Suma masurilor unghiurilor unui triunghi. Unghi exterior unui triunghi

proprietăți ale triunghiurilor

oarecare mai întâi o să discutăm

despre suma măsurilor unghiurilor

unui triunghi avem următoarea teoremă

suma măsurilor unghiurilor unui

triunghi este de 180 de grade fiind

dat un triunghi oarecare abc atunci

măsura unghiului a plus măsura

unghiului B măsura unghiului c

va fi egală cu 180 de grade bun

demonstra ceastă teoremă Dar mai

întâi nu face o construcție ajutătoare

o să ducem prin a o paralelă la

dreapta BC pe care am notată cu

m n Fie m n paralelă cu b c Dacă

dreptele MN și BC sunt paralele

și Considerăm dreapta AB o secantă

a acestora sau Formați de o parte

și de alta a secantei două unghiuri

alterne interne congruente acestea

sunt unghiurile m AB și abc Așadar

Dacă AB este o secantă A rezultat

că unghiul m a b este congruent

cu unghiul abc fiind unghiuri alterne

interne Dacă MN și BC sunt paralele

și Considerăm o altă secantă dreapta

AC sa format o nouă pereche de

unghiuri alterne interne congruente

este vorba de unghiurile m a c

și ACB dacă MN este paralelă cu

bc iar AC este secantă A rezultat

că unghiul n a c este congruent

cu unghiul ACB fiind unghiuri alterne

interne putem observa că măsura

unghiului m a b plus măsura unghiului

BAC plus măsura unghiului n a c

este egală cu 180 de grade deoarece

aceste unghiuri formează împreună

unghiul alungit m a n așa dar voi

scrie că măsura unghiului m a b

plus măsura unghiului BAC plus

măsura unghiului n a c va fi egală

cu 180 de grade dar în loc de măsura

unghiului m ab Putem să scriem

măsura unghiului abc deoarece am

arătat că aceste două unghiuri

sunt congruente de cele vor avea

aceeași măsură Așadar scrie măsura

unghiului abc Plus măsura unghiului

BAC iar luăm pe măsura unghiului

n a ce mai scriem măsura unghiului

ACB deoarece am arătat ca aceste

unghiuri sunt congruente și dau

mai departe cu 180 de grade așadar

am arătat că În triunghiul ABC

măsura unghiului abc plus măsura

unghiului BAC și plus măsura unghiului

ACB este egală cu 180 de grade

această proprietate referitoare

la suma măsurilor unghiurilor unui

triunghi este valabilă pentru orice

triunghi în continuare o să discutăm

despre unghi exterior al unui triunghi

să ne reamintim Ce este un unghi

exterior Unghiul care este adiacent

și suplementar cu un unghi al unui

triunghi se numește unghi exterior

triunghiului de exemplu unghiul

acd va fi un unghi exterior triunghiului

ABC acesta este adiacent și suplementar

cu unghiul ACB avem și o teoremă

referitoare la Măsura unghiului

exterior al unui triunghi Măsura

unui unghi exterior al unui triunghi

este egală cu suma celor două unghiuri

ale triunghiului neadiacente cu

el mai exact măsura unghiului acd

va fi egală cu măsura unghiului

abc plus măsura unghiului BAC demonstrație

observăm că unghiurile acd și ACB

sunt suplementare și atunci Putem

să scriem că măsura unghiului acd

plus măsura unghiului ACB va fi

egală cu 180 de grade din această

relație exprima măsura unghiului

acd aceasta va fi egală cu 180

de grade minus măsura unghiului

ACB reținem această relație și

o notăm cu 1 în triunghiul ABC

știind că suma măsurilor unghiurilor

sale este de 180 de grade Așadar

măsura unghiului abc plus măsura

unghiului b a c plus măsura unghiului

ACB este egală cu 180 de grade

o fantă vreme pe care am demonstrat

o anterior din această relație

exprimăm suma primelor două măsuri

rezultă că măsura unghiului abc

plus măsura unghiului BAC a fi

egală cu 180 de grade minus măsura

unghiului ACB reținem și această

relație o notăm cu doi dacă ne

uităm la relațiile 1 și 2 observăm

că în membrul Drept avem aceeași

expresie și anume 180 de grade

minus măsura unghiului ACB înseamnă

că ai expresiile din membri stâng

ar fi și ele egale din relația

1 și 2 va rezulta că membrul stâng

al primei relații adică măsura

unghiului acd este egală cu măsura

unghiului abc plus măsura unghiului

BAC adică cu expresia din membrul

stâng al celei de a doua relații

așa dar am demonstrat cerință a

teoremei și anume măsura unghiului

ACB este egală cu suma măsurilor

unghiurilor neadiacente cu el în

continuare o să vedem o proprietate

referitoare la bisectoarea exterioară

a unui triunghi Dar mai întâi vom

defini bisectoarea exterioară bisectoarea

unui unghi exterior al unui triunghi

se numește bisectoarea exterioară

a triunghiului corespunzătoare

unghiului respectiv bisectoarea

interioară și cea exterioară a

unui unghi al triunghiului sunt

perpendiculare că avem un triunghi

oarecare abc unghiul acd este un

unghi exterior acestui triunghi

am construim bisectoarea interioară

și bisectoarea exterioară a acestui

unghi trebuie să arătăm că dreptele

Mc și MD sunt perpendiculare am

demonstrat ceastă teoremă Dar mai

întâi pentru a scrie mai ușor demonstrația

voi nota aceste patru unghiuri

care sau format cu 1 2 3 și 4 Așadar

în ipoteză Se știe că unghiul c

1 este congruent cu unghiul c 2

și unghiul c 3 este congruent cu

unghiul c 4 trebuie să arătăm că

m c este perpendiculară pe c n

demonstrație cele patru unghiuri

formează împreună un unghi alungit

b c d cu măsura de 180 de grade

așa dar putem să scriem că măsura

unghiului c 1 plus măsura unghiului

c 2 îți măsura unghiului c 3 și

plus măsura unghiului c patru va

fi egală cu 180 de grade dar măsura

unghiului 1 este egală cu măsura

unghiului c 2 deoarece este știe

în ipoteză că unghiurile C1 și

C2 sunt congruente Așadar în loc

de măsura unghiului c 1 voi scrie

măsura unghiului c 2 plus măsura

unghiului c 2 îți măsura unghiului

c 3 chiar în loc de măsura unghiului

c 4 Putem să scriem din nou măsura

unghiului c 3 deoarece aceste două

unghiuri sunt congruente egal mai

departe cu 180 de grade observăm

că măsura unghiului c 2 plus măsura

unghiului c 2 înseamnă 2 ori măsura

unghiului c 2 iar măsura unghiului

c 3 plus măsura unghiului c 3 este

egal cu 2 ori măsura unghiului

c 3 sigle mai departe cu 180 de

grade putem să dăm factor comun

pe 2 și obținem 2 pe lângă măsura

unghiului c 2 îți măsura unghiului

c 3 da mai departe cu 180 de grade

din această relație exprimăm suma

acestor două măsuri în împărțiri

egalitatea la doi în Eminem bre

și obținem că măsura unghiului

c 2 plus măsura unghiului c 3 a

fi egală cu 180 de grade împărțit

la 2 adică măsura unghiului c 2

plus măsura unghiului c 3 va fi

egală cu 90 de grade dar dacă ne

uităm pe figură măsura unghiului

c 2 plus măsura unghiului c 3 este

egală cu măsura unghiului m si

n așa dar am demonstrat că unghiul

m c n este un unghi drept Dacă

m c este perpendiculară pe c n

așadar am demonstrat această teoremă

având în vedere că măsura unghiului

c 2 plus măsura unghiului c 3 formează

măsura unghiului m c n și acesta

fiind unul în Drept ma rezultă

că m c este perpendiculară pe c

n în continuare o să discutăm despre

relații referitoare la laturile

și unghiurile unui triunghi oarecare

rețineți această teoremă întru

un triunghi unui unghi mai mare

i se opune o latură mai mare în

această figură observăm că cel

mai mic dintre cele trei unghiuri

este unghiul Ce înseamnă că cea

mai mică latură a triunghiului

va fi latura opusă unghiului c

adică ab pe care am notată cu litera

C mic următorul unghi ca mărime

este unghiul b acestuia i se opune

latura b mic adică AC iar cel mai

mare unghi al triunghiului este

unghiul a Louis se opune latura

bc înseamnă că bc va fi cea mai

mare latură a triunghiului Așadar

dacă avem această inegalitate referitoare

la măsurile unghiurilor unui triunghi

unghiul c este mai mic decât unghiul

b și mai mic decât unghiul a această

relație de inegalitate se păstrează

și în cazul laturilor care se opun

acestor unghiuri latura c mic va

fi mai mică decât latura b și mai

mică decât latura a și mai rețineți

încă o teoremă într un triunghi

lungimea unei laturi este mai mică

decât suma lungimilor celorlalte

două laturi adică latura bc este

mai mică decât suma laturilor ab

și ac prin aceasta înțelegând că

drumul cel mai scurt dintre două

puncte este linia dreaptă