Va rugam dezactivati programul ad block pentru a vizualiza pagina!

Cumpara abonament!
Plateste cu PayPal

Teorema înălţimii (teorie)

Partajeaza in Google Classroom

Partajeaza cu Google Classroom
Susține Lectii-Virtuale!
Pentru a putea vizualiza un video va rugam sa va logati aici! Daca nu aveti cont va puteti inregistra apasand aici.
12 voturi 339 vizionari
Puncte: 10

Transcript



în această lecție o să învățăm

teoremă înălțimii în triunghi dreptunghic

dar mai întâi aș vrea să vă reamintesc

o noțiune învățată la algebră și

anume media geometrică a două numere

dacă avem două numere pozitive

a și b atunci media geometrică

a acestor două numere este radical

din produsul lor dacă ridicăm la

pătrat această egalitate obținem

că media geometrică la pătrat este

egală cu a ori b media geometrică

se mai numește și media proporțională

a numerelor a și b și acum putem

să enunță teorema înălțimii Într

un triunghi dreptunghic lungimea

înălțimii corespunzătoare ipotenuzei

este media geometrică a lungimilor

proiecțiilor catetelor pe ipotenuză

avem un triunghi dreptunghic ABC

și am duce înălțimea AD corespunzătoare

ipotenuzei BC proiecțiile catetelor

pe ipotenuză sunt bd și DC atunci

Adela pătrat va fi egal cu bd ori

de ce o să demonstrăm această teoremă

nu mă arăta că triunghiul ABD este

asemenea cu triunghiul c a d pentru

că nu avem nici o informație referitoare

la lungimile laturilor acestor

două triunghiuri mama arăta că

ele sunt asemenea conform primului

caz de asemănare și vom demonstra

că aceste triunghiuri au două unghiuri

respectiv congruente Așadar ne

propunem Să arătăm că triunghiul

ABD este asemenea cu triunghiul

c a d observăm că acestea sunt

triunghiuri dreptunghice Deci o

pereche de unghiuri congruente

ar fi unghiurile adb și adc deoarece

acestea sunt unghiuri drepte unghiul

adb este congruent cu unghiul adc

pentru că acestea au măsura egală

cu 90 de grade nu mai uita în continuare

că unghiul ABD este congruent cu

unghiul c a d știind că în triunghiul

abc suma măsurilor unghiurilor

sale este de 180 de grade deci

putem să scriem că măsura unghiului

a plus măsura unghiului B plus

măsura unghiului c este egală cu

180 de grade măsura unghiului a

este de 90 de grade deci putem

să scriem 90 de grade plus măsura

unghiului b plus măsura unghiului

c este egală cu 180 de grade de

aici va rezulta că măsura unghiului

B plus măsura unghiului c va fi

egală cu 180 de grade minus 90

adică 90 de grade de unde va rezulta

că măsura unghiului B este egală

cu 90 de grade minus măsura unghiului

c notam această relație cu unu

acum să ne uităm În triunghiul

a b c și în acest triunghi suma

măsurilor este de 180 de grade

o scrie că măsura unghiului adc

plus măsura unghiului d a c toți

măsura unghiului c este egală cu

180 de grade măsura unghiului adc

este de 90 de grade 90 plus măsura

unghiului d a c plus măsura unghiului

c va fi egală cu 180 de grade de

aici va rezulta că măsura unghiului

dac plus măsura unghiului c este

egală cu 180 minus 90 egal cu 90

de grade exprimăm din această relație

măsura unghiului dac aceasta va

fi egală cu 90 de grade minus măsura

unghiului c uitam această relație

cu doi din relațiile 1 și 2 Putem

afirma că unghiul b adică unghiul

ABD este congruent cu unghiul dac

deoarece aceste două unghiuri au

același complement din relația

1 și relația 2 rezultă că unghiul

ABD este congruent cu unghiul de

ac pentru ca au același complement

am arătat astfel că cele două triunghiuri

a b d și c a d a două unghiuri

respectiv congruente și atunci

va rezulta conform primului caz

de asemănare că triunghiurile ABD

și ce a d sunt triunghiuri asemenea

putem să tăiem semnul întrebării

din relația de asemănare a celor

două triunghiuri va rezulta o relație

de proportionalitate dintre laturile

acestora trebuie să fim atenți

atunci când scriem egalitatea rapoartelor

întotdeauna la numărători o să

avem laturi ale triunghiului ABD

iar la numitor o să avem laturile

triunghiului si ad cu triunghiul

ABD și cum scrie de exemplu latura

care se opune unghiului drept din

triunghiul adb aceasta este ab

supra latura care se opune unghiului

drept din triunghiul c a d aceasta

este AC acum în primul triunghi

vom scrie latura care se opune

unghiului B aceasta este Ade iar

în al doilea triunghi are latura

care se opune unghiului congruent

cu unghiul b și anume latura opusă

unghiului c a d aceasta este de

ce și acum îmi scrii laturile care

au mai rămas în triunghiul ABD

a mai rămas latura BD ia din triunghiul

c a d a mai rămas latura ad sau

ne putem gândi și altfel Putem

să scriem cea mai mare latură din

primul triunghi supra cea mai mare

latură din al doilea triunghi egal

cu cea mai mică latură din primul

triunghi supra cea mai mică latură

din al doilea triunghi și așa mai

departe am obținut astfel un șir

de rapoarte egale din această relație

nu folosit doar egalitatea dintre

ultimele două rapoarte având în

vedere că avem o proporție putem

egala produsul mezilor cu produsul

extremilor astfel obținem a de

ori a d egal cu bd ori de ce dar

Ade ori Ade este a de la pătrat

egal cu bd ori de ce am arătat

astfel că nu intru în triunghi

dreptunghic înălțimea corespunzătoare

ipotenuzei este media geometrică

a proiecțiilor catetelor pe ipotenuză

este valabilă și reciproca acestei

teoreme fie un triunghi abc și

d un punct situat pe latura bc

astfel încât ad să fie perpendiculară

pe bc adică ad este înălțime și

a de la pătrat este egal cu bd

ori De ce atunci măsura unghiului

a este egală cu 90 de grade Deci

triunghiul va fi dreptunghic o

altă teoremă teorema 2 care se

mai numește și a doua teoremă a

înălțimii în triunghi dreptunghic

înălțimea corespunzătoare ipotenuzei

este egală cu raportul dintre produsul

catetelor și ipotenuza dacă avem

un triunghi dreptunghic ABC cu

măsura unghiului A de 90 de grade

și am dus înălțimea AD atunci ad

va fi egal cu AB AC supra bc unde

mustră această teoremă scrie aria

triunghiului ABC în două moduri

mai întâi aria triunghiului ABC

poate fi scrisă ca produsul dintre

bază de ce ori înălțimea a d supra

2 Dar aria triunghiului ABC se

mai poate scrie și produsul catetelor

supra 2 având în vedere că acesta

este un triunghi dreptunghic astfel

putem considera baza latura ab

iar înălțimea corespunzătoare a

cealaltă catetă a c aria triunghiului

se mai scrie a b ori a c supra

2 putem să egalăm cele două arii

și a rezultat că bc ori ad supra

2 este egal cu a b ori a c supra

2 înmulțim toate egalitatea cu

2 și obținem că bc ori este egal

cu AB ori ac ca să ne aflăm pe

a d o să împărțim această egalitate

la b c și obținem că AD este egal

cu AB ori ace supra bc rețineți

și această formulă înălțimea în

triunghi dreptunghic se poate scrie

a raportul dintre produsul celor

două catete și ipotenuze în continuare

o să facem o aplicație aia monitoare

a problemă Se dă un triunghi ABC

dreptunghic cu măsura unghiului

A de 90 de grade ad este perpendiculară

pe bc ad este egal cu 12 cm și

CD este egal cu 8 cm se cere să

calculăm lungimea segmentelor BD

și BC având în vedere că ad este

înălțime În triunghiul dreptunghic

ABC putem să aplicăm prima teoremă

pe care am văzut în această lecție

AD este perpendiculară pe BC și

atunci va rezulta că a de la pătrat

este egal cu bd ori de ce Adi este

1212 la pătrat egal cu bd ori 8

12 la a doua este 144 egal cu bd

ori 8 pentru a afla lungimea segmentului

BD împărțim această egalitate la

8 144 împărțit la 8 este 18 egal

cu bd altfel scris BD este egal

cu 18 și acum pentru a afla lungimea

segmentului BC o să adunăm segmentele

bd și DC De ce va fi egal cu bd

plus bc egal cu 18 plus 8 și egal

cu 26 cm

Teorema înălțimii într-un triunghi dreptunghicAscunde teorie X

Teorema înălțimii. Într-un triunghi dreptunghic, lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei este media geometrică a lungimilor proiecțiilor catetelor pe ipotenuză.

right enclose triangle A B C comma space m left parenthesis measured angle A right parenthesis equals 90 degree space
A D perpendicular B C end enclose space space rightwards double arrow box enclose space A D squared equals B D times D C space end enclose

p r subscript B C end subscript open square brackets A B close square brackets equals open square brackets B D close square brackets space
p r subscript B C end subscript open square brackets A C close square brackets equals open square brackets D C close square brackets

Reciproca teoremei înălțimii:

right enclose triangle A B C comma space
D element of left parenthesis B C right parenthesis comma space A D perpendicular B C space
space A D squared equals B D times D C end enclose space rightwards double arrow m left parenthesis measured angle A right parenthesis equals 90 degree.

 

A doua teoremă a înălțimii. Într-un triunghi dreptunghic, înălțimea corespunzătoare ipotenuzei este egală cu raportul dintre produsul catetelor și ipotenuză.

box enclose space A D equals fraction numerator A B times A C over denominator B C end fraction space end enclose

Navigare în lectii

Cumpara abonament
Plătește cu PayPal

Ajutor
Feedback-ul d-voastră este important pentru noi. Dacă observați vreo neregulă vă rugăm să ne-o semnalați apăsând butonul Trimite Feedback de mai jos.

Despre Lecții-Virtuale.ro

Lecții-Virtuale este o platformă educațională care oferă suport în vederea pregătirii pentru Evaluare Națională și Bacalaureat la Matematică, Fizică și Chimie. Lecțiile noastre sunt alcătuite din filme și exerciții și probleme cu tot cu rezolvări. Platforma noastră este o soluție ideală pentru școala online. Pentru facilitarea activității profesorilor în cadrul ecosistemului GSuite de la Google am implementat butonul Google Classroom. Scopul nostru este să ne concentrăm pe prezentarea noțiunilor și fenomenelor într-o manieră care să stimuleze înțelegerea și nu memorarea mecanică. Ne propunem să facilităm accesul la conținut educațional de calitate mai ales elevilor cu venituri mai modeste care nu își pemit meditații particulare. Sperăm să vă simțiti bine alături de noi și să invățați lucruri folositoare. Hai România!

Newsletter

Abonează-te la Newsletter pentru a fi la curent cu toate ofertele noastre.

Parteneri

EduApps partener Lectii Virtuale UiPath partener Lectii Virtuale Scoala365 partener Lectii Virtuale CCD Galați partener Lectii Virtuale

2022 © Lecții-virtuale.ro Toate drepturile rezervate
Termeni   Despre   Contact   Confidenţialitate   Cariere Parteneri