Ridicarea la putere a numerelor complexe

în acest videoclip voi prezenta

ridicarea la putere a numerelor

complexe sub formă trigonometrică

am văzut în lecția trecută că produsul

a două numere complexe exprimate

trigonometric este Z1 Z2 egal cu

a R1 r2 pe lângă cosinus de T 1

plus 2 plus e sinus de 1 plus 2

unde eram și r 2 reprezintă modulele

celor două numere complexe iar

T1 și T2 sunt argumentele acestora

această formulă se poate generaliza

pentru produsul a n numere complexe

iată în cazul în care avem n numere

atunci produsul Zet 1 ori 2 ori

puncte puncte ori 10 n va fi egal

cu R1 r2 arond pe lângă cosinus

de 1 plus 2 plus puncte puncte

plus tn plus e sinus de 1 plus

2 plus puncte puncte plus tn în

cazul în care aceste n numere complexe

sunt egale atunci obține formula

pentru ridicarea la putere a unui

număr complex Iată 10 la puterea

n va fi egal cu r la puterea n

pe lângă cosinus de an pentru că

aici în paranteză avem n termeni

plus sinus d&d această formulă

este cunoscută sub numele de formula

lui moivre deducem astfel că modul

din 10 la n este egal cu r la n

dar e reprezintă modulul numărului

complex z Așadar modul din z n

este egal cu modul din z la puterea

n un argument al puterii este produsul

dintre argumentul numărului complex

z și exponentul puterii Așadar

Pentru a ridica la puterea n un

număr complex vom ridica modulul

la puterea n iar argumentul îl

înmulțim cu n dacă numărul complex

z are modulul egal cu 1 atunci

forma sa trigonometrică va fi cosinus

de tei plus sinus de ten iar în

acest caz formula de mai sus se

va scrie cosinus de T plus sinus

de ridicat la puterea N egal cu

cosinus de n plus e sinus de an

în unele cărți veți găsi formula

lui moivre scrisă sub această formă

această relație se poate demonstra

foarte ușor prin inducție matematică

lăsăm demonstrația ca exercițiu

în continuare să rezolvăm următorul

exercițiu se cere să calculăm 1

minus 2 supra 3 minus e ridicat

la puterea 32 pentru început voi

nota cu Z numărul din paranteză

10 este egal cu 1 minus 2 supra

3 minus i în continuare amplificăm

cu conjugată și vom avea 1 minus

2 pe lângă 3 plus e supra 3 minus

e înmulțit cu 3 plus e egal cu

3 plus e minus 6 e ne dă minus

5 minus 2 e pătrat e pătrat este

minus 1 Deci obținem plus 2 supra

3 la a doua 9-a minus e pătrat

adică plus 1 egal cu 5 minus 5

supra 10 Da factor comun pe 5 și

apoi simplificăm cu 5 și obținem

1 minus y supra doi Deci z va fi

egal cu 1 supra 2 pe lângă 1 minus

i noi trebuie să calculăm 10 la

puterea 32 acesta va fi egal cu

1 supra 2 pe lângă 1 minus e totul

ridicat la puterea 32 egal cu 1

supra 2 la puterea a 32 ori Haideți

să notăm numărul complex 1 minus

e cu u Și atunci vom avea înmulțit

cu U la puterea 32 Deci pentru

a calcula numărul z ridicat la

puterea 32 trebuie de fapte calculăm

numărul ridicat la puterea 32 unde

o este egal cu 1 minus e pentru

a calcula 1 minus la puterea 32

mai întâi vom exprimă acest număr

sub forma trigonometrica modulul

numărului complex 1 este egal cu

radical din 1 la pătrat plus minus

1 la pătrat și egal cu radical

din 2 am găsit modul și acum trebuie

să găsim argumentul redus al numărului

complex pentru aceasta mai întâi

voi reprezenta grafic imaginea

geometrică a numărului complex

observăm că imaginea geometrică

este un punct din cadranul 4 argumentul

redus este unghiul t cel evidențiat

cu albastru să scriem că argumentul

numărului complex z este egal cu

t iar te va fi egal cu 2 pi minus

Alfa unde Asta este unghiul acesta

evidențiat cu roz mai întâi voi

calcula tangenta unghiului Alfa

tangentă de Alfa este 1 supra 1

adică 1 obținem Alfa egal arctangenta

de 1 și egal cu pi supra 4 sau

altfel se poate observa ușor că

acest triunghi dreptunghic este

isoscel în consecință unghiul Alfa

are măsura egală cu 45 de grade

dacă Alfa este pi supra 4 atunci

te va fi egal cu 2 pi minus pi

supra 4 egal cu 7 pi supra 4 numărul

Complexul va avea formă trigonometrică

radical din 2 pe lângă cosinus

de 7 pi pe 4 plus sinus de 7 pi

supra 4 pentru a calcula 10 la

puterea 32 mai întâi calculăm la

puterea 32 pula 32 va fi egal cu

radical din 2 la puterea 32 pe

lângă cosinus de 32 ori 7 pi supra

4 aici aplicăm formula lui moivre

plus e sinus de 32 ori 7 pi supra

4 egal radical din 2 la 32 se poate

scrie radical din 2 la a doua totul

ridicat la puterea 16 pe lângă

cosinus aici simplificăm cu 4 ne

dă 8 7 ori 8 este 56 pai plus e

sinus de 56 pi egal cu 2 la puterea

16 pe lângă 56 pai este un multiplu

par de pin în consecință cosinus

de 56 fi va fi egal cu cosinus

de 0 iar sinus de 56 pi este de

asemenea egal cu sinus de 0 dar

cosinus de 0 este 1 plus e ori

sinus de 0 este egal cu 0 obținem

în final 2 la puterea 16 și acum

să revenim la zet 10 la puterea

32 este egal cu 1 supra 2 la puterea

a 32 ori la 32 egal cu 1 supra

2 la 32 înmulțit cu 2 la puterea

16 egal cu 1 supra 2 la puterea

16