Proprietăţile mişcării oscilatorii armonice. Pendulul gravitaţional.

în chenar doua lecții de oscilații

și unde mecanice vom discuta despre

proprietățile mișcării oscilatorii

armonice mișcare oscilatorie armonică

a fost ă de finită în lecția precedentă

să începem cu discuția despre defazajul

mărimilor ce descriu mișcarea oscilatorie

armonica după cum am văzut în lecția

trecută elongația are următoarea

formă sinusoidală o amplitudine

înmulțită cu sinus din vinde un

argument Care este egal cu pulsația

înmulțită cu timpul și adunată

cu o fază inițială dacă facem diagrama

fazorială aceste oscilații armonice

în care fiecărei mărimi atașăm

în Vector rotitor cu magnitudinea

egală cu amplitudinea funcției

Sunt Soy Dale și unghiul față de

axa x egală cu argument funcției

obținem pentru elongație următoarea

reprezentare Deci aceasta este

diagrama fazorială dacă doriți

să revedeți noțiunile de bază despre

diagrama fazorială vă invit să

revedeți lecțiile de curent alternativ

în care am definiții discutat diagrama

fazorială dar pe scurt fiecărei

mărimi sinusoidale pe Cum precum

aceasta elongații se atașează un

Vector care se rotește în planul

o x si y în planul ecranului care

are magnitudine constantă egală

cu amplitudinea oscilații și vectorul

care este egal cu argumentul omegat

a dacă există o fază inițială nenulă

plus Această fază fie 0 chestie

sta fazorul pentru elongație dacă

luăm în considerare ecuația pentru

viteză pe care am găsit o în lecția

trecută și anume viteza ca funcție

de timp este Omega cosinus de aceeași

fază totală putem să urez scriem

în formă următoare Omega sinus

de argumentul omega-3 plus 0 plus

2 pe 2 unde am folosit relația

trigonometrică cosinus de Alfa

este egal cu sinus de Alfa plus

piept 2 în felul acesta putem să

Reprezentăm fazorul pentru viteză

în aceeași diagramă fazorială și

obținem următorul fazor Deci un

fazor ce se rotește În cercul verde

întrerupt cu magnitudinea Omega

și unghiul omega-3 plus si 0 Deci

același argument ca și elongația

dar defazat în față cu piept de

radiani sau 90 de grade făcând

același lucru cu accelerația mișcării

oscilatorii armonice putem scrie

Ecuația a care a fost găsită în

lecția trecută deci accelerația

este minus Omega pătrat a sinus

de omega-3 plus fie zero pentru

a găsi o formă similară Adică o

magnitudine muncită cu un sinus

de un anumit argument trebuie să

absorbim cumva acest semn enis

în funcția cynus și folosim o altă

identitate trigonometrică care

spune că a minus sinus de Alfa

este egal cu sinus de Alfa plus

radiani și aceasta este ecuația

care obține ceea ce ne permite

să Reprezentăm fazorul accelerației

în aceeași diagrama fazorială Deci

cu roșu Vedeți fazorul accelerației

care se rotește în cercul de culoare

roșie și cu linie întreruptă și

care se află defazat în față Față

de Lunga e cu pira de ani sau 180

de grade Deci acești trei vectori

se rotesc împreună în acest plan

moxe cu viteza Omega ten plus eventual

și 0 dacă este diferit de zero

iar viteza este defazat în față

Față de axa față de irigație cu

90 de grade accelerația cu 180

de grade dacă Reprezentăm grafic

aceste trei funcții obținem această

reprezentare grafică Deci ca funcție

de timp avem cu albastru elongația

care are o magnitudine a cu verde

viteza care are o magnitudine Omega

ei și cu roșu accelerația care

are o magnitudine Omega pătrat

a și vedem putem vedea și din această

reprezentare grafică defazajul

dintre de faza jele dintre aceste

trei mărimi adică pur și simplu

luăm punctul de maxim al uneia

dintre ele și punctul de maximă

celelalte Spre exemplu primul maxim

al elongația este aici la această

valoare temporală iar primul maxim

al vitezei este în această în acest

punct și putem vedea că diferența

dintre ele este de tip 2 de fazani

jule unghiulare sunt echivalente

cu defazaj temporale pentru că

avem relația generală Delta t împărțit

la 3 este egal cu Delta fi împărțit

la 2 pi pentru că la un la un unghi

Delta fii care corespunde unui

unghi de el tot m putem face asociația

cu unghiul total al cercului care

este 2 pini care corespunde o perioadă

un timp egal cu perioada de rotație

tcc Este o regulă de 3 simpla si

Aplicând această regulă această

ecuație putem scrie că defazajul

viteză elongație care este egal

cu 90 de grade corespunde unui

defazaj temporal între viteză și

elongații egală cu un sfert de

perioadă la fel defazajul dintre

accelerație și elongație care este

egal cu 180 de grade corespunde

unui de faza și temporal de jumătate

de perioadă CC din nou se vede

din acest grafic de faza cele temporale

se vede din acest grafic o perioadă

Spre exemplu pentru elongație este

o întreagă oscilații pozitivă plus

una negativă Deci Aceasta este

o perioadă a lui y de tei În graficul

pe care o vedeți trecem la conservarea

energiei în mișcare oscilatorie

armonică energia mecanică totală

a oscilatorului armonic este bineînțeles

numai energiei cinetice și ai energiei

potențiale dată de deformare elastica

asta înseamnă că energia cinetică

care prin definiție este mv pătrat

pe 2 poate fi scrisă în formă aceasta

unde pur și simplu am înlocuit

formula pentru viteza pe care am

dat în minutele precedente energia

potențială este prin definiție

unul pe 2 cai pătrat aceasta este

energia potențială a unui Resort

produs de cineva potențială produsă

de o forță elastică a fost demonstrată

în lecțiile de legi de conservare

în mecanică această formulă Și

de ce înlocuim forța ecuația pentru

elongația y în această ecuație

și obținem formă pentru un oscilator

armonic dacă le combinăm putem

obține ecuația pentru energia totală

în care am ținut cont de faptul

că pentru un oscilator armonic

ca este egal cu m Omega pătrat

Deci ca fiind egal cu m Omega pătrat

putem vedea că aceste două cantități

și anume energia cinetică maximă

și energia potențială maximă sunt

egale între ele datorită acestei

relații și atunci când adunăm datorită

faptului că cosinus pătrat de un

unghi plus sinus pătrat de unui

unghi este 1 Deci Prin adunarea

acestei acești factori sinusoidale

dispar și obținem că energia totală

este m Omega pătrat la pătrat pe

2 dacă Reprezentăm grafic aceste

energie energia cinetică energia

potențială și energia totală obținem

ca funcție de timp bineînțeles

obținem această dependență în primul

rând energia totală este independentă

de timp ceea ce vedem cu roșu aici

iar energiile cinetice și potențiale

au acestei dependențe periodice

dar în contratimp ceea ce înseamnă

că energia cinetică se transformă

în energie potențială și invers

Pe măsură ce una crește cealaltă

scade și fac această cu aceeași

cantitate Deci cantitatea cu care

crește una scade cealaltă și invers

aceasta este natura oscilatorie

a unui oscilator armonic energia

cinetică maximă energia potențială

maximă și energia totală sunt egali

se vede foarte simplu din din acest

grafic când energia potențială

ajunge la maxim ea devine egal

cu energia totală și cu energia

cinetică ajunge la maxim Ia devin

egale cu energia total deci putem

scrie că mergea cinetică plus energia

potențială e sunt egale cu energia

cinetică maximă și sunt egale de

asemeni cu energia potențială maximă

sunt egale cu energia totală să

trecem la un exemplu practic un

alt exemplu practic de oscilatie

armonic și anume pendulul gravitațional

pentru gravitațional este un corp

punctiform de masă M suspendat

de un fir inextensibil fără masă

și cu lungimea l Deci Să considerăm

un perete un tavan de care este

atârnat un fir la capătul căreia

avem un corp de masă M firul are

lungimea l și bineînțeles că asupra

corpului va acționa forța de greutate

G notăm cu alfa unghiul format

la moment dat de fier cu verticala

acestui unghi va fi format de asemeni

în între fir și greutate o a doua

forță care apare în problema este

tensiunea din fir și bineînțeles

sub acțiunea sub acțiunea forței

tangențiale ale greutății sub acțiunea

greutății tangențiale Deci aceasta

este GT sub acțiunea lui GT șirul

și corpul pendulul întregului va

efectua o mișcare oscilatorie în

jurul verticale elongația aceste

mișcări oscilatorie este distanța

dintre poziția la un moment dat

și poziția de echilibru Deci acest

pe arc pe arcul de scris de corpul

cu masa m este elongația Haide

să notăm cu X distanța dintre corp

la acest moment dat a și vertical

Bineînțeles că putem porni și pornim

prin scrierea ecuației fundamentale

a dinamicii și anume că masa ori

accelerația este egală cu suma

vectorială a forțelor ce acționează

asupra corpului în cazul nostru

greutatea și tensiunea pentru a

rezolva după cum a făcut de foarte

multe ori în problemele de dinamică

alegem un sistem de coordonate

în cazul acesta sistemul cel mai

convenabil ar fi unul cu oxigen

Dicu Lara pe fir de ce alegem acest

sistem de coordonate o x y și proiectăm

această ecuație pe cele două axe

pe o x vom obținem m a este egal

cu minus mg sinus de Alfa Deci

dacă vreți m a s egal cu GT accelerația

corpului se datorează aceste forțe

tangențiale tangente iar pe o y

cu obținem ecuația pentru tensiunea

din fir t este egal cu g cosinus

de Alfa adică mg cosinus de apă

reținem numai această ecuație și

în cazul unghiurilor mici despre

la limita lui unghiurilor mici

putem scrie că x este aproximativ

egale cu x y Adică că elongația

mișcării oscilatorii care din noi

este de a lungul curbei descrisă

de corp este aproximativ egală

cu distanța dintre corp și verticală

bineînțeles acest lucru este valabil

pentru încât nici sub 5 grade în

acest caz din această ecuație obținem

următorului m a b c este egal cu

MC sinus dar ținuți de Alfa este

egal cu x pe el din acest triunghi

de sinus de Alfa este egal cu x

împărțit la el dar cum am spus

în limita unghiurilor mici x devine

aproximativ egal cu y și deci putem

scrie că m a este aproximativ egal

cu minus m g y pe el în acest caz

Deci forța tangentă care mișcă

corpul în această mișcare oscilatorie

are forma unei forțe elastice nu

este o forță elastică Evident este

proiecția greutății dar este o

constantă înmulțit cu elongația

în concluzie obținem o mișcare

oscilatorie armonică în acest caz

a cărei constantei este mg împărțit

la el în concluzie putem scrie

că Omega pătrat este egal cu GPL

am am folosit ecuația pentru o

și la torul armonic ca este egal

cu m Omega pătrat și Deci Omega

pătrat pulsația la pătrat pentru

această mișcare armonică uși armonică

este GPL în cu plazie putem scrie

perioada acestei mișcări oscilatorii

armonice te este egal cu 2 pi împărțit

la pulsații și DC egal cu 2 pe

radical din l lungimea firului

lungimea pendulului împărțit la

Constanța gravitațională în concluzie

la în limita unghiurilor mici această

greutate tangentă la mișcarea oscilatorie

are forma unei forțe elastice caz

în care mișcarea oscilatorie devine

o mișcare oscilatorie armonică

a cărei pulsații pulsații este

dată de această formulă și perioadă

de această formulă