Va rugam dezactivati programul ad block pentru a vizualiza pagina!

Cumpara abonament!
Plateste cu PayPal

Teorema împărțirii cu rest. Enunțul teoremei. Demonstrația teoremei

Partajeaza in Google Classroom

Partajeaza cu Google Classroom
Susține Lectii-Virtuale!

Memorator: Teorema împărțirii cu rest. Enunțul teoremei. Demonstrația teoremei Descarcă PDF

Teorema împărțirii cu rest

Enunțul teoremei

Fie a (deîmpărțit) și b (împărțitor) două numere întregi, cu condiția ca b să fie nenul. Există și sunt unice numerele întregi q (câtul) și r (restul împărțirii), astfel încât să fie satisfăcute simultan condițiile:
  • a = b ⋅ q + r
  • r < b

Demonstrație

Demonstrația teoremei conține două părți: prima, demonstrația existenței lui q și r, a doua, demonstrația unicității lui q și r.

Existența câtului și restului

Se consideră mulțimea

    S = { a − n d : a , d , n ∈ Z , d ≠ 0 } .

Se poate demonstra că mulțimea S conține cel puțin un element întreg nenegativ. Sunt două cazuri care trebuie luate în considerare.
  • Dacă a este nenegativ, atunci se alege n = 0.
  • Dacă a este negativ, atunci se alege n = a.

În ambele cazuri, a - nd este nenegativ, de unde rezultă ca S conține întotdeauna cel puțin un întreg nenegativ. Se deduce că S conține un cel mai mic întreg nenegativ r. Prin definiție, r = a - nd pentru un anumit n. Fie q acest n. Atunci, ecuația devine a = qd + r.

Rămâne de demonstrat că 0 ≤ r < |d|. Prima inegalitate este adevărată ca urmare a alegerii lui r ca întreg nenegativ. Pentru a doua inegalitate (strictă), se presupune că r ≥ |d|. Pentru că d ≠ 0, r > 0, și d > 0 sau d < 0.
  • Dacă d > 0, atunci r ≥ d implică a-qd ≥ d. Ceea ce implică a-qd-d ≥0, implicând că a-(q+1)d ≥ 0. Deci, a-(q+1)d is in S și, deoarece a-(q+1)d=r-d cu d>0 știm a-(q+1)d<r, contrazice ipoteza că r a fost elementul cel mai mic întreg nenegativ al lui S.
  • Dacă d<0 atunci r ≥ -d implică a-qd ≥ -d. Aceasta implică a-qd+d ≥0, implicând că a-(q-1)d ≥ 0. Deci, a-(q-1)d este în S și, deoarece a-(q-1)d=r+d cu d<0 știm că a-(q-1)d<r, contrazice ipoteza că r a fost elementul cel mai mic întreg nenegativ al lui S.

În ambele cazuri, am demonstrat că r > 0 nu este cel mai mic întreg nenegativ al lui S, ceea ce este o contradicție, deci trebuie să avem r < |d|.

Aceasta demonstrează complet existența lui q și r.

Unicitatea

Presupunem că există q, q' , r, r' cu 0 ≤ r, r' < |d| qstfel încât a = dq + r și a = dq' + r' . Putem considera, fără a reduce generalitatea demonstrației, q ≤ q' .

Scăzând cele două ecuații rezultă: d(q' - q) = (r - r' ).

Dacă d > 0, atunci r' ≤ r și r < d ≤ d+r' , deci (r-r' ) < d. Similar, dacă d < 0, atunci r ≤ r' și r' < -d ≤ -d+r, deci -(r- r' ) < -d. Combinând cele două ecuații |r- r' | < |d|.

Ecuația inițială implică: |d| divide |r- r' |; deci sau |d| ≤ |r- 'r' | sau |r- r' |=0. Deoarece am stabilit că |r-r' | < |d|, putem concluziona că prima variantă nu poate fi adevarată. Deci, r=r' .

Înlocuind în cele două ecuații inițiale rezultă dq = dq' și, deoarece d nu este 0, trebuie să avem q = q' ceea ce demonstrează unicitatea.

Navigare în lectii

Cumpara abonament
Plătește cu PayPal

Ajutor
Feedback-ul d-voastră este important pentru noi. Dacă observați vreo neregulă vă rugăm să ne-o semnalați apăsând butonul Trimite Feedback de mai jos.

Despre Lecții-Virtuale.ro

Lecții-Virtuale este o platformă educațională care oferă suport în vederea pregătirii pentru Evaluare Națională și Bacalaureat la Matematică, Fizică și Chimie. Lecțiile noastre sunt alcătuite din filme și exerciții și probleme cu tot cu rezolvări. Platforma noastră este o soluție ideală pentru școala online. Pentru facilitarea activității profesorilor în cadrul ecosistemului GSuite de la Google am implementat butonul Google Classroom. Scopul nostru este să ne concentrăm pe prezentarea noțiunilor și fenomenelor într-o manieră care să stimuleze înțelegerea și nu memorarea mecanică. Ne propunem să facilităm accesul la conținut educațional de calitate mai ales elevilor cu venituri mai modeste care nu își pemit meditații particulare. Sperăm să vă simțiti bine alături de noi și să invățați lucruri folositoare. Hai România!

Newsletter

Abonează-te la Newsletter pentru a fi la curent cu toate ofertele noastre.

Parteneri

EduApps partener Lectii Virtuale UiPath partener Lectii Virtuale Scoala365 partener Lectii Virtuale CCD Galați partener Lectii Virtuale

2024 © Lecții-virtuale.ro Toate drepturile rezervate
Termeni   Despre   Contact   Confidenţialitate   Cariere Parteneri