Șiruri monotone (aplicații)

Haideți acum să facem un exercițiu

în care studiem monotonia unor

șiruri vă reamintesc că pentru

a studia monotonia unui șir Avem

două posibilități fie calculăm

Diferența a doi termeni consecutivi

comparăm cu 0 și calculăm raportul

la doi termeni consecutivi și îl

comparăm cu unu această a doua

modalitate se poate aplica numai

atunci când șirul are toți termenii

pozitivi Și începem cu punctul

A Avem un șir xn unde termenul

general este dat de Formula x n

egal cu n supra 3n plus 2 Haideți

să calculăm Diferența a doi termeni

consecutivi x 1 minus x n ca să

aflăm pe x n plus 1 în formula

termenului general o să înlocuim

pe n cu n plus 1 și obținem n plus

1 supra 3 pe lângă n plus 1 plus

2 minus n supra 3n plus 2 egal

n plus 1 supra 3n plus 5 minus

n supra 3n plus 2 aducem la numitor

comun amplificăm prima fracție

cu 3n plus 2 și a doua fracție

cu 3 ani plus cinci și obținem

în plus 1 pe lângă 3 n plus 2 minus

n pe lângă 3 n plus 5 totul supra

3n plus 5 pe lângă 3 n plus 2 egal

desfacem parantezele Avem 3 m pătrat

plus doi n plus 3 n este 5n plus

2 minus 3 n pătrat minus 5 n totul

supra 3n plus 5 pe lângă 3 n plus

2 egal se reduce 3n pătrat la fel

și 5n și obținem 2 supra 3n plus

5 pe lângă 3 n plus 2 Nu este cazul

să desfacem parantezele și la numitor

pe noi ne interesează doar semnul

acestei expresii din moment ce

e n este număr natural nenul această

fracție va fi pozitivă Așadar șirul

x n este un șir strict crescător

continuăm cu punctul b la punctul

B avem șirul x n unde termenul

general este dat de Formula an

plus 5 supra m pătrat plus 1 Haide

să calculăm și de data aceasta

diferența x n plus 1 minus x n

egal Înlocuim pe r cu r plus 1

și obținem n plus 1 plus 5 supra

n plus 1 totul la pătrat plus 1

minus m plus 5 supra m pătrat plus

1 egal în plus 6 supra n pătrat

plus doi n plus unu plus unu adică

plus 2 minus n plus 5 supra n pătrat

plus 1 egal aducem la numitor comun

amplificăm cu n pătrat plus 1 și

aici amplificăm cu n pătrat plus

doi n plus 2 egal un plus 6 pe

lângă n pătrat plus 1 minus m plus

5 pe lângă n pătrat plus doi n

plus 2 totul supra m pătrat plus

doi n plus 2 pe lângă n pătrat

plus 1 egal voi continua mai jos

desfacem parantezele avem n la

puterea a treia plus n plus 6 n

pătrat plus 6 minus aici avem minus

în fața acestor paranteze Deci

toți termenii vor avea semnul minus

idila a treia minus 2 n pătrat

minus 2 n minus 5 n pătrat minus

10 n minus 10 totul supra m pătrat

plus 2 n plus 2 pe lângă n pătrat

plus 1 egal se reduce aer la a

treia cu minus n la a treia apoi

6n la a doua minus 2x la a doua

este 4 n la a doua minus 5 L la

a doua este minus n la pătrat minus

2 n este minus n minus 10 n minus

11 n 6 minus 10 minus 4 totul supra

n pătrat plus doi n plus doi pe

lângă m pătrat plus 1 egal putem

să scrie pe minus în fața liniei

de fracție și avem n la a doua

plus 11 n plus 4 supra n la a doua

plus doi n plus doi pe lângă n

la a doua plus 1 această fracție

este pozitivă și cu minus surzi

față la fi negativă oricare ar

fi n număr natural nenul Așadar

șirul nostru x n este strict descrescător

întrucât Diferența a doi termeni

consecutivi este întotdeauna negativă

pentru orice număr natural nenul

continuăm cu punctul c avem șirul

x n egal cu n supra 3 la puterea

n Haide de data aceasta să calculăm

raportul la doi termeni consecutivi

se poate observa că acest șir are

toți termenii pozitivi n este număr

natural de 3 la puterea n va fi

număr natural prin urmare toată

această fracție va fi număr pozitiv

Marcu lemn Așadar raportul x n

plus 1 supra x n egal ca să nu

lucrăm cu fracție supraetajată

o să îl scriu mai întâi pe x n

plus 1 n plus 1 supra 3 la puterea

n plus 1 ori investesc cea de a

doua fracție 3 la n supra n egal

3 la n plus 1 se simplifică cu

3 la n și de rămâne un trei obținem

n plus 1 supra 3n Aceasta este

o fracție subunitară pentru că

m plus 1 este mai mic decât 3n

putem chiar să verificăm acest

lucru n plus 1 este mai mic decât

3n trecem toți termenii intru în

membru obținem 2n minus unu mai

mare strict decât 0 oricare ar

fi n număr natural nenul Aceasta

este o relație adevărată Iată pentru

n egal cu 1 Avem doi minus unu

unu Deci mai mare decât 0 Așadar

raportul dintre doi termeni consecutivi

este mai mic decât 1 prin urmare

șirul x n este un șir strict descrescător

în general această metodă de a

studia monotonia unui șir este

practică atunci când an apare la

exponent ca să putem face aceste

simplificări continuăm cu punctul

de șirul xn are formula termenului

general suma k de la 1:00 și până

la n din 1 supra 4 la puterea k

plus 1 calculăm diferența x n plus

1 minus x n Dacă x este o sumă

de n termeni atunci x n plus unu

va fi o sumă de n plus 1 termeni

Așadar formula termenului de rang

n plus 1 va fi suma k de la 1 până

la n plus 1 din 1 supra 4 la k

plus 1 minus Sumac apa de la 1

și până la n din 1 supra 4 la k

plus 1 egal această sumă de n plus

1 termeni se mai poate scrie și

astfel sumă k egal 1 până la n

din 1 supra 4 la k plus unu Deci

până aici avem suma primilor n

termeni la care se mai adaugă ultimul

termen Iar acest ultim termen se

obține înlocuind pe k cu n plus

unu și avem 1 supra 4 la n plus

unu plus unu Deci până aici Am

scris prima sumă aceasta și urmează

minus suma k de la 1 și până la

n din 1 supra 4 la k plus 1 egal

aceste două sume se reduc și ne

mai rămâne termenul 1 supra 4 la

puterea n plus unu plus unu care

se mai poate scrie 1 supra 4 ori

4 la n plus 1 in c n este număr

natural nenul această fracție este

întotdeauna pozitivă oricare ar

fi n număr natural nenul Așadar

șirul x n este strict crescător