Rădăcina de ordin n dintr-un număr complex
Tag-uri
Partajeaza in Google Classroom
Transcript
în acest videoclip vom discuta
despre rădăcina de ordinul n dintre
un număr complex Dacă 10 este un
număr complex atunci prin radical
de ordinul n din sat se înțelege
un număr complex cu care ridicat
la puterea n să dea Zet adică soluția
ecuației 1 la n egal cu Z Maria
mintesc că la mulțimea numerelor
reale nu exista posibilitatea extragerii
unei rădăcini de ordin parte din
un număr negativ de exemplu nu
există radical din minus 9 în aer
Dar în mulțimea numerelor complexe
se poate extrage rădăcina de 8
c ordin fără restricții această
notație radical indice n din sat
reprezintă defapt mai multe numere
și mă vedea imediat Câte rădăcini
distincte există Dacă 10 este de
formă erori cosinus de plus sinus
de t iar m este de formă ro pe
lângă cosinus de tei topless e
sinus de teta atunci ecuația 1
la n egal cu Z se mai poate scrie
astfel ro la puterea n pe lângă
cosinus de n plus sinus de aici
am ridicat numărul la puterea n
folosind formula lui gavri egal
cu Z adică R pe lângă cosinus de
te plus sinus de t pentru că aceste
două numere să fie egale trebuie
pusă conditia carola n să fie egal
cu r adică modulele lor să fie
egal egal cu ad iar referitor la
argumente vom Ține cont de periodicitatea
funcțiilor sinus și cosinus și
vom pune condiția ca diferența
dintre argumente să fie multiplu
întreg de 2pi Adică n teta să fie
egal cu T plus 2 capii unde ca
este număr întreg din prima relație
de ducem kuro este egal cu radical
indice n din r r este număr pozitiv
întrucât acesta reprezintă modulul
numărului complex z așa dar se
poate extrage radical de obiceiuri
din din r i a din a doua egalitate
exprimăm numărul te taie și obținem
te plus 2 capii supra înlocuind
aceste două expresii în formă trigonometrică
a numărului complex vom obține
rădăcinile de ordin n ale numărului
complex z și acestea vor fi date
de Formula indice k egal cu radical
indice n din R pe lângă cosinus
de 3 plus 2 capii supra n plus
sinus de te plus 2k supra n unde
a este număr întreg în funcție
de valorile pe care le ia numărul
k putem avea mai multe rădăcini
de exemplu pentru ca egal cu zero
obținem rădăcina 0 pentru ca egal
cu 1 avem rădăcina 1 și așa mai
departe dar acum se pune întrebarea
Câte dintre aceste rădăcini sunt
distincte pornind de la această
relație Haideți să vedem câte rădăcini
distincte există pentru ca egal
cu 0 avem rădăcina indice 0 egală
cu radical indice n r pe lângă
cosinus de te supra n de geamuri
locuit aici pe capacul zero plus
e sinus de test supra n în cazul
în care Caia valoarea 1 obținem
rădăcina indice 1 egală cu radical
de ordinul n din r pe lângă cosinus
de 3 plus 2 pi supra n plus e sinus
de T plus 2 pi supra n și așa mai
departe în cazul în care ca ia
valoarea n minus unu obținem rădăcina
indice n minus unu egală cu radical
de ordinul n din aer pe lângă cosinus
de 3 plus 2 pe lângă n minus 1
supra n plus sinus de T plus doi
pe lângă n minus 1 supra n să vedem
însă ce se întâmplă în cazul în
care ca ia valoarea egală cu n
obținem rădăcina indice n egală
cu radical de ordinul n din R pe
lângă cosinus de T plus doi n p
supra n plus sinus de T plus doi
n p supra n dar această fracție
trei plus doi n p supra n se mai
poate scrie 3 supra n plus doi
n p supra n se simplifică cu N
și r doi pini știind că funcțiile
cynus și cosinus sunt periodice
am în perioada principală 2 pi
În consecință cosinus de test supra
n plus doi pași egal cu cosinus
de test supra n Așadar în cazul
în care numărul ca ia valoarea
egală cu n obținem o rădăcină egală
cu 0 Așadar rădăcinile distincte
sunt cele pentru ca luni valori
de la 0 până la n minus unu deoarece
pentru ca luni valori mai mari
sau egal cu n obținem rădăcini
egal cu 0 1 2 și așa mai departe
în consecință avem exact n rădăcini
distincte în concluzie Haideți
reținem această formulă prin care
putem să determinăm rădăcinile
de ordinul n ale număr complex
relație ce are loc pentru ca luni
valori de la 0 până la n minus
unu în cazul în care numărul complex
z este egal cu 1 atunci vorbim
despre rădăcinile de ordinul n
ale unității în continuare ne propunem
să calculăm rădăcinile de ordinul
6 ale unității pentru aceasta vom
scrie mai întâi numărul complex
1 sub formă trigonometrică 1 este
egal cu 1 pe lângă cosinus de 0
plus sinus de 0 cozi de 0 este
1 sin de zero este zero Așadar
modulul numărului complex este
egal cu 1 iar argumentul este egal
cu 0 Noi dorim să calculăm rădăcinile
de ordinul 6 ale unității În consecință
acest număr n Din formula scrisă
mai sus va fi egal cu 6 atunci
obține următoarea relație indice
ca va fi egal cu radical de ordinul
6 din 1 pe lângă cosinus de 0 plus
2 capii supra 6 plus sinus de 0
plus 2k supra 6 pentru ca luni
valori de la zero și până la 5:00
această relație se mai poate scrie
astfel indice ca va fi egal radical
de ordinul 6 din unul este 1 pe
care îl mai scriem și avem cosinus
de 2 copy supra 6 simplificăm cu
2 și ne rămâne cosinus de cap II
supra 3 plus sinus de cap II supra
3 unde ca ia valori de la 0 până
la 5 în continuare Haide să calculăm
fiecare rădăcină împarte 0 va fi
egal cu cosinus de 0 Deci în relație
scris mai sus înlocuind numărul
ca cu 0 și avem cozi de 0 plus
e sinus de 0 de 0 este 1 sinus
de zero este zero Așadar un zero
a fi egal cu 1 cu indice 1 este
egal cu cosinus de pi supra 3 plus
e sinus de pi supra 3 coș de pi
supra 3 este 1 pe 2 iar sinus de
pi supra 3 este radical din 3 supra
2 o 2 va fi egal cu cosinus de
2 pi supra 3 plus sinus de 2 pi
supra 3 pentru a calcula sinus
și cosinus de 2 pi supra 3 putem
fi să apelăm la formule trigonometrice
avem de exemplu formula pentru
argumentul dublu sau ne putem uita
Pe cercul trigonometric pentru
a calcula cosinus de 2 pi supra
3 vom lua acest unghi de două ori
Iată Aici este unghiul 2 pi supra
3 pentru a calcula cosinus se proiectează
acest punct pe axa o x obținem
că această valoare este negativă
dar egal în modul cu cosinus de
pi supra 3 cu alte cuvinte cosinus
de 2 pi supra 3 va fi egal cu minus
1 pe 2 iar pentru a calculați sinus
de 2 pi supra 3 proiectăm acest
punct pe axa o y și observăm că
obținem aceeași valoare cu sinus
de pi supra 3 în consecință sinus
de 2 pi supra 3 va fi radical din
3 supra 2 mai departe calculăm
u3 cu 3 se obține înlocuind numărul
ca cu 3 și avem cosinus de 3 pi
supra 3 Deci cosinus de pi plus
sinus de pi cosinus de este minus
unu sinus de pi este 0 indice 4
va fi egal cu cosinus de 4 pi supra
3 plus sinus de 4 pi supra 3 pentru
a calcula cosinus de 4 pi supra
3 luăm unghiul p supra 3 de 4 ori
1 2 3 4 aici avem 4 pi supra 3
cosinus este proiecția acestui
punct pe axa o x observăm că avem
aceeași valoare ca și cosinus de
2 pi supra 3 adică minus 1 pe 2
iar sinus de 4 pi supra 3 va fi
minus sinus de pi supra 3 adică
minus radical din 3 supra 2 e 5
este egal cu cosinus de cinci piese
supra 3 plus sinus de 5 pi supra
3 Aici este unghiul 5 pi supra
3 conținut este proiecția acestui
punct pe axa o x obținem aceeași
valoare ca și cosinus de pi supra
3 Adică 1 pe 2 iar sinus este proiecția
acestui punct pe axa o y obținem
minus sinus de pi supra 3 adică
minus radical din 3 supra 2 e acestea
au fost cele șase rădăcini ale
unității iar la final aș vrea să
renunțăm o teoremă de o importanță
deosebită este vorba despre teorema
fundamentală a algebrei mulțimea
numerelor complexe este algebric
închisă adică orice ecuații algebrică
cu coeficienți complecși este rezolvabilă
în mulțimea numerelor complexe
în lecția următoare vom rezolva
și noi câteva ecuații cu coeficienți
complecși