Va rugam dezactivati programul ad block pentru a vizualiza pagina!

Cumpara abonament!
Plateste cu PayPal

Puterea cu exponent întreg a unui numar real

Partajeaza in Google Classroom

Partajeaza cu Google Classroom
Susține Lectii-Virtuale!
Pentru a putea vizualiza un video va rugam sa va logati aici! Daca nu aveti cont va puteti inregistra apasand aici.
4 voturi 164 vizionari
Puncte: 10

Transcript



Fie a un număr real prin definiție

a la puterea n este produsul a

ori a ori a de n ori de exemplu

radical din 3 la puterea a doua

va fi egal cu radical din 3 ori

radical din 3 care este egal cu

radical din 3 ori 3 egal cu radical

din 9 egal cu 3 radical din 3 este

baza iar 2 se numește exponent

un alt exemplu radical din 2 la

puterea a treia este egal cu radical

din 2 înmulțit cu el însuși de

trei ori radical din 2 ori radical

din 2 este radical din 4 iar adica

din patru este 2 rezultatul va

fi 2 radical din 2 în continuare

să deducem câteva reguli de calcul

cu puteri Fie a și b două numere

reale diferite de 0 ne propunem

să calculăm Ana treia ori a la

a doua mai exact să găsim o regulă

Generală de calcul atunci când

trebuie să înmulțim două puteri

cu aceeași bază ne interesează

să vedem care va fi exponentul

rezultatului ala a treia conform

definiției este a a a iar a la

a doua este a ori a observăm că

factorul a apare de cinci ori în

această înmulțire scrie egal cu

a la a cincea dacă ne uităm acum

la exponenți observăm că exponentul

rezultatului este suma celor doi

exponenți și atunci putem să tragem

următoarea concluzie A la puterea

M ori a la puterea n va fi egal

cu a la puterea m plus n un al

doilea exemplu să vedem ce se întâmplă

cu exponentul rezultatului în cazul

în care avem o împărțire de două

puteri cu aceeași bază împărțirea

știind că se mai poate scrie și

sub formă de fracție și atunci

vom scrie a la a 3-a supra a la

a doua dar ala a treia este a ori

a ori A iar a la a doua este a

ori a putem simplifica cu factorul

a deoarece apare atât la numitor

cât și la numărător și obținem

rezultatul a la puterea Anglia

Care este egal cu a deci exponentul

rezultatului este diferența dintre

cei doi exponenți Și atunci vom

scrie următoarea regulă a la puterea

m împărțit la a la puterea n va

fi egal cu a la puterea M minus

n în cazul în care m este egal

cu n avem a la m împărțit la a

la m Care va fi egal cu a la puterea

M minus m conform acestei reguli

Dar m minus m este 0 Deci obținem

a la puterea 0 atunci când împărțim

un număr la el însuși rezultatul

lui este întotdeauna unu și atunci

putem să tragem următoarea concluzie

Orice număr real a ridicat la puterea

0 va fi în în cazul în care m este

mai mic decât n avem următorul

exemplu a doua împărțit la a la

a treia va fi egal conform acestei

reguli de mai sus a la puterea

2 minus 3 adică a la puterea minus

1 însă ala a doua împărțit la a

la a treia se poate scrie la fel

sub formă de fracție și obținem

a ori a supra a ori a ori a se

simplifică cu a la numărător rămâne

1 iar la numitor avem a putem să

egalăm aceste două relații și să

tragem următoarea concluzie a la

puterea minus 1 este egal cu 1

supra a să mai facem un exemplu

a la a doua împărțit la a la a

patra va fi egal cu a la puterea

2 minus 4 adică a la puterea minus

2 lasa ala a doua a împărțit la

a la a patra se poate scrie sub

formă de fracție astfel a ori a

supra a ori a ori a ori a putem

să simplificăm din nou cu ei la

numărător rămâne 1 iar la numitor

avem a ori a Care este egal cu

a la a doua de aici deducem că

a la puterea minus 2 este egal

1 supra a la a doua și tot așa

în continuare vom de duce că a

la puterea minus n va fi egal cu

1 supra a la n de exemplu 10 la

puterea minus 2 egal 1 supra 10

la puterea a doua Adică 1 supra

100 10 la puterea minus 4 marti

egal cu 1 supra 10 la puterea a

patra Care este egal în continuare

cu 1 supra 10.000 puterile cu exponent

negativ au fost introduse pentru

a scrie mai ușor și pentru a avea

o privire de ansamblu asupra numerelor

foarte mici de exemplu diametrul

atomului de hidrogen este egal

cu 1 ori 10 la puterea minus 8 cm

pentru a ne imagina mărimea diametrului

acestui atom facem următoarea comparație

raportul dintre diametrul unui

atom și cel al unei mingi de fotbal

este același cu raportul dintre

diametrul mingii și cel al Pământului

următoarea regulă pe care dorim

să o deducem trei a la a doua totul

la a treia Vrem să vedem ce se

întâmplă cu exponentul rezultatului

în cazul în care avem puterea unei

puteri ala a doua conform definiției

este a ori a totul la puterea a

treia a ori a la a treia înseamnă

acest produs înmulțit cu el însuși

de trei ori Putem să scriem fără

paranteze și obținem a la puterea

a șasea dacă ne uităm la exponentul

rezultatului observăm că este produsul

dintre cei doi exponenți Și atunci

vom scrie următoarea formulă ala

m totul la puterea n este egal

cu a la puterea M ori and a patra

regulă Ana a treia ori b la a treia

să vedem cum se poate scrie produsul

a doua puteri cu același exponent

a la a treia este egal cu a ori

a ori a iar b la a treia este b

ori b ori b putem să desfacem parantezele

și sări aranjăm termenii deoarece

înmulțirea este asociativă și comutativă

și atunci Putem să scriem astfel

a ori b înmulțit cu aur b înmulțit

cu aur b acest lucru va fi egal

conform definiției puterilor cu

aur b la puterea a treia observăm

Așadar că produsul a doua puteri

cu același exponent va fi egal

cu puterea produsului în general

un număr negativ minus a la puterea

n va fi egal cu Ana and Dacă n

este un număr par și minus Ana

and Dacă n este un număr impar

de exemplu minus 2 supra 3 la puterea

a doua a fi egal cu 4 supra 9 pentru

că doi este un exponent par Iar

atunci când ridicăm un număr negativ

la o putere pară rezultatul va

fi pozitiv iar numărul minus 2

supra 3 ridicat la puterea a treia

a fi egal cu minus 8 supra 27 pentru

că 3 este un exponent impar și

semnul minus se păstrează și la

rezultat 2 la a treia este 8 iar

3 la a treia este 27 și ultima

regulă de calcul cu puteri dacă

avem o fracție ridicată la o putere

de exemplu a supra b la puterea

a treia a fi egal cu a supra b

ori a supra b ori a supra b știind

că atunci când înmulțim trei fracții

se înmulțesc numărătorii între

ei și numitorii între ei a ori

a ori a este a treia iar b ori

b ori B este b la a treia în general

putem deduce această regulă a supra

b la orice putere n a fi egal cu

a la n supra b la n merge exponentul

se distribuie și la numărător și

la numitor nu matinale vom face

câteva exerciții în care vom aplica

aceste reguli de calcul cu puteri

mă plimb exercițiu radical din

7 la puterea a opta împărțit la

radical din șapte la puterea a

șasea Matei egal cu radical din

7 la puterea 8 minus șase am văzut

mai devreme că exponenții se scad

în cazul în care avem de împărțit

două puteri cu aceeași bază 8 minus

6 este 2 deci obținem radical din

7 la puterea a doua n este egal

cu radical din 7 ori 7 egal cu

radical din 49 egal cu 7 în general

rețineți că orice radical ridicat

la puterea a doua este acel număr

de sub radical pentru că ridicarea

la putere și extragerea rădăcinii

pătrate sunt două operații inverse

care se anulează una pe cealaltă

al doilea exercițiu 1 supra 10

la puterea a doua moș 1 supra 10

la puterea a treia când înmulțim

două puteri cu aceeași bază exponenții

se adună Deci obține 1 supra 10

la puterea a cincea care va fi

egal cu 1 la 5 Care este 1 supra

10 la a cincea dar în loc să scriem

unul supra 100.000 este mai simplu

să scriem egal cu 10 la puterea

minus 5 3 5 supra 3 la puterea

minus 1 atunci când avem o putere

negativă dezvoltată este 1 supra

acel număr 1 supra 5 supra 3 linia

de fracție înseamnă împărțire Deci

nu scrie 1 împărțit la 5 supra

3 care este egal în continuare

cu 1 ori 3 supra 5 egal cu 3 supra

5 în general Orice fracție la puterea

minus 1 este inversă fracției respective

4 minus trei supra patru la puterea

minus 1 o să omitem această etapă

de mai devreme și o scrie direct

fracția inversată însă semnul acesteia

se păstrează ne și rezultatul va

fi minus 4 supra 3 5 3 supra radical

din 2 la puterea a doua ori radical

din 2 supra 6 la puterea a doua

având în vedere că avem același

exponent Putem să scriem acest

produs astfel 3 supra radical din

2 ori radical din 2 supra 6 totul

la puterea a doua în paranteză

putem să facem niște simplificări

3:06 se simplifică cu 3 6 împărțit

la 3 este 2 și pe cealaltă diagonală

putem să simplificăm radicalii

simplificăm cu radical din 2 și

obținem 1 în paranteză ne rămâne

1 supra 2 ridicat la puterea a

doua Care este egal cu 1 supra

4 și ultimul exercițiu 6 radical

din 5 la șasea împărțit la radical

din 5 la a opta a fi egal cu radical

din 5 la puterea 6 minus 8 egal

cu radical din 5 la puterea minus

2 egal cu 1 supra radical din 5

la puterea a doua egal cu 1 supra

5

Ridicarea la putere a numerelor realeAscunde teorie X

Fie a un număr real, iar n un număr natural nenul.

a to the power of n equals stack a times a times a times... times a with underbrace below
space space space space space space space space space space space space space space space space space space n space o r i

a- se numește bază

n- se numește exponent

Exemplu:

open parentheses square root of 2 close parentheses cubed equals square root of 2 times square root of 2 times square root of 2 equals 2 square root of 2

box enclose right enclose left enclose space open parentheses square root of a close parentheses to the power of n equals square root of a to the power of n end root
space open parentheses a square root of b close parentheses to the power of n equals a to the power of n square root of b to the power of n end root space end enclose end enclose end enclose space space left parenthesis a comma space b element of straight real numbers to the power of asterisk times comma space b greater than 0 comma space n element of straight natural numbers to the power of asterisk times right parenthesis

 

Reguli de calcul cu puteri

a to the power of m times a to the power of n equals a to the power of m plus n end exponent space space space space left parenthesis a element of straight real numbers to the power of asterisk times comma space m comma space n element of straight natural numbers right parenthesis

a to the power of m colon a to the power of n equals a to the power of m minus n end exponent space space space space left parenthesis a element of straight real numbers to the power of asterisk times comma space m comma space n element of straight natural numbers comma space m greater or equal than n right parenthesis

open parentheses a to the power of m close parentheses to the power of n equals a to the power of m times n end exponent space space space space left parenthesis a element of straight real numbers to the power of asterisk times comma space m comma space n element of straight natural numbers right parenthesis

a to the power of m times b to the power of m equals left parenthesis a times b right parenthesis to the power of m space space space space left parenthesis a comma b element of straight real numbers to the power of asterisk times comma space m element of straight natural numbers right parenthesis

a to the power of m colon b to the power of m equals left parenthesis a colon b right parenthesis to the power of m space space space space left parenthesis a comma b element of straight real numbers to the power of asterisk times comma space m element of straight natural numbers right parenthesis

left parenthesis negative a right parenthesis to the power of n equals open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell space space space a to the power of n comma space n minus p a r end cell row cell negative a to the power of n comma space n minus i m p a r end cell end table close a element of straight real numbers to the power of asterisk times comma space n element of straight natural numbers

a to the power of 0 equals 1 space space space space left parenthesis a element of straight real numbers to the power of asterisk times right parenthesis

a to the power of 1 equals a space space space space left parenthesis a element of straight real numbers to the power of asterisk times right parenthesis

Dacă exponentul este negativ, atunci vom aplica următoarea formulă:

box enclose a to the power of negative n end exponent equals 1 over a to the power of n end enclose space space space space left parenthesis a element of straight real numbers to the power of asterisk times comma space n element of straight natural numbers right parenthesis

În particular, dacă n = 1, avem:

box enclose a to the power of negative 1 end exponent equals 1 over a end enclose space space space space left parenthesis a element of straight real numbers to the power of asterisk times comma space n element of straight natural numbers right parenthesis.

Exemple:

open parentheses square root of 3 close parentheses to the power of negative 4 end exponent equals 1 over open parentheses square root of 3 close parentheses to the power of 4 equals 1 over 9
open parentheses 2 square root of 5 close parentheses to the power of negative 1 end exponent equals fraction numerator 1 over denominator 2 square root of 5 end fraction.

 

Navigare în lectii

Cumpara abonament
Plătește cu PayPal

Ajutor
Feedback-ul d-voastră este important pentru noi. Dacă observați vreo neregulă vă rugăm să ne-o semnalați apăsând butonul Trimite Feedback de mai jos.

Despre Lecții-Virtuale.ro

Lecții-Virtuale este o platformă educațională care oferă suport în vederea pregătirii pentru Evaluare Națională și Bacalaureat la Matematică, Fizică și Chimie. Lecțiile noastre sunt alcătuite din filme și exerciții și probleme cu tot cu rezolvări. Platforma noastră este o soluție ideală pentru școala online. Pentru facilitarea activității profesorilor în cadrul ecosistemului GSuite de la Google am implementat butonul Google Classroom. Scopul nostru este să ne concentrăm pe prezentarea noțiunilor și fenomenelor într-o manieră care să stimuleze înțelegerea și nu memorarea mecanică. Ne propunem să facilităm accesul la conținut educațional de calitate mai ales elevilor cu venituri mai modeste care nu își pemit meditații particulare. Sperăm să vă simțiti bine alături de noi și să invățați lucruri folositoare. Hai România!

Newsletter

Abonează-te la Newsletter pentru a fi la curent cu toate ofertele noastre.

Parteneri

EduApps partener Lectii Virtuale UiPath partener Lectii Virtuale Scoala365 partener Lectii Virtuale CCD Galați partener Lectii Virtuale

2022 © Lecții-virtuale.ro Toate drepturile rezervate
Termeni   Despre   Contact   Confidenţialitate   Cariere Parteneri