Ridicarea la putere a unei matrice
Tag-uri
Partajeaza in Google Classroom

Transcript
știm deja Ce înseamnă puterea unui
număr real cu exponent număr natural
sau întreg adică a la puterea n
este a Ura a Ura a de nori pentru
orice număr natural nenul și orice
număr are el iar a la puterea minus
n este egal cu 1 supra a la n pentru
orice n număr natural nenul și
a număr real nenul ce ar putea
însemna puterea unei Matrice Fie
a o matrice de tip m n cute elemente
în mulțimea numerelor complexe
prin a pătrat am înțelege în aceeași
manieră matricea a multă cu matricea
dar matricea are m linii și n coloane
ne amintim regula că numărul de
coloane al primului Factor trebuie
să fie egal cu numărul de linii
al celui de al doilea factor de
ducem de aici egalitatea m egal
cu n cu alte cuvinte puterea unei
Matrice poate fi calculată doar
pentru Matrice patratice fi acum
o matrice pătratică de ordinul
n cu de elemente mulțimea numerelor
complexe prin a la puterea 0 înțelegem
Matrice unitate de ordin n prin
a la puterea 1 înțelegem evidentă
matricea a prin a la puterea a
doua a înțelegem matricea a înmulțită
cu matricea acum operația de înmulțire
a matricelor este asociativă putem
defini și a la puterea a ca ca
fiind produsul dintre ei cu ea
însăși de ca ori pentru orice ca
număr natural nenul dacă matricea
a este pătrat e că de ordinul doi
cu aceste elemente matricea a la
pătrat înseamnă matricea a înmulțită
cu ea însăși adică 2 înmulțit cu
2 plus 4 înmulțit cu minus 1 plus
2 înmulțit cu 4 plus 4 înmulțit
cu 0 plus minus 1 înmulțit cu 2
plus zero înmulțit în minus minus
1 ori 4 plus zero zero adică patru
minus patru minus 2 plus 0 8 plus
0 minus 4 plus zero adică matricea
0 8 minus 2 minus 4 pentru calculul
matricei a la puterea a treia calculăm
produsul a la a doua ori a adică
0 înmulțit cu 2 plus 8 înmulțit
cu minus 1 zero înmulțit cu 4 plus
8 înmulțit cu 0 minus 2 înmulțit
cu 2 plus minus 4 mulți cu minus
1 minus 2 înmulțit cu 4 plus minus
4 înmulțit cu 0 adică matricea
0 plus minus 8 minus 8 0 plus 0
0 minus 4 plus 4 0 minus 8 plus
0 minus 8 același lucru la fi obținut
dacă am fi calculat a la a treia
egal cu a ori a la pătrat în baza
proprietății de asociativitate
a înmulțirii să vedem acum ce reguli
de calcul are Puterea unei Matrice
dacă înmulțim alaca cu matricea
a la puterea 7 obținem a înmulțită
cu ea însăși de ca ori înmulțit
cu matricea a înmulțită cu ea însăși
de pe ori adică obținem produsul
a înmulțit cu ei de cap las pe
ori adică matricea a la puterea
ca plus pe O primă regulă de calcul
este a la puterea a ca înmulțit
cu a la puterea b este egal cu
a la puterea a plus pe pentru orice
Matrice a pătratică de ordinul
n și orice numere naturale ca apa
și pe să vedem acum cum ridicăm
la putere o altă putere a unei
matrici Dacă vom calcula Ela ca
totul la puterea pe obținem produsul
Ela ca o reala ca orala ca de pe
ori adică a la puterea ca plus
ca plus ca de pe ori adică matricea
a la puterea ca înmulțit cu pe
obținem Așadar o a doua regulă
de calcul și anume matricea a la
puterea ca totul la puterea b este
egal cu a la puterea ca Power pentru
orice Matrice a pătratică de ordinul
n și orice ca și pe numere naturale
să calculăm acum suma a plus b
totul la puterea a doua acest lucru
este egal cu a plus b înmulțit
cu suma a plus b Aplicând acum
distributivitatea înmulțirii față
de adunare ma aici lor obținem
a Ura a pătrat a ori b plus b ori
A și plus pe ori b adică b la puterea
a doua dacă în plus matricele a
și b sunt pătratice de ordinul
n și a ori b este egal cu b o rea
atunci suma a plus b la puterea
a doua devine a la a doua plus
doi a b plus b la pătrat iar produsul
a la puterea M înmulțit cu B la
puterea b este egal cu b la puterea
pe înmulțit cu A la puterea M oricare
ar fi m și p numere naturale nenule
în același timp are loc și relația
a plus b totul la puterea b este
egal cu combinari de pe luate câte
0 înmulțit cu a la puterea b plus
combinari de pe luate câte unul
ori a la puterea b minus 1 ori
B plus combinari de pe luate câte
2 ori a la puterea pe minus 2 ori
b la a doua plus combinari de 3
luate câte pe minus 1 ori a mulți
cu b la puterea pe minus 1 plus
combinari de pe luate câte pe ori
b la puterea pe sau putem Rescrie
această expresie și sub formă a
sumei suma după e de la zero la
pe din combinari de pe luate câte
ori a la puterea pe minus a înmulțit
cu B la puterea a pentru orice
pe număr natural nenul formulă
cunoscută și sub numele de formula
binomului lui Newton pentru Matrice
fi acum o matrice a pătratică de
ordinul doi cu elemente în mulțimea
numerelor complexe să calculăm
expresia a la puterea a doua minus
a plus b totul înmulțit cu a plus
a ori d minus b ori c înmulțit
cu e doi pentru acest lucru vom
Începe prin a calcula am ala a
doua adică a la puterea a doua
plus b înmulțit cu c a ori b plus
b ori d ce ori a plus b ori c c
ori b plus de la pătrat vom calcula
apoi matricea a plus de înmulțit
cu ei adică matricea a la a doua
plus aur de a b plus b d ace plus
DC ad plus de la a doua și În sfârșit
matricea a ori d minus b ori c
totul înmulțit cu e doi adică a
d n s b c 0 0 a d minus b c înlocuind
acum în relația a la a doua minus
a plus de înmulțit cu a plus a
ori b minus b c mulți tcu e 2 obținem
a la a doua plus b c a d plus b
d c a plus b c si b plus de la
a doua minus matricea a la a doua
plus ad a b plus b d a c plus c
d a d plus de la a doua plus matricea
a de a minus b c 0 0 a d minus
b c va mai efectua întâi scăderea
primelor două Matrice și anume
a la a doua plus b c minus a la
a doua plus a d a b plus b d minus
a b plus b d si a plus b c minus
a c plus de ce Ce b plus de la
a doua minus ad plus de la a doua
plus matricea a de minus b c 0
0 a d minus b c este egal cu matricea
b c minus a d 0 0 b c minus a d
plus matricea a d minus b c 0 0
a d minus b c obținem Așadar matricea
zero zero zero zero adică matricea
nulă regăsim astfel formula a la
a doua minus a plus de înmulțit
cu a plus a d minus De ce mulți
cu i2 egal cu O2 pentru orice Matrice
de tipul a b c d relație cunoscută
sub numele de relația lui Hamilton
cayley am văzut că a la puterea
n se calculează întocmai ca puterea
unui număr real cu exponent natural
putem defini Însă matricea a la
minus 1 a la minus 2 vom vedea
la capitolul Matrice inversabile
pentru ce tipuri de Matrice putem
construi matricea a la minus 1
a la minus 2 și cum le putem calcula