Teorema fundamentală a asemănării (aplicații)

prima problemă Fie triunghiul ABC

și MN paralelă cu bc M aparține

laturii AB și N aparține laturii

AC Se știe că a m este egal cu

12 cm AC egal cu 16 cm MN egal

cu 10 cm și BC egal cu 20 cm Calculați

lungimea segmentelor a b b m a

n și m c dacă MN este paralelă

cu bc va rezulta din teoremă fundamentală

a asemănării că triunghiul a m

n este asemenea cu triunghiul abc

Maria amintesc enunțul teoremei

fundamentale a asemănării o paralelă

dusă la una din Laturile unui triunghi

formează un triunghi asemenea cu

cel dat Dacă triunghiul amn este

asemenea cu triunghiul ABC va rezultat

că laturile acestori două triunghiuri

sunt proporționale a m supra ab

este egal cu a n supra AC și anal

cu MN supra bc să înlocuim în această

relație lungimile cunoscute a m

este 12 Avem 12 supra ab egal cu

a n supra AC este 16 mn este 10

iar BC 20 ca să aflăm lungimea

segmentului AB egală în primul

raport cu ultimul 12 supra ab este

egal cu 10 supra 20 de aici rezultă

că ab este egal cu 12 ori 20 supra

10 se simplifică 20 cu 10 obținem

12 ori 2 egal cu 24 cm ostil Află

pe aer egală ultimele două rapoarte

a n supra 16 egal cu 10 supra 20

de aici exprimă lungimea segmentului

a n aceasta va fi egală cu 16 ori

10 supra 20 se simplifică 10 cu

20 la numitor ne rămâne 2 obținem

16 supra 2 egal cu 8 cm am aflat

Așadar segmentele ab și a n mai

trebuie să aflăm b m și n c pentru

a afla lungimea segmentului bn

și aplicăm teorema lui tales sau

proporții derivate fie aflăm lungimea

acestui segment făcând diferența

dintre lungimea segmentului AB

pe care am aflat o și lungimea

segmentului a m mămăligă a doua

variantă deoarece este mai rapidă

și atunci bem a fi egal cu AB minus

a m dar cu 24 minus 12 și egal

cu 12 cm ia pentru a afla lungimea

segmentului Mc vom proceda Analog

făcând diferența dintre AC și a

n obținem 16 minus 8 egal cu 8

cm amuzată astfel cele patru lungimi

cerute continuăm cu problema numarul

doi În trapezul ABCD AB este paralel

cu CD AB este mai mică decât CD

și notăm cu o intersecția diagonalelor

ac și bd Se consideră MN O dreaptă

paralelă cu ab astfel încât o să

aparțină segmentului MN M aparține

laturii ad și n aparține laturii

BC Arătați că m o supra ab plus

m o supra DC este egal cu 1 demonstrație

Dacă MN este paralelă cu AB iar

o este un punct situat pe dreapta

MN înseamnă că m o va fi paralelă

cu AB o paralelă cu ABS om aplica

teorema fundamentală a asemănării

și observăm astfel că sau format

două triunghiuri asemenea triunghiul

d m o va fi asemenea cu triunghiul

def ab rezulta conform teoremei

fundamentale a asemănării a triunghiul

d m o este asemenea cu triunghiul

d ab dacă cele două triunghiuri

sunt asemenea laturile lor sunt

proporționale dm supra de a este

egal cu d o supra DB și egal cu

m o supra ab observăm că am obținut

unul din rapoartele care intervin

în concluzia problemei mai trebuie

să găsim niște triunghiuri asemenea

astfel încât în relația de proporționalitate

să intervină celelalte rapport

m100 de ce dacă m o e este paralelă

cu AB iar ab este paralelă cu cd

înseamnă că m o este paralelă și

cu dreapta DC și atunci se formează

alte două triunghiuri asemenea

triunghiul a m o a fie asemenea

cu triunghiul adc m o este paralel

cu dc și atunci conform teoremei

fundamentale a asemănării triunghiul

a m o va fi asemenea cu triunghiul

adc și va rezulta că cele două

triunghiuri au laturile proporționale

a m supra a d este egal cu AO supra

ac și egal cu m o supra de ce astfel

am obținut și al doilea raport

care intervine în concluzia problemei

acum vom aduna aceste două relații

membru cu membru făcând abstracție

de raportul situat în mijloc de

ce adunăm relațiile membru cu membru

și obținem că de m supra d a plus

a m supra a d este egal cu m o

supra ab plus mo supra de ce cele

două fracții au același numitor

A deci putem să adunăm numărătorii

de m plus a m totul supra a d egal

cu m o supra ab plus.ro supra de

ce dacă ne uităm pe figură de m

plus a m formează lungimea segmentului

ad a d supra a d este egal cu m

o supra ab plus.ro supra bc ad

supra AD este egal cu 1 astfel

obținem relația din concluzia problemei

mo supra ab Louis Mo supra De ce

este egal cu 1