

și o schimbare a semnului determinantului

cu alte cuvinte determinantul D

prim este egal cu minus determina

dar de prim Pe de altă parte observăm

că este același cu determinantul

de Așadar d este egal cu minus

de Adică De fapt d este egal cu

zero Am obținut astfel proprietatea

că dacă între o matrice pătratică

Avem două linii sau două coloane

identice atunci determinantul este

nul dacă vom considera acum unde

terminat în care elementele liniei

e sunt proporționale cu elementele

liniei j acesta poate fi scris

ca produs ul dintre factorul de

proporționalitate și determinantul

în care am păstrat toate liniile

cu excepția liniei j ale cărei

elemente sunt împărțite prin acest

Factor de proporționalitate acest

nou determinant obținut are însă

două linii identice Așadar este

nul cu alte cuvinte determinantul

inițial este egal cu 0 dacă între

o matrice pătratică elementele

a două linii sau două coloane sunt

proporționale atunci determinantul

este egal cu 0 Să considerăm acum

Forma generală a unei Matrice în

care elementele linii a e sunt

scrise ca sume de numere reale

putem forma matricele b și c în

care avem toate liniile matricei

a cu excepția liniei e linia e

din matricea b conține primul element

din fiecare sumă iar linia e din

matricea ce conține al doilea termen

din fiecare sumă determinantul

matricei a este egal cu suma dintre

determinanții celor două Matrice

Spre exemplu dacă avem determinantul

în care elementele primei linii

sunt exprimate sub forma unor sume

poate calcula ca suma a doi determinanți

de formă a c e f respectiv b d

e f semnalizăm următorul determina

elementele liniei e sunt combinații

liniare ale liniei 1 respectiv

liniei 2 Aplicând noi acestui determinant

proprietatea precedentă îl Puteți

scrie ca suma acestor doi determinanți

în care linia a este formată din

primii termeni din sumă iar în

al doilea determinant linia este

formată din al doilea termen din

sumă observăm că în primul determinant

avem linia 1 și linia a proporționale

iar în cel de al doilea linia 2

și linia a proporționale Așa da

determinantul d este nul în concluzie

dacă o linie sau coloană a unei

Matrice este combina liniară de

celelalte linii respectiv coloane

atunci determinantul este nul dacă

dorim să calculăm un astfel de

determinant observăm că linia a

treia este o combinație liniară

a liniei 1 respectiv 2 în concluzie

este egal cu zero și acum determinantul

unei matrici pătratice de ordinul

n și determinantul de obtinut prin

adunarea la linia j linia e înmulțită

cu numărul complex Alfa acest determinant

poate fi scris la rândul lui ca

o sumă de 2 determinanți care păstrează

toate liniile determinantului de

prim cu excepția liniei j în primul

determinant linia j conține primul

termen din sumă iar în cel de al

doilea determinant al doilea termen

din sumă observăm că primul determinant

este de fapt identic cu determinantul

de iar în cel de al doilea determinant

observăm că linia e și linia j

sunt linii proporționale ca atare

va fi egal cu zero în concluzie

determinantul D prim este egal

cu determinantul de Așadar dacă

la elementele unei linii sau ale

unei coloane a unei matrici pătratice

a se adună elementele alte linii

sau alte coloane înmulțite cu același

număr atunci matricea rezultată

are același determinant ca matricea

a matricea a egală cu a b c d și

matricea b de forma x y z t produsul

a ori b este matricea a x plus

b Z A G y z t c x plus de 10 y

determinantul acestui produs este

egal cu ax plus b z înmulțit cu

cei plus DT minus y plus b t înmulțit

cu c x plus DZ adică efectuând

calculele a x si y plus a x d t

plus b z si y z z DT minus y si

x minus a i d z minus b t c x minus

b t d Zet observând că aceste două

elemente se reduc ca și acești

doi termeni obținem astfel a x

d t plus b z si y minus y b c iar

din celălalt doi termeni rămas

de un factor comun pe yz2 de mult

cu bc minus Ade putem da din nou

factor comun Diferența a d minus

b c și obținem în paranteză x minus

y z prima paranteză nu reprezintă

altceva decât determinantul matricei

a iar cea de a doua paranteză reprezintă

determinantul matricei b am obținut

Așadar relația determinantul produsului

matricei a cu matricea b este produsul

determinanților celor două matrici