Reprezentarea geometrică a numerelor complexe

în această lecție vom discuta despre

reprezentarea geometrică a numerelor

complexe cred că este important

să avem și o imagine geometrică

a noțiunilor algebrice prezentate

în lecțiile trecute pentru o mai

bună înțelegere a acestora așa

că în acest videoclip voi prezenta

interpretarea geometrică a modulului

unui număr complex și o operație

de adunare apoi o să vedem interpretarea

geometrică a numerelor complexe

opuse și o operație de scădere

iar la final vom vedea interpretarea

geometrică a numerelor complexe

conjugate un număr complex z având

forma algebrică a plus b e Este

bine determinat dacă se cunoaște

partea reală și pot imagina ara

aceste numere a și b pot fi privite

drept coordonatele unui punct m

din plan în care a fixat sistemul

de axe x o y partea reală se reprezintă

pe axa o x aceasta fiind de fapt

axa numerelor reale iar partea

imaginară se reprezintă pe axa

o y această axă se mai numește

și axa imaginară fiecărui număr

complex îi corespunde un unic punct

m din plan Iar acest punct se numește

imaginea geometrică a numărului

complex z numărul complex z se

numește afixul punctului m Dacă

unim punctele o și m atunci segmentul

om poate fi privit ca Vector de

poziție al punctului m Dacă notez

proiecția punctului m pe axa o

x cu a se obține triunghiul dreptunghic

o a m având catetele cu lungimile

a mic și b mic dacă aplicăm Pitagora

în acest triunghi dreptunghic obținem

că lungimea segmentului o m este

radical din a pătrat plus b pătrat

dar această expresie este chiar

modulul numărului complex z Deci

modulul numărului complex z este

de fapt lungimea segmentului om

dacă la în mulțimea numerelor reale

modulul era distanța de la origine

până la punctul corespunzător de

pe axa o x la numere complexe modulul

este distanța de la origine până

la punctul corespunzător din plan

mai putem spune că modulul lui

z este modulul vectorului de poziție

a imaginii geometrice a lui z discutăm

în continuare despre interpretarea

geometrică a sumei a două numere

complexe avem numărul complex Z

1 cu forma algebrică a 1 plus b

unui și am notat cu M1 imagine

sa geometrică atunci vectorul o

m 1 va fi vectorul de poziție având

coordonatele a1 b1 avem apoi un

alt număr complex de doi și am

notat cu m2 imaginea sa geometrică

atunci vectorul o m 2 va avea coordonatele

a2 b2 suma celor două numere complexe

Z1 plus Z2 are forma algebrică

a 1 plus A2 plus b 1 plus b2e A1

plus A2 este partea reală iar b

1 plus B2 este parte imaginară

ne propunem să găsim imaginea geometrică

a numărului complex Z 1 plus 2

pentru aceasta vom aduna vectorii

om 1 om2 Folosind regula paralelogramului

conduce Așadar paralele la direcțiile

celor doi vectori voi nota cu m

punctul A astfel obținut iar diagonala

paralelogramului om va fi suma

celor doi vectori Așadar punctul

m este imaginea geometrică a numărului

complex Z 1 plus Z2 am obținut

Așadar vectorul de poziție om iar

om va avea ca și coordonate a unui

plus A2 respectiv b 1 plus b-2

În consecință imaginea geometrică

a sumei de tunul plus Z2 este punctul

m unde om este vectorul obținut

prin regula paralelogramului în

continuare vom discuta despre interpretarea

geometrică a opusului unui număr

complex avem un număr complex Z

egal cu a plus b e și am notat

cu a m imaginea asta geometrică

opusul acestui număr complex este

numărul notat minus z având forma

algebrică minus a minus b e iar

imaginea sa geometrică este un

alt punct pe care îl am notat cu

m prim având ca și coordonate minus

a minus b remarcăm faptul că punctele

m și m prim sunt simetrice față

de originea O a sistemului de axe

x o y deoarece segmentele o m și

o n prim au aceeași lungime așa

dar să reținem că imaginile geometrice

a două numere complexe opuse sunt

puncte simetrice față de originea

O a sistemului de axe x o y a vedea

imaginea geometrică a diferenței

a două numere complexe vom considera

această operație ca fiind o adunare

cu numărul complex opus Iată avem

numărul complex Z 1 egal cu a 1

plus b unui și am notat cu a imaginea

sa geometrică avem apoi un alt

număr complex de 2 egal cu A2 plus

b 2x și am notat cu b imaginea

sa geometrică am construit de asemenea

imaginea geometrică a opusul lui

numărului complex z 2 avem Așadar

punctul C având coordonatele minus

a 2-a minus b doi așa cum spuneam

mai devreme vom considera operația

de scădere ca fiind o adunare cu

numărul complex opus decizie 1

minus Z2 se poate scrie 1 adunat

cu minus Z2 pentru a obține imaginea

geometrică a acestui număr complex

voi construi mai întâi vectorii

de poziție o a o b și o c punctele

b și c sunt simetrice față de punctul

O de oarece acestea sunt din magiile

geometrice ale unor numere complexe

opuse noi trebuie să adunăm vectorii

o a și o c voi folosi din nou regula

paralelogramului voi duce paralele

la direcțiile celor doi vectori

notez cu d punctul A astfel obținut

iar diagonala paralelogramului

aude va fi suma celor doi vectori

o a și o c Așadar punctul D este

imaginea geometrică a numărului

complex de 1 minus Z2 să scriem

și aici că acestui număr complexe

Z 1 minus z 2 îi va corespunde

punctul de acesta va avea coordonatele

A1 minus a 2 respectiv B1 a minus

b doi Dar o d este egal cu modul

din Z 1 minus z 2 am vazut mai

devreme când am discutat despre

interpretarea geometrică a modulului

că modulul unui numar complex este

distanța de la origine până la

imaginea asta geometrică Așadar

aude este modul din Z 1 minus z

2 însă o d are aceeași lungime

cu AB pentru că o d a b este paralelogram

Putem să scriem așa dar că o d

este egal cu AB din aceste două

relații va rezulta că ab este egal

cu modul din Z 1 minus z 2 în concluzie

dacă a și b sunt două puncte din

plan atunci lungimea segmentului

AB este egală cu modul din Z 1

minus z 2 la final aș vrea să mai

vedem și interpretarea geometrică

a numerelor complexe conjugate

Dacă 10 este egal cu a plus b e

și a mare este imaginea sa geometrică

atunci z conjugat va avea forma

algebrică a minus b e și am notat

imaginea sa geometrică cu b putem

observa că punctele a și b sunt

simetrice față de axa o x în consecință

să reținem că imaginile geometrice

ale numerelor complexe conjugate

sunt puncte simetrice față de axa

o x în clipul urmator vom face

câteva exerciții