Trapezul (Teorie)

Trapezul patrulaterul care are

două laturi paralele și două laturi

neparalele se numește trapez În

figura de mai jos AB este paralelă

cu cd iar celelalte două laturi

a d și b c sunt laturile paralele

laturile paralele se mai numesc

și baze AB Se va numi baza mare

iar CD se va numi bază mică dacă

ducem o perpendiculară din d pe

ab atunci segmentul de m se va

numi înălțimea trapezului avem

următoarea clasificare a trapezului

Trapezul din imagine este un trapez

oarecare deoarece laturile neparalele

nu sunt congruente apoi mai există

trapez dreptunghic cesta este Trapezul

în care una din laturile neparalele

este perpendiculară pe baze și

un al treilea tip de trapez este

trapezul isoscel acesta este Trapezul

care are laturile neparalele congruente

Deci mq este congruentă cu PN în

continuare o să dăm o proprietate

a trapezului Într un trapez unghiurile

situate de o parte și de alta a

laturilor neparalele sunt suplementare

de exemplu măsura unghiului A plus

măsura unghiului d va fi egală

cu 180 de grade la fel și măsura

unghiului b plus măsura unghiului

c va fi egală cu 180 de grade pentru

a demonstra această proprietate

prelungim segmentul ab unghiul

acesta care sa format și pe care

îl voi nota cu x este congruent

cu unghiul D pentru că unghiul

d și unghiul x sunt unghiuri alterne

interne având în vedere că ab este

paralel cu cd iar AD este o secantă

Deci unghiul de are aceeași măsură

cu unghiul x însă unghiul x împreună

cu unghiul a formează un unghi

alungit Deci unghiul x este suplementar

cu unghiul a mai rezulta atunci

că și unghiul A și unghiul de vârf

unghiuri suplementare în continuare

o să discutăm despre proprietățile

trapezului isoscel o prima proprietate

enunțată sub forma unei teoreme

Într un trapez isoscel unghiurile

alăturate unei baze sunt congruente

avem un trapez a b c d în care

se știe că AD este congruentă cu

bc și trebuie să demonstrăm că

unghiul A este congruent cu unghiul

b și unghiul d este congruent cu

unghiul c pentru a demonstra această

teoremă o să facem o construcție

ajutătoare o să ducem perpendicularele

din de și din c pe latura ab am

construit de m și CN perpendiculare

pe ab Fie d m perpendiculară pe

AB și c n perpendiculară pe AB

pentru ca aceste două drepte sunt

perpendiculare pe AB va rezulta

că ele sunt paralele dm va fi paralel

cu c n Dar de ce este paralelă

cu AB din ipoteză a b paralelă

cu c d va rezulta atunci că acest

patrulater b c n m este un paralelogram

însă în acest paralelogram avem

un unghi drept măsura unghiului

m sau măsura unghiului n este egală

cu 90 de grade din construcție

înseamnă că acest patrulater este

dreptunghi de ce e n m va fi dreptunghi

într un dreptunghi știind că laturile

opuse sunt congruente două câte

două rezultatul Cică de m este

congruentă cu c n rezultat de m

congruent cu CN acum vom demonstra

că triunghiurile de m a și c n

d sunt triunghiuri congruente iar

din congruență acestor două triunghiuri

va rezulta că și unghiurile a și

b vor fi congruente avem Așadar

Două triunghiuri dreptunghice de

m a și c n b Până acum am arătat

că acestea au catetele de m și

c n congruente în să mai știm și

din ipoteză că AD este congruentă

cu bc pentru că a b c d este trapez

isoscel a d congruent cu b c din

ipoteză va rezulta conform cazului

de congruență ipotenuză catetă

aceste două triunghiuri sunt congruente

triunghiul DE M A este congruent

cu triunghiul cmb iar congruență

acestor triunghiul implica congruența

unghiurilor a și b pentru a demonstra

că unghiul d este congruent cu

unghiul c se prelungește latura

d c și se face o altă construcție

ajutătoare se duc perpendicularele

din a și b pe prelungirea laturii

De ce nu mai face această demonstrație

rețineți că într un trapez isoscel

unghiurile alăturate bazelor sunt

unghiuri congruente este valabilă

și reciproca acestei teoreme dacă

înfrunt trapez unghiurile alăturate

unei baze sunt congruente atunci

trapezul este isoscel am făcut

aceeași construcție ajutătoare

am dus perpendicularele din d și

c pe latura ab Așadar avem un trapez

presupunem că este un trapez oarecare

și știm că unghiul A este congruent

cu unghiul b trebuie să arătăm

că AD este congruentă cu bc demonstrația

se face asemănător cu demonstrația

teoremei 1 se arată că d c n m

este dreptunghi apoi comparăm triunghiurile

d m a și n b având în vedere că

de m este perpendiculară pe AB

și c n este perpendiculară pe AB

va rezulta că de cnm este dreptunghi

de unde rezultă că de m este congruentă

cu c n apoi în triunghiurile de

m a și c n b avem următoarele elemente

congruente d m este congruent cu

c n iar unghiul A este congruent

cu unghiul b Acest lucru se știe

din ipoteză a rezulta conform cazului

de congruență catetă unghi că triunghiul

DE M A este congruent cu triunghiul

cmb iar din această relație de

congruență va rezulta că AD este

congruentă cu bc Deci rețineți

că dacă un trapez are două unghiuri

alăturate bazei congruente atunci

trapezul este isoscel o altă proprietate

a trapezului isoscel enunțată sub

formă de aur ma numărul 3 diagonalele

unui trapez isoscel sunt congruente

avem un trapez ABCD isoscel se

știe că AD este congruent cu BC

și trebuie să arătăm că diagonalele

sunt congruente adică Ah si va

fi egală cu bd pentru a demonstra

congruență acestor două segmente

o să demonstrăm că triunghiurile

d a b și c b a sunt triunghiuri

congruente să vedem Ce elemente

congruente au acestea în primul

rând da este congruent cu b c Acest

lucru se știe din ipoteză pentru

că trapezul este isoscel am vazut

mai devreme că întru un trapez

isoscel unghiurile alăturate unei

baze sunt congruente Deci unghiul

A este congruent cu unghiul b tot

din ipoteza aceste două triunghiuri

mai au o latură comună aceasta

este latura ab Deci segmentul a

b din triunghiul d AB este congruent

cu segmentul ab din triunghiul

CBA fiind o latură comună din aceste

trei relații va rezulta conform

cazului de congruență latura unghi

latura că Triunghiul AB este congruent

cu triunghiul CBA iar de aici va

rezulta că PD este congruent cu

ac am demonstrat Așadar că între

un trapez isoscel diagonalele sunt

congruente este valabilă și reciproca

a acestei teoreme teorema numărul

patru dacă diagonalele unui trapez

sunt congruente atunci trapezul

este isoscel