Va rugam dezactivati programul ad block pentru a vizualiza pagina!

Cumpara abonament!
Plateste cu PayPal

Ridicarea la putere a unei matrice

Partajeaza in Google Classroom

Partajeaza cu Google Classroom
Susține Lectii-Virtuale!
Pentru a putea vizualiza un video va rugam sa va logati aici! Daca nu aveti cont va puteti inregistra apasand aici.
10 voturi 372 vizionari
Puncte: 10

Transcript



știm deja Ce înseamnă puterea unui

număr real cu exponent număr natural

sau întreg adică a la puterea n

este a Ura a Ura a de nori pentru

orice număr natural nenul și orice

număr are el iar a la puterea minus

n este egal cu 1 supra a la n pentru

orice n număr natural nenul și

a număr real nenul ce ar putea

însemna puterea unei Matrice Fie

a o matrice de tip m n cute elemente

în mulțimea numerelor complexe

prin a pătrat am înțelege în aceeași

manieră matricea a multă cu matricea

dar matricea are m linii și n coloane

ne amintim regula că numărul de

coloane al primului Factor trebuie

să fie egal cu numărul de linii

al celui de al doilea factor de

ducem de aici egalitatea m egal

cu n cu alte cuvinte puterea unei

Matrice poate fi calculată doar

pentru Matrice patratice fi acum

o matrice pătratică de ordinul

n cu de elemente mulțimea numerelor

complexe prin a la puterea 0 înțelegem

Matrice unitate de ordin n prin

a la puterea 1 înțelegem evidentă

matricea a prin a la puterea a

doua a înțelegem matricea a înmulțită

cu matricea acum operația de înmulțire

a matricelor este asociativă putem

defini și a la puterea a ca ca

fiind produsul dintre ei cu ea

însăși de ca ori pentru orice ca

număr natural nenul dacă matricea

a este pătrat e că de ordinul doi

cu aceste elemente matricea a la

pătrat înseamnă matricea a înmulțită

cu ea însăși adică 2 înmulțit cu

2 plus 4 înmulțit cu minus 1 plus

2 înmulțit cu 4 plus 4 înmulțit

cu 0 plus minus 1 înmulțit cu 2

plus zero înmulțit în minus minus

1 ori 4 plus zero zero adică patru

minus patru minus 2 plus 0 8 plus

0 minus 4 plus zero adică matricea

0 8 minus 2 minus 4 pentru calculul

matricei a la puterea a treia calculăm

produsul a la a doua ori a adică

0 înmulțit cu 2 plus 8 înmulțit

cu minus 1 zero înmulțit cu 4 plus

8 înmulțit cu 0 minus 2 înmulțit

cu 2 plus minus 4 mulți cu minus

1 minus 2 înmulțit cu 4 plus minus

4 înmulțit cu 0 adică matricea

0 plus minus 8 minus 8 0 plus 0

0 minus 4 plus 4 0 minus 8 plus

0 minus 8 același lucru la fi obținut

dacă am fi calculat a la a treia

egal cu a ori a la pătrat în baza

proprietății de asociativitate

a înmulțirii să vedem acum ce reguli

de calcul are Puterea unei Matrice

dacă înmulțim alaca cu matricea

a la puterea 7 obținem a înmulțită

cu ea însăși de ca ori înmulțit

cu matricea a înmulțită cu ea însăși

de pe ori adică obținem produsul

a înmulțit cu ei de cap las pe

ori adică matricea a la puterea

ca plus pe O primă regulă de calcul

este a la puterea a ca înmulțit

cu a la puterea b este egal cu

a la puterea a plus pe pentru orice

Matrice a pătratică de ordinul

n și orice numere naturale ca apa

și pe să vedem acum cum ridicăm

la putere o altă putere a unei

matrici Dacă vom calcula Ela ca

totul la puterea pe obținem produsul

Ela ca o reala ca orala ca de pe

ori adică a la puterea ca plus

ca plus ca de pe ori adică matricea

a la puterea ca înmulțit cu pe

obținem Așadar o a doua regulă

de calcul și anume matricea a la

puterea ca totul la puterea b este

egal cu a la puterea ca Power pentru

orice Matrice a pătratică de ordinul

n și orice ca și pe numere naturale

să calculăm acum suma a plus b

totul la puterea a doua acest lucru

este egal cu a plus b înmulțit

cu suma a plus b Aplicând acum

distributivitatea înmulțirii față

de adunare ma aici lor obținem

a Ura a pătrat a ori b plus b ori

A și plus pe ori b adică b la puterea

a doua dacă în plus matricele a

și b sunt pătratice de ordinul

n și a ori b este egal cu b o rea

atunci suma a plus b la puterea

a doua devine a la a doua plus

doi a b plus b la pătrat iar produsul

a la puterea M înmulțit cu B la

puterea b este egal cu b la puterea

pe înmulțit cu A la puterea M oricare

ar fi m și p numere naturale nenule

în același timp are loc și relația

a plus b totul la puterea b este

egal cu combinari de pe luate câte

0 înmulțit cu a la puterea b plus

combinari de pe luate câte unul

ori a la puterea b minus 1 ori

B plus combinari de pe luate câte

2 ori a la puterea pe minus 2 ori

b la a doua plus combinari de 3

luate câte pe minus 1 ori a mulți

cu b la puterea pe minus 1 plus

combinari de pe luate câte pe ori

b la puterea pe sau putem Rescrie

această expresie și sub formă a

sumei suma după e de la zero la

pe din combinari de pe luate câte

ori a la puterea pe minus a înmulțit

cu B la puterea a pentru orice

pe număr natural nenul formulă

cunoscută și sub numele de formula

binomului lui Newton pentru Matrice

fi acum o matrice a pătratică de

ordinul doi cu elemente în mulțimea

numerelor complexe să calculăm

expresia a la puterea a doua minus

a plus b totul înmulțit cu a plus

a ori d minus b ori c înmulțit

cu e doi pentru acest lucru vom

Începe prin a calcula am ala a

doua adică a la puterea a doua

plus b înmulțit cu c a ori b plus

b ori d ce ori a plus b ori c c

ori b plus de la pătrat vom calcula

apoi matricea a plus de înmulțit

cu ei adică matricea a la a doua

plus aur de a b plus b d ace plus

DC ad plus de la a doua și În sfârșit

matricea a ori d minus b ori c

totul înmulțit cu e doi adică a

d n s b c 0 0 a d minus b c înlocuind

acum în relația a la a doua minus

a plus de înmulțit cu a plus a

ori b minus b c mulți tcu e 2 obținem

a la a doua plus b c a d plus b

d c a plus b c si b plus de la

a doua minus matricea a la a doua

plus ad a b plus b d a c plus c

d a d plus de la a doua plus matricea

a de a minus b c 0 0 a d minus

b c va mai efectua întâi scăderea

primelor două Matrice și anume

a la a doua plus b c minus a la

a doua plus a d a b plus b d minus

a b plus b d si a plus b c minus

a c plus de ce Ce b plus de la

a doua minus ad plus de la a doua

plus matricea a de minus b c 0

0 a d minus b c este egal cu matricea

b c minus a d 0 0 b c minus a d

plus matricea a d minus b c 0 0

a d minus b c obținem Așadar matricea

zero zero zero zero adică matricea

nulă regăsim astfel formula a la

a doua minus a plus de înmulțit

cu a plus a d minus De ce mulți

cu i2 egal cu O2 pentru orice Matrice

de tipul a b c d relație cunoscută

sub numele de relația lui Hamilton

cayley am văzut că a la puterea

n se calculează întocmai ca puterea

unui număr real cu exponent natural

putem defini Însă matricea a la

minus 1 a la minus 2 vom vedea

la capitolul Matrice inversabile

pentru ce tipuri de Matrice putem

construi matricea a la minus 1

a la minus 2 și cum le putem calcula

Teorie- puterea unei matrice pătraticeAscunde teorie X

begin mathsize 14px style D e f i n i ț i e. space F i e space A element of calligraphic M subscript n left parenthesis straight complex numbers right parenthesis. space A to the power of 0 equals I subscript n comma space A to the power of 1 equals A comma space A squared equals space A times A comma space A to the power of n equals stack stack A times A times... A with underbrace below with n space o r i below comma space n element of straight natural numbers to the power of asterisk times. end style

Reguli de calcul

begin mathsize 14px style 1. space A to the power of k times A to the power of p equals A to the power of k plus p end exponent comma space for all space A comma B element of calligraphic M subscript n left parenthesis straight complex numbers right parenthesis comma space k comma p element of straight natural numbers
end style

begin mathsize 14px style 2. space left parenthesis A to the power of k right parenthesis to the power of p equals A to the power of k p end exponent comma space for all A element of calligraphic M subscript n left parenthesis straight complex numbers right parenthesis comma space k comma p element of straight natural numbers. end style

begin mathsize 14px style 3. space left parenthesis A plus B right parenthesis squared equals A squared plus A B plus B A plus B squared comma space for all A comma B element of calligraphic M subscript n left parenthesis C right parenthesis. end style

begin mathsize 14px style 3 to the power of apostrophe. space D a c ă space n greater or equal than 2 comma space n element of straight natural numbers comma space space A comma B element of calligraphic M subscript n left parenthesis straight complex numbers right parenthesis comma space space A B equals B A comma space space left parenthesis A plus B right parenthesis squared equals A squared plus 2 A B plus B squared. end style

begin mathsize 14px style 3 to the power of apostrophe apostrophe end exponent. space D a c ă space n comma p greater or equal than 2 comma space n comma p element of straight natural numbers comma space space A comma B element of calligraphic M subscript n left parenthesis straight complex numbers right parenthesis comma space space A B equals B A comma space space space left parenthesis A plus B right parenthesis to the power of p equals stack sum space with k equals 0 below and p on top C subscript p superscript k A to the power of p minus k end exponent B to the power of k. end style

(Formula binomului lui Newton pentru matrice)

begin mathsize 14px style 4. space D a c ă space m comma n comma p greater or equal than 2 comma space m comma n comma p element of straight natural numbers comma space space A comma B element of calligraphic M subscript n left parenthesis straight complex numbers right parenthesis comma space space A B equals B A comma space space A to the power of m B to the power of p equals B to the power of p A to the power of m. end style

begin mathsize 14px style space D a c ă space A equals open parentheses table row a b row c d end table close parentheses element of calligraphic M subscript 2 left parenthesis straight complex numbers right parenthesis comma space a t u n c i space A squared minus left parenthesis a plus d right parenthesis A plus left parenthesis a d minus b c right parenthesis I subscript 2 equals O subscript 2. space left parenthesis R e l a ț i a space l u i space H a m i l t o n minus space C a y l a y right parenthesis end style

Cumpara abonament
Plătește cu PayPal

Ajutor
Feedback-ul d-voastră este important pentru noi. Dacă observați vreo neregulă vă rugăm să ne-o semnalați apăsând butonul Trimite Feedback de mai jos.

Despre Lecții-Virtuale.ro

Lecții-Virtuale este o platformă educațională care oferă suport în vederea pregătirii pentru Evaluare Națională și Bacalaureat la Matematică, Fizică și Chimie. Lecțiile noastre sunt alcătuite din filme și exerciții și probleme cu tot cu rezolvări. Platforma noastră este o soluție ideală pentru școala online. Pentru facilitarea activității profesorilor în cadrul ecosistemului GSuite de la Google am implementat butonul Google Classroom. Scopul nostru este să ne concentrăm pe prezentarea noțiunilor și fenomenelor într-o manieră care să stimuleze înțelegerea și nu memorarea mecanică. Ne propunem să facilităm accesul la conținut educațional de calitate mai ales elevilor cu venituri mai modeste care nu își pemit meditații particulare. Sperăm să vă simțiti bine alături de noi și să invățați lucruri folositoare. Hai România!

Newsletter

Abonează-te la Newsletter pentru a fi la curent cu toate ofertele noastre.

Parteneri

EduApps partener Lectii Virtuale UiPath partener Lectii Virtuale Scoala365 partener Lectii Virtuale CCD Galați partener Lectii Virtuale

2021 © Lecții-virtuale.ro Toate drepturile rezervate
Termeni   Despre   Contact   Confidenţialitate   Cariere Parteneri