Sisteme de ecuații simetrice

vom vorbi în această Lecție despre

a sisteme simetrice mai întâi Haideți

să vedem Ce înțelegem prin intru

ecuație simetrică Să privim puțin

aceste Două ecuații cu două necunoscute

Iată prima ecuație 2x plus 7 x

y plus 2y egal cu 10 Haideți să

înlocuim necunoscuta x cu y și

pe y înlocuind necunoscuta x cu

y obținem aceeași ecuație acestea

sunt două exemple de ecuații simetrice

însă următoarea ecuație 3 plus

x minus y egal cu 0 nu este ecuația

simetrică deoarece în acest caz

necunoscutele x și y au semne contrare

având în vedere că o ecuație simetrică

nu se schimbă când Înlocuim pe

x cu y rezultă cu 8 c soluție de

forma x 0 y 0 va conduce automat

la o a doua soluție de forma 0

0 și acum Haideți să discutăm despre

sisteme simetrice un sistem de

ecuații se numește Simetric dacă

este format din ecuații simetrice

Iată un exemplu de sistem Simetric

x plus y egal cu o valoare s și

x ori y egal cu p acesta este cel

mai simplu sistem Simetric și se

numește sistem Simetric fundamental

rezolvarea sistemelor simetrice

se reduce la rezolvarea a sistemului

Simetric fundamental pentru a rezolva

acest sistem vom utiliza ecuația

de gradul al doilea când se cunosc

suma și produsul rădăcinilor vom

forma Așadar o ecuație de gradul

al doilea cu necunoscuta aceasta

va fi tot pătrat minus este plus

p egal cu 0 având ca rădăcini x

și y unde este suma rădăcinilor

iar pe este produsul rădăcinilor

dacă Delta este pozitiv obținem

două soluții T1 și T2 prin urmare

soluția sistemului Simetric va

fi următoarea x egal cu 1 și y

egal cu T2 dar așa cum spuneam

mai devreme vom avea și soluția

x egal cu 2 respectiv y egal cu

1 prin urmare soluția sistemului

Simetric va fie mulțimea perechilor

de forma t1 t2 respectiv T2 T1

în continuare vom rezolvat câteva

exemple Iată un prim sistem Simetric

x plus y egal cu minus 4 și x si

y egal cu 3 observăm Așadar că

suma rădăcinilor este minus 4 iar

produsul este 3 9 forma Așadar

ecuația de gradul al doilea cu

necunoscut acte și avem te pătrat

minus este plus p f egal 0t pătrat

minus minus 4 este plus 4 plus

3 egal cu 0 Delta este b pătrat

minus patru Ace 4 la a doua minus

4 ori 1 ori 3 16 minus 12 patru

unu este minus b plus radical din

Delta supra 2-a minus 4 plus 2

pe 2 și egal cu minus unu iar T2

va fi minus 4 minus 2 supra 2 egal

cu minus 3 prin urmare sistemul

Simetric va avea soluția x egal

cu minus 1 și y egal cu minus 3

respectiv x egal cu minus trei

și y egal cu minus unu mai putem

scrie soluția sub forma aceasta

este egal mulțimea perechilor minus

1 minus 3 și minus 3 minus 1 în

al doilea exemplu avem următorul

sistem x pătrat plus pătrat egal

cu 13 și x y egal cu minus 6 în

acest caz cunoaștem produsul x

si y egal cu minus 6 însă nu cunoaștem

suma rădăcinilor va trebuie Așadar

să exprimăm această sumă x pătrat

plus y pătrat cu ajutorul sumei

x plus y pentru aceasta vom folosi

formula de calcul prescurtat x

plus y totul la pătrat egal cu

x la a doua plus y la a doua plus

2x y Deci s la pătrat va fi egal

cu x pătrat plus pătrat plus 2

pe de aici exprimăm x la a doua

plus y la a doua și obținem esti

pătrat minus 2 pe este bine să

rețineți această formulă pentru

că se va folosi destul de des în

rezolvare a sistemelor simetrice

și acum număr scrie acest sistem

cu ajutorul necunoscutelor esti

și pe prima ecuație se va scrie

s pătrat minus 2 pe egal cu 13

și pe egal cu minus 6 înlocuind

valoarea lui pi în prima ecuație

și obținem sistemul s pătrat minus

2 ori minus 6 plus 12 egal cu 13

și pe egal cu minus 6 aici avem

s pătrat egal cu unu și pe egal

cu minus 6 prima ecuație are două

soluții unu și minus unu prin urmare

acest sistem va fi echivalente

cu Reuniunea următoarelor sisteme

este egal cu 1 și pe egal cu minus

6 este egal cu minus 1 și b egal

cu minus 6 să notăm aceste sisteme

cu S1 și S2 pentru fiecare sistem

în parte vom forma ecuația de gradul

al doilea cu necunoscuta te în

cazul primului sistem avem t pătrat

minus este plus b egal cu 0 D pătrat

minus minus 6 egal cu 0 Delta este

b pătrat minus patru ace 1 minus

patru ori minus 6 și egal cu 25

unul la minus b plus radical din

Delta supra 2-a 1 plus 5 pe 2 egal

cu 3 pe 2 va fi minus b radical

din Delta supra 2-a 1 minus 5 pe

2 egal cu minus 2 de sistemul S1

va avea următoarea soluție pe care

o să notez cu S1 avem perechile

3 minus 2 și minus 2 3 acum rezolva

al doilea sistem S2 vom scrie ecuația

de gradul al doilea de pătrat minus

este plus b egal cu 0 D pătrat

plus pe minus 6 egal cu 0 Delta

va fi b pătrat minus 4 1 minus

4 ori minus 6 egal cu 25 de 1 este

minus b plus radical din Delta

supra 2-a minus 1 plus 5 pe 2 egal

cu 2 și 3 2 va fi minus 1 minus

5 supra 2 și egal cu minus 3 prin

urmare sistemul S2 va avea soluția

mulțimea perechilor 2 minus 3 și

minus 3 2 spuneam mai devreme că

sistemul inițial este echivalent

cu Uniunea celor două sisteme prin

urmare soluția finală va fi mulțimea

perechilor 3 minus 2 minus 2 3

2 minus trei și minus trei doi

și un ultim exemplu avem următorul

sistem x y plus x plus y egal cu

minus 1 și 2 x pătrat plus 2 x

pătrat minus x y egal cu 30 m să

rescriem acest sistem cu ajutorul

necunoscutelor s și p prima ecuație

va fi pe plus S egal cu minus 1

în a doua ecuație de factor comun

pe 2 avem 2 pe lângă x pătrat plus

pătrat dar x pătrat plus y pătrat

este egal cu x pătrat minus 2 pe

prin urmare în paranteză vom avea

s pătrat minus 2 pe minus b egal

cu 30 pe va fi egal cu minus 1

minus s Hai desfacem parantezele

Avem doi s pătrat minus 4 pe minus

pe este minus 5 pe minus 30 egal

cu 0 echivalent pe egal cu minus

1 minus s2s pătrat minus 5 pe lângă

minus 1 minus folosim metoda substituției

minus 30 egal cu 0 în a doua ecuație

desfacem paranteza copiem prima

ecuație pe egal cu minus 1 minus

s2s pătrat plus 5 plus 5 S minus

30 egal cu 0 este egal cu minus

1 minus s 2x pătrat plus 5s Minus

25 egal cu 0 numere zoll vă a doua

ecuație Aceasta este o ecuație

de gradul doi cu necunoscuta s

o să mai copieze încă o dată 2s

pătrat plus 5s Minus 25 egal cu

0 Delta este b pătrat Dică 5 la

a doua minus 4 ori 2 ori minus

25 egal cu 25 plus 8 ori 25 este

egal cu 200 și egal continuare

cu 225 1 este minus b plus radical

din Delta supra 2-a adică minus

5 plus radical din 225 este 15

supra 2 ori 2 egal cu 10 supra

4 și egal cu 5 pe 2 S2 va fi egal

cu minus 5 minus 15 supra 4 minus

20 supra 4 egal cu minus 5 am obținut

Așadar două valori posibile pentru

s pe este egal cu minus 1 minus

esti prin urmare vom avea pe unu

egal cu minus 1 minus 1 pe 1 va

fi minus 1 minus 5 pe 2 și egal

cu minus 7 supra 2 iar pe 2 este

minus 1 minus 2 pe 2 este egal

cu minus 1 minus minus 5 Deci plus

5 și egal cu 4 prin urmare sistemul

Simetric va fi echivalent cu Reuniunea

următoarelor sisteme f1 egal cu

5 pe doi și pe unu egal cu minus

7 supra 2 acesta va fi sistemul

S1 și al doilea sistem format din

ecuațiile F2 egal cu minus 5 și

pe 2 egal cu patru pentru fiecare

sistem în parte vom scrie ecuația

de gradul al doilea cu necunoscut

acte pătrat minus este plus p egal

cu 0 te pătrat minus 5 supra 2

minus 7 supra 2 egal cu 0 Delta

este minus 5 pe 2 la pătrat minus

4 ori minus 7 pe 2 și egal cu 2

și 5 supra 4 plus 28 pe 2 28 O2

este 56 plus 25 egal cu 81 supra

4 1 este 5 pe 2 plus radical din

Delta 9 pe 2 totul supra 2 egal

cu 14 supra 2 supra 2 adică 14

supra 4 egal cu 7 pe 2 iar cei

doi va fi egal cu 5 supra 2-a minus

nouă pe 2 totul supra 2 egal cu

minus 4 pe 4 și egal cu minus 1

bă scrie mai târziu soluția primului

sistem trecem acum la sistemul

S2 pe urmă am și aici ecuația te

pătrat minus este plus b egal cu

0 de pătrat minus minus 5 plus

500 plus 4 egal cu 0 Delta este

5 la a doua minus 4 x 4 25 minus

16 egal 9 1 este minus 5 plus radical

din 9 3 supra 2 minus 2 pe 2 minus

1 pe 2 va fi minus 5 minus 3 pe

2 minus 8 pe 2 egal minus 4 să

scriem așa dar cele două soluții

soluția sistemului S1 este mulțimea

perechilor 7 pe 2 minus unu și

minus unu șapte pe doi iar pentru

sistemul S2 avem soluția S2 mulțimea

perechilor minus 1 minus 4 și minus

4 minus 1 soluția sistemului inițial

va fi Reuniunea celor două mulțimi

și vom avea mulțimea perechilor

7 pe 2 minus 1 minus 1 7 pe 2 minus

1 minus 4 și minus 4 minus 1