Rezolvarea sistemelor de ecuatii folosind metoda grafică
Tag-uri
Partajeaza in Google Classroom
Transcript
în această secvență vom discuta
despre rezolvarea sistemelor de
ecuații prin metoda grafică și
ni se dă un sistem de Două ecuații
cu două necunoscute necunoscutele
sunt x și y De ce putem rezolva
un sistem de ecuații prin metoda
grafică pe fiecare din aceste Două
ecuații este o ecuație de gradul
întâi cu două necunoscute cu alte
cuvinte este ecuația unei drepte
de ce aici avem ecuațiile a două
drepte atunci ca să rezolvăm prin
metoda grafică un asemenea sistem
vom trasa în același sistem de
coordonate dreptele date prin aceste
Două ecuații și în funcție de poziția
dreptelor vom stabili soluția sistemului
și o să vedeți că e chiar foarte
simplu Deci mai întâi trasăm dreapta
de ecuație 2x plus y egal 3 și
ca să ne fie mai ușor la calcul
Haide să îl scoatem de aici pe
y300 că y este egal cu 3 minus
2x și facem tabelul de valori de
câte puncte avem nevoie de două
puncte pentru că știm deja Reprezentăm
o dreaptă și vom trece aici pe
x și aici pac si Haideți să îi
dăm lui x valoarea zero și se mai
dăm și valoarea 1 și să îl găsim
pe Y8 de fapt dacă x este 0 atunci
cât este y o avea 3 minus 2 înmulțit
cu x adică cu 0 și obținem trei
venit și trece mai dacă x Însă
este 1 atunci yg3 minus 2 înmulțit
cu 1 pentru că xa1 și vom avea
trei minus doi unu am obținut punctele
de coordonate 0 și 3 și punctul
de coordonate 1 și 1 și acum haide
să trasăm aceste două puncte și
dreapta determinată de ele avem
0:03 Deci pe axa o y 3 cm numărul
3 adică aici punctul de coordonate
0 și 3 este acesta punctul de coordonate
1 și 1 avem aici 160 tot 1 deci
vorbim de Iată acest punct și acum
dreapta determinată de aceste două
puncte este aceasta adică dreapta
de ecuație 2x plus y egal 3 absolut
la fel vom proceda și pentru a
doua ecuație ID să ștergem aici
Deci avem dreapta de ecuație x
mai 2y egal cu patru sigur aici
putem să exprimăm pe x în funcție
de e mai simplu însă în general
se exprimă în funcție de x atunci
Haideți să scoatem de aici pe Y8
egal cu și cum procedam apoi pe
doi putem să îl trecem în cealaltă
parte egal lui cu sens schimbat
și vom avea că x egal cu 4 plus
2y acum pe 4 care are Semnul plus
în față îl trecem în această parte
cu sens schimbat și avem x minus
4 ne dă doi și ca să determinăm
pe această relație trebuie să o
împărțim la doi Deci vom avea x
minus 4 supra 2 și la am de terminat
la mix primat pe y10 mcum tabelul
de Valori tot așa îi dăm lui x
două valori trece mai x și aici
y i Hide să îi dăm lui x valoarea
zero și să îi mai dăm valoare A4
pentru că Iată o va fi un calcul
foarte ușor o să obținem aici patru
minus patru Adică dacă x este 0
Cât este y pe avem 0 minus 4 totul
supra 2 adică minus 2 trecem aici
minus 2 dacă x este însă 4 atunci
y vei fi egal cu 4 minus 4 pe 2
adică zero și să trecem punctele
pe care le am obținut avem punctul
de coordonate 0 și minus 2 iar
al doilea punct are coordonatele
patru și zero și trecem aceste
puncte în același sistem de coordonate
unde am trasat și această dreaptă
zero și minus doi Deci avem aici
minus unu Aici este minus 2 acesta
este punctul primul punct patru
și zero Deci trebuie să luăm acum
patru Aici este unul aici este
2 3 și 4 e mult mai simplu Dacă
am avea o foaie de matematică Dani
de să ne descurcăm și așa și acum
dreapta care este determinată de
aceste două puncte Iată este aceasta
dreapta de ecuație x minus 2y egal
cu 4 Cum sunt aceste două drepte
cu ele sunt drepte concurente au
un singur punct în comun și anume
acesta chiar putem să îl denumim
punctul P Care sunt coordonatele
acestui punct Păi dar aici găsim
că abscisa este 2 aici E unul aici
este 2 desenul nu ești chiar foarte
exact de pe Dacă am avea stau în
fine milimetrică atunci am putea
să facem un desen corect și ordonata
este minus 1 avem aici minus unu
Deci punctul b are coordonatele
2 și minus sunt acest punct este
singurul punct comun celor două
drepte pe Ce înseamnă asta înseamnă
că acest aceste coordonate această
pereche de numere este singura
care verifică în același timp aceste
Două ecuații Deci avem de fapt
o singură soluție și anume x egal
cu 2 aceasta e soluție a sistemului
și y egal cu minus 1 sunt singurele
numere care verifică în același
timp cele două ecuații Deci soluția
este formată din o singură pereche
de numere și anume 2 și minus unu
în concluzie când avem două Cum
curent A atunci sistemul dat are
o singură soluție Haide să notăm
avem aici un sistem scris în Forma
generală avem Două ecuații cu două
necunoscute dacă notăm cu d indice
1 dreapta determinată de prima
ecuație și cu d indice 2 dreapta
determinată de cea de a doua ecuație
atunci dacă cele două drepte de
indice 1 și d indice 2 sunt drepte
concurente Atunci înseamnă că sistemul
are o singură soluție și acesta
este primul caz dacă avem însă
acest sistem minus 2x plus y egal
3 și 2x minus y egal 3 îi dacă
suntem atenți la ecuațiile date
în acest sistem putem să ne dăm
seama foarte rapid de soluția sistemului
Iată prima ecuație o putem înmulți
cu minus unu și atunci sistemul
va fi Vaillant cu palme avea aici
minus 2 ori minus unu adică 2 înmulțit
cu x plus înmulțit cu minus ne
dă minus și îl avem aici pe Y8
minus unu Deci minus trei și a
doua ecuație o copiem nu am făcut
nicio modificare la ea Și avem
2x minus y egal cu 3 Păi Ce observăm
această diferență 2x minus y poate
în același timp să ne dea și minus
trei și trei nu Asta înseamnă că
nu există vreo pereche de numere
reale x si y care să verifice simultan
ambele ecuații Deci din start Putem
să scriem că soluția acestui sistem
este mulțimea vidă dacă însă nu
ne am dat seama de acest lucru
și vrem să rezolvăm sistemul folosind
metoda grafică atunci cum vom face
Păi mai întâi trebuie să scriem
de fapt trebuie să trasăm dreapta
d ție minus 2x plus y egal cu 3
și Haideți să facem tabelul de
Valori vom trece aici pe x și aici
fac și Haideți să găsim punctele
care se află la intersecția dintre
dreaptă și axele de coordonate
O să vedeți mai târziu De ce avem
nevoie chiar de aceste puncte pentru
aceasta cum vom face îi procedăm
ca la funcții îi dă mai întâi lui
x valoarea 0 și astfel vom obține
un pom care se află pe oi iar apoi
îi dăm lui y valoarea zero ca să
obținem un punct care se află pe
o x dacă x este 0 atunci cu cât
este egal Păi ca să ne fie mai
simplu putem să îl scoatem pe Greg
din această relație și vom obține
că y este 3 plus 2 x Deci dacă
x 0y va fi trei adunat cu 2 ori
zero adică 3 trecem aici trei dacă
însă y este egal cu 0 atunci ce
rezulta în această relație în loc
de a trece mie 0 și vom avea 0
egal cu 3 plus 2 x Sau invers Putem
să scriem 3 adunat cu 2 ori x ne
dă 0 și vom obține că x este în
minus 3 supra 2x minus 3 pe 2 si
puncte am obținut avem așa coordonatele
0 și 3 și punctul de coordonate
minus trei pe doi și zero și să
le trecem aici 0:03 Deci vom trece
3 pe axa o y avem 1 2 și aici este
3 acesta este punctul trei pe doi
și zero Deci minus trei pe doi
Aici îl avem pe minus unu Aici
este minus doi Deci minus trei
pe doi este minus trei pe doi și
tras în patul acum dreapta determinată
de aceste două puncte este aceasta
dreapta de ecuație minus 2x plus
y egal 3 procedăm absolut la fel
pentru dreapta de ecuație 2x minus
y egal cu 3 la fel facem tabelul
de Valori Ivanda lui x două valori
de fapt o să alegem tot intersecția
dintre dreaptă și axele de coordonate
Deci luăm lui pe luăm pentru x
ballora zero și apoi pentru y2
valoarea 0 dacă x este 0 Cât va
fi Y32 să le exprimăm pe aici y
doi x minus trei y dacă x este
0 trecem direct 2 ori 0 minus 3
ne dă minus trei și acum Dacă y
este 0 Iată avem 0 egal cu 2x minus
3 de fix va fi 3 supra 2 trecem
aici 3 pe 2 și haide să ștergem
cea notat aici sub crac am obținut
punctele de coordonate 0 minus
3 și 5 3 supra 2 și 0 și venim
și le trece 0 și minus 3 avem aici
minus 1 minus 2 și minus 3 vorbim
de acest punct trei pe doi și zero
aici este 1 Aici este doi Deci
trei pe doi este aici Deci avem
acest punct dreapta determinată
de aceste două puncte este aceasta
Cum sunt cele două drepte dreptele
paralele însă noi trebuie să demonstrăm
că ele chiar sunt drepte paralele
dacă ele sunt drepte paralele atunci
e clar că nu avem niciun punct
în comun Deci soluția sistemului
este întradevăr mulțimea vidă Cum
arătăm că aceste două drepte sunt
drepte paralele Păi mai întâi Haideți
să facem următoarele notații să
notăm acest punct cu ei acesta
cu b iar aici să notăm ce Și aici
cu d arătăm că dreapta a este paralela
cu dreapta cd și vom șterge aici
Cum sunt triunghiurile AOB avem
triunghiul a o b și triunghiul
d o c triunghiul AOB este un triunghi
dreptunghic în o triunghiul d o
c este dreptunghic tot în 9 Deci
avem Două triunghiuri dreptunghice
și Ce observăm ce e foarte ușor
de văzut că lungimea segmentului
AO are trei unități de măsură ca
și lungimea segmentului OD iar
cateta o b are 3 supra 2 unități
de măsură ca și cateta o c cu alte
cuvinte aceste Două triunghiuri
dreptunghice sunt congruente notăm
aici cazul catetă catetă din această
cauză am avut nevoie de intersecție
a dintre dreaptă și axele de coordonate
ca să găsim foarte ușor lungimea
catetelor acestor două triunghiuri
punct triunghiurile sunt congruente
Ce înseamnă asta să nu uităm că
noi vrem Să arătăm că dreapta a
b paralelă cu dreapta DC Păi dacă
triunghiurile sunt congruente înseamnă
că acest unghi este congruent cu
care unghi pe acest unghi se pune
este opus segmentului OB Care este
congruent cu o c și o c la rândul
său se opune acestui unghi Deci
acest unghi congruent cu acesta
notăm rezultă că unghiul b a o
b a o este congruent cu unghiul
c d o c d o atunci dacă Considerăm
dreapta AB și dreapta cd și secanta
dată de axa o y observând că aceste
două unghiuri acesta și acesta
sunt unghiuri alterne interne cum
ele sunt și congruente rezultă
din teorema teorema unghiurilor
alterne interne ca aceste două
drepte a b și c d sunt drepte paralele
am arătat paralelismul acestor
două drepte cu alte cuvinte ele
nu au un punct în comun de soluția
sistemului dat este mulțimea Vita
Haideți să notăm acest lucru și
acolo unde am scris teoria Deci
dacă dreptele sunt paralele D1
paralel cu D2 atunci rezultă că
sistemul nu are soluții ultimul
exemplu este acest sistem x plus
y egal 1 și 2 x plus 2y egal 2
dacă notăm cu d indice 1 dreapta
de ecuație x plus y egal 1 și cu
d indice 2 dreapta de ecuație 2x
plus 2y egal 2 ce putem spune despre
aceste două drepte poiată că aici
putem să împărțim această relație
la 2:10 temul va fi echivalent
cu x plus igrec egal 1 iar aici
prin împărțirea la 2 vom obține
tot Tix plus y egal cu unu Cu alte
cuvinte cele două drepte au de
fapt aceeași ecuație asta înseamnă
că dreptele îndrepte suprapuse
sau confundate deci de indice 1
egal cu d indice 2 am pregătit
aici și reprezentarea geometrică
a dreptei care are ecuația x plus
igrec egal 1 observa ca aceste
două drepte sunt drepte suprapuse
și atunci în această situație Care
este mulțimea soluției mulțimea
soluțiilor acestui sistem fiecare
punct orice punct care se află
pe această dreaptă pe dreapta de
ecuație x plus y egal 1 coordonatele
sale verifică ambele ecuații asta
înseamnă că avem o infinitate de
soluții pentru că aici avem o infinitate
de puncte Care este forma acestor
coordonate Păi devreme si ele verifică
această ecuație x plus y egal 1
atunci avem următoarea formă dacă
îi dăm lui x o valoare dată se
spunem Alfa Deci Alfa este un număr
real atunci cât este y y y va fi
egal cu 1 minus x iar x este Alpha
deci avem unul minus Alpha cu alte
cuvinte o soluție a acestui sistem
are această formă Alfa și 1 minus
Alfa mulțimea soluțiilor Haide
să o notăm cu S mare este formată
din toate perechile de numere care
arată astfel Alpha 1 minus talpă
cu proprietatea că Alfa este număr
real deci atunci când avem drepte
suprapuse avem o infinitate de
soluții să scriem acest lucru și
acolo unde am trecut teoria Dacă
dreptele sunt confundate deci de
indice 1 egal cu d indice 2 atunci
sistemul are o infinitate de soluții