Rezolvarea triunghiului dreptunghic
Tag-uri
Partajeaza in Google Classroom
Transcript
triunghiul dreptunghic este o noțiune
foarte des întâlnit în geometrie
și este important să știm să calculăm
lungimile laturilor unui triunghi
dreptunghic folosind funcții trigonometrice
și teorema lui Pitagora o să încep
cu o problemă mai simplă se dă
un triunghi dreptunghic ABC cu
măsura unghiului A de 90 de grade
se știe că bc este egal cu 15 cm
iar cosinus de c este egal cu 3
supra 5 se cere să aflăm perimetrul
triunghiului ABC pentru a afla
perimetrul acestui triunghi trebuie
să calculăm mai întâi lungimile
laturilor acestuia pornind de la
această relație dată cosinus de
ce egal cu 3 supra 5 cosinus este
raportul dintre cateta alăturată
unghiului c și ipotenuza deja portul
dintre AC și BC va fi egal cu 3
supra 5 ma rezultat din această
relație a c supra BC este egal
cu 3 supra 5 însă BC este egal
cu 15 și înlocuind în relația de
mai sus obținem Astfel că a supra
15 este egal cu 3 supra 5 din această
relație exprimăm necunoscută ace
ace va fi egal cu 3 ori 15 supra
5 se simplifică 15 cu 5 și va rezulta
că AC este egal cu 3 ori 3 adică
9 cm am aflat lungimea catetei
AC trebuia acum să aflăm lungimea
catetei a b aplica teorema lui
Pitagora În triunghiul abc Inter
Emily Pitagora a aplicat în triunghiul
ABC rezultat că ab la pătrat plus
AC la pătrat este egal cu bc la
pătrat a b la pătrat plus 9 la
a doua egal cu 15 la a doua a b
la a doua plus 81 egal cu 225 abela
doua va fi egal cu 225 minus 81
a b la pătrat va fi egal cu 144
a b este egal cu radical din 144
ABA fie egal cu 12 cm am aflat
și lungimea laturii ab Acum putem
să aflăm perimetrul triunghiului
ABC adunând lungimile celor trei
laturi perimetrul triunghiului
abc este egal cu 9 plus 12 plus
15 9 și cu 12 este 21 plus 15 egal
cu 36 cm continuăm cu problema
numărul 2 se dă un triunghi dreptunghic
ABC cu măsura unghiului a egală
cu 90 de grade se știe că măsura
unghiului B este de 30 de grade
și AB este egal cu 18 radical din
3 cm ducem ad perpendiculară pe
bc d aparține laturii BC trebuie
să calculăm lungimile laturilor
ac bc și ad unde ad este înălțime
știind că măsura unghiului b este
egală cu 30 de grade și se cunoaște
cateta alăturată unghiului B în
lecția trecută am determinat funcțiile
trigonometrice pentru unghiul cu
măsura de 30 de grade trebuie să
aplicăm o funcție trigonometrică
care face referire la cateta alăturată
unghiului B această funcție trigonometrică
ar putea fi cosinus tangentă sau
cotangentă putem aplica de exemplu
tangenta pentru unghiul b și astfel
vom reuși să aflăm lungimea catetei
AC tangentă de b este cateta opusă
unghiului b supra cateta alăturată
AC supra ab dar știu că tangentă
de 30 de grade este radical din
3 supra 3 am văzut acest lucru
în lecția trecută înseamnă că a
c supra ab este egal cu radical
din 3 supra 3 dar AB este 18 radical
din 3 și obținem următoarea relație
a c supra 18 radical din 3 egal
cu radical din 3 supra 3 avem aici
O proporție cu termenul necunoscut
ace din această proporție exprimăm
lungimea segmentului ac aceasta
va fi egală cu 18 radical din 3
ori radical din 3 supra 3 egal
cu 18 ori 3 supra 3 se simplifică
3 cu 3 și obținem 18 am aflat Așadar
că AC este egal cu 18 cm acum Trebuie
să aflăm lungimea ipotenuzei bc
putem aplica fie teorema lui Pitagora
În triunghiul ABC fie o altă funcție
trigonometrică în care intervine
ipotenuza de exemplu sinus de B
acesta este raportul dintre cateta
opusă a c supra ipotenuză și știm
că sinus de 30 de grade este egal
cu 1 supra 2 alege a doua variantă
și aplicăm sinus de b acesta este
cateta opusă supra ipotenuză a
c supra bc iar sinus de 30 de grade
este 1 supra 2 sinus de 30 de grade
egal cu 1 pe 2 egal în aceste două
relații ace supra bc egal cu 1
supra 2 AC este 18 cm 18 supra
bc egal cu 1 supra 2 din această
relație exprimăm lungimea segmentului
BC BC este egal cu 18 ori 2 bc
egal cu 36 cm am aflat și ipotenuza
mai trebuie să aflăm lungimea înălțimii
ad am obținut că bc are lungimea
egală cu 36 cm înălțimea triunghi
dreptunghic este produsul catetelor
supra ipotenuză și voi aplica această
formulă pentru a determina lungimea
segmentului ad Ade este egal cu
AB ori ace supra bc am văzut această
formulă în lecția teorema înălțimii
a b este 110 radical din 3 AC este
18 iar BC este 36 36 împărțit la
18 este 2 rămâne 18 radical din
3 supra 2 se mai simplifică și
18 cu 2 și obținem 9 radical din
3 am obținut astfel că înălțimea
a d este 9 radical din 3 cm și
ultima problemă Fie triunghiul
ABC dreptunghic cu măsura unghiului
A de 90 de grade ad înălțime se
știe că c d este 48 cm și tangentă
de B este egal cu 4 supra 3 Calculați
perimetrul triunghiului ABC tangenta
unghiului B se poate exprima fie
din triunghiul mare a b c fie din
triunghiul dreptunghic a d b voi
aplica funcția tangentă În triunghiul
dreptunghic adb și voi încerca
să obțin o relație între înălțimea
AD și proiecțiile catetelor pe
ipotenuză adică segmentele bd și
CD în triunghiul adb tangenta unghiului
B este cateta opusă unghiului b
supra cateta alăturată adică ad
supra DB și știm că această tangentă
este 4 supra 3 din ipoteză nu te
mustre relație cu unu acum aplicăm
teorema înălțimii în triunghiul
abc din teorema înălțimii în triunghiul
dreptunghic a b c obținem că a
d pătrat este egal cu bd ori DC
a d pătrat este egal cu bd ori
48 observăm că am mai obținut o
relație între ad și bd avem astfel
două relații cu două necunoscute
din această ecuație vă exprimă
lungimea segmentului b d pe care
o voi înlocui în relația 1 de aici
va rezulta că BD este egal cu ad
la pătrat supra 48 și înlocuiesc
această relație obținută în relația
1 astfel relația 1 se va scrie
ad supra în loc de bd voi scrie
Adela pătrat supra 48 egal cu 4
supra 3 avem o fracție supraetajată
împărțim prima fracție la a doua
a d se poate scrie a d supra 1
împărțit la ei de la pătrat supra
48 egal cu 4 supra 3 pentru a împărți
două fracții înmulțim prima fracție
cu invers a celei de a doua a d
supra 1 ori 48 supra a de la pătrat
egal cu 4 supra 3 pe diagonală
putem să simplificăm cu Ade Adela
pătrat înseamnă ad ori ad și atunci
la numitorul aceste fracții o să
rămână Ade iar Aici avem 1 lecția
1 supra 1 nu se mai scrie obținem
48 supra Ade egal cu 4 supra 3
avem din nou proporție cu o necunoscută
exprimăm din această proporție
lungimea segmentului ad aceasta
va fi egală cu 48 ori 3 supra 4
se simplifică 48 cu 4 obținem 12
Adi va fi egal cu 12 ori trei și
egal cu 36 cm revenind la desen
am obținut că a d este 36 cm dacă
la am aflat pe Ade putem să îl
aflăm pe b d din această relație
pe care am notat tu cu unu după
ce îl aflăm pe BD aflăm lungimea
ipotenuzei bc din ăla cea pe care
am mutat tu cu unu obținem că 36
supra b d este egal cu 4 supra
3 de aici rezultă că BD este egal
cu 36 ori 3 supra 4 se simplifică
36 cu 4 aici ne rămâne nouă bd
egal cu 9 ori 3 egal cu 27 cm dacă
am aflat lungimea segmentului BD
putem să aflăm lungimea ipotenuzei
bc aceasta se obține adunând segmentele
bd și CD egal cu 27 plus 48 egal
cu 75 cm am aflat azi pe lungimea
ipotenuzei pentru a afla perimetrul
triunghiului trebuie să aflăm și
celelalte două catete ab și ac
o să copiezi figura geometrică
mai jos ca să avem în față bataie
este 27 și BC este 75 pentru a
afla cateta ab muie aplica teorema
lui Pitagora În triunghiul dreptunghic
adb Folosind teorema lui Pitagora
În triunghiul adb a b este ipotenuza
a b la pătrat egal cu ad la pătrat
plus BD la pătrat a b la pătrat
este egal cu 36 la a doua plus
27 la a doua a b la pătrat va fi
egal cu 1296 Puteți să faceți alăturat
3636 plus 729 Abel la pătrat va
fi egal cu 2025 a b este egal cu
radical din 2025 trebuie să descompunem
numărul 2025 având în vedere că
acest număr are Ultimele cifre
2 și 5 înseamnă că el va fi divizibil
cu 25 Așadar începem descompunerea
Împărțind numărul la 5 la a doua
o să facem alăturat împărțirea
2025 împărțit la 25 25 în 205 intră
de opt ori 5 ori 844 reținem 8
ori 216 cu 420 efectuăm scăderea
coborâm cifra 5 25 în 25 se cuprinde
o dată rezultatul împărțirii 2025
la 25 este 81 continuar descompunerea
și Împărțind numărul 81 la 381
împărțit la trei este 27 27 se
împarte la 3 și obținem 9 9 împărțit
la 3 este 3 3 împărțit la 3 este
1 formăm pătrate perfecte Putem
să scriem așa dar că ab este egal
cu radical din 5 la a doua ori
3 la a doua ori 3 la a doua egal
cu cinci ori trei ori trei trei
ori trei este 9 ori 5:45 am obținut
că ab este egal cu 45 cm pentru
a afla lungimea catetei a c fie
aplicăm teorema lui Pitagora În
triunghiul ABC fie aplicăm teorema
lui Pitagora În triunghiul adc
voi aplica teorema În triunghiul
adc pentru că lungimile laturilor
acestui triunghi sunt exprimate
în numere mai mici Folosind teorema
lui Pitagora În triunghiul ABC
AC este ipotenuza acela pătrat
egal cu ad la pătrat plus c d la
pătrat acela pătrat egal cu 36
la a doua plus 48 la a doua acela
pătrat va fi egal cu 1296 plus
2304 vă rog să faceți voi acestei
înmulțiri acela pătrat va fi egal
cu 3.600 AC este egal cu radical
din 3.600 putem fi Să descompunem
numărul 3.600 fi să aplicăm Niște
proprietăți ale radicalilor 3600
este 36 ori 100 36 și 100 sunt
pătrate perfecte egal în continuare
cu radical din 36 ori radical din
100 egal cu 6 ori 10 egal cu 60
am aflat lungimea catetei ac aceasta
este 60 și acum putem să calculăm
perimetrul triunghiului ABC însumând
cele trei laturi perimetrul triunghiului
ABC este egal cu ab plus AC plus
bc egal cu 45 plus 60 plus 75 45
plus 60 este 105 plus 75 egal 180
cm