Teoreme de paralelism

în această secvență vrem să prezentăm

câteva teoreme de paralelism pe

care e foarte bine să le reținem

pentru că le vom folosi apoi în

probleme Ce înțelegem prin plane

paralele două plane sunt paralele

dacă nu au niciun punct în comun

Alfa intersectat cu b ca este mulțimea

vidă Cum arătăm însă că două plane

sunt paralele avem următoarea teoremă

dacă un plan conține două drepte

concurente paralele cu un alt plan

Atunci cele două plane sunt paralele

Deci dacă între un plan alfa Avem

două drepte a și b deci a și b

sunt inclusă în planul alfa iar

aceste două drepte sunt concurente

a intersectat cu b avem aici punctul

a d sunt concurente în acest punct

și Dacă dreptele a și b sunt paralele

cu un alt plan Deci Dacă dreapta

a mic este paralelă cu planul Beta

și dreapta b mic este paralel și

a la rândul ei cu planul Beta atunci

conform acestei teoreme Ce rezultă

că cele două plane sunt paralele

Alfa paralel cu Beta Deci ca Să

arătăm că două plane sunt paralele

trebuie să arătăm că între un plan

există două drepte concurente care

sunt paralele cu celălalt plan

și atunci cele două plane sunt

paralele și o altă teoremă această

teoremă nu ne spune cum Să arătăm

că două plane sunt paralele Dar

ne spune următorul lucru Dacă o

dreaptă este paralelă cu un plan

alfa și dreapta este inclusă în

plan Beta Beta second cu alfa atunci

dreapta a este paralela cu dreapta

intersecția planelor Alfa și Beta

bun să reluăm dacă o dreaptă a

adică dreapta a este paralela cu

un plan alfa iar Aici planul alfa

ești nici notăm a paralelă cu alfa

și dreapta a este inclusă în plan

Betta dreapta a este inclusă în

acest plan Betta a inclusă în Deta

acest plan Beta este second cu

alfa Deci Alfa și Beta sunt plane

secante Ce înseamnă asta Că intersecția

lor este o dreaptă Haide so trasăm

trecem aici dreapta de dreapta

de intersecție a planelor Alfa

și Beta bun atunci dreapta a adică

aceasta este paralelă cu dreapta

de intersecție a planelor Alfa

și Beta Deci din aceste relații

conform aceste teoremei rezultă

că dreapta a este paralela cu dreapta

d a paralelă cu d o altă teoremă

se numește teorema fierăstrăului

care ne spune că Dacă două plane

paralele sunt intersectate de un

al treilea plan atunci dreptele

de intersecție sunt paralele prin

urmare Dacă două plane paralele

Alfa și Beta sunt plane paralele

Alfa paralel cu Beta dacă ele sunt

intersectate de un al treilea plan

planul gama Iată intersectează

fiecare din cele două plane planul

gama intersectat cu planul alfa

să trecem aici că avem dreapta

c mic și o și Reprezentăm iar planul

gama intersectat cu planul Beta

și să trecem că avem dreapta d

mic și o Reprezentăm și pe desen

de ce aici avem dreapta c mic și

aici dreapta d mic atunci conform

acestei teoremei ce se spune că

dreptele de intersecție adică dreptele

c și d sunt drepte paralele se

vede acest lucru și pe desen Deci

venim aici și trecem rezultă că

dreapta c este paralelă cu dreapta

numele este destul de sugestiv

pentru că dacă ne imaginăm că planul

gama este un fierăstrău atunci

putem să citim că Dacă două plane

paralele Alfa și Beta sunt tăiate

de un al treilea plan gama Tae

cele două plane atunci dreptele

de intersecție c și d sunt paralele

teoremă foarte ușor de reținut

următoarea teoremă are și ea un

nume și se numește teorema acoperiș

observăm că și figura arată ca

un acoperiș de ceata de unde și

numele și ne spune că dacă dreptele

paralele a și b sunt inclusă în

planele secante Alfa și Beta atunci

dreptele a și b sunt paralele cu

dreapta de intersecție a celor

două plane Prin urmare avem două

drepte paralele a și b dreapta

Paralelă cu dreapta b dreapta a

este paralela cu dreapta b și știind

că dreptele a și b sunt inclusă

în planele secante Alfa și Beta

planul alfa și planul Beta sunt

plane secante Alfa intersectat

cu b taie dreapta de intersecție

este nota tăiată de mic și știind

că dreapta a mic este inclusă în

planul alfa Deci am inclusă în

Alfa și dreapta b mic este inclusă

în planul Beta să trecem aici dreapta

b inclusă în Beta atunci dacă tu

aceste condiții sunt îndeplinite

dreptele a și b sunt paralele și

dreptele a și b sunt paralele cu

dreapta de intersecție a celor

două plane adică cu dreapta d rezultă

din această teoremă că dreapta

a este paralela cu dreapta d paralelă

la rândul ei cu dreapta b mic altă

teoremă este teorema lui Thales

în spațiu care ne spune că mai

multe plane paralele determină

pe două secante segmente proporționale

Deci dacă avem planul alfa paralel

cu Beta și la rândul său paralel

și cu gama Deci planele Alfa Beta

și Gamma sunt plane paralele și

avem dreptele a c și a prim c prim

sau putem să le denumim AB și a

prim D prim ca în figură atunci

vom avea segmente proporționale

cu alte cuvinte a b segmentul ab

lungimea segmentului AB supra lungimea

segmentului a prim D prim este

egală cu lungimea segmentului BC

supra lungimea segmentului b prim

c prim și ultima teoremă Care este

foarte simplă teorema de tranzitivitate

a relației de paralelism două plane

paralele cu un al treilea plan

disting de primele două sunt paralele

între ele Deci dacă planul alfa

este paralel cu planul Beta și

planul Beta la rândul său este

paralel cu planul gama atunci rezultă

că planele Alfa și Gamma sunt paralele

planele Alfa și Gamma sunt plane

paralele Toate aceste teoreme sunt

câteva dintre teoremele de paralelism

și eu zic că sunt destul de importante

pentru că le vom aplica și în probleme