Triunghiul dreptunghic

proprietățile triunghiului dreptunghic

un triunghi care are un unghi drept

se numește triunghi dreptunghic

în triunghiul ABC observăm că măsura

unghiului a este de 90 de grade

ab spune că triunghiul ABC este

dreptunghic în A iar în cazul triunghiului

d e f observăm că măsura unghiului

d este de 90 de grade și mă spune

că acesta este un triunghi dreptunghic

în d laturile care formează unghiul

drept se vor numi catete iar latura

care se opune unghiului drept se

numește ipotenuza În triunghiul

abc catetele sunt a b și a c iar

ipotenuza este b c un triunghi

dreptunghic care are catetele congruente

se va numi triunghi dreptunghic

isoscel Bogdan următoarea teoremă

pentru un triunghi dreptunghic

lungimea medianei corespunzătoare

ipotenuzei este jumătate din lungimea

ipotenuzei construim un triunghi

dreptunghic ABC cu măsura unghiului

A de 90 de grade am dus în acest

triunghi mediană corespunzătoare

ipotenuzei aceasta este acum unde

o este mijlocul segmentului CB

trebuie să demonstrăm că lungimea

segmentului AO este jumătate din

lungimea segmentului BC pentru

a demonstra această teorie noua

face o construcție ajutătoare o

să prelungim segmentul a o un segment

având aceeași lungime cu acesta

pe care la mutat cu om apoi unim

punctele cm și m cu b sunt în construcția

făcută demonstrație fie om având

aceeași lungime cu a o Ba rezultat

că AO este a m supra 2 adică jumătate

din a m și notez această relație

cu unu scopul nostru este Să arătăm

că a m este egal cu bc în concluzie

se cere Să arătăm că AO este jumătate

din bc dar dacă vom reuși Să arătăm

că b c și a m sunt două segmente

egale atunci va rezulta implicit

că AO este jumătate din bc însă

mai întâi bun arătată segmentele

cm și ab sunt congruente Bob compara

triunghiul c o m cu triunghiul

b o a stilul din ipoteza că c o

este congruent cu OB mai știi încă

o m este congruent cu o a din construcția

pe care a făcut o și mai observăm

că cele două triunghiuri au două

unghiuri congruente acestea sunt

unghiuri opuse la vârf unghiul

c o m va fi congruent cu unghiul

b o a acestea sunt unghiuri opuse

la vârf din aceste trei relații

va rezulta conform cazului de congruență

latura unghi latura a triunghiul

c o m este congruent cu triunghiul

b o a din congruență acestor două

triunghiuri a rezulta pe de o parte

congruența segmentelor cm și ab

ce an va fi congruent cu AB și

pe de alta parte rezultă că unghiul

c m o este congruent cu unghiul

b a o dacă ne uităm la dreptele

cm și ab și Considerăm a m o secanta

acestora o servanta sau a forma

două unghiuri alterne interne acestea

sunt unghiurile c m o și bao dar

noi am demonstrat deja faceți triunghiuri

sunt congruente ele fiind unghiuri

alterne interne congruente ma rezultată

cm este paralelă cu a b unghiurile

c m o și b a o sunt unghiuri alterne

interne ele fiind și congruente

A rezulta TCM este paralelă cu

AB dar AB este perpendiculară pe

a c si m fiind paralelă cu AB iar

a b fiind perpendiculară pe a Ce

rezultat că c m este perpendiculară

pe AC Deci aici avem un unghi drept

din aceste două relații rezultă

că cm va fi perpendiculară pe AC

înseamnă că triunghiul m a c este

un triunghi dreptunghic având măsura

unghiului mca egală cu 90 de grade

acum comparăm triunghiurile m c

a și b AC numere dacă acestea sunt

triunghiuri congruente comparăm

triunghiul m c a cu triunghiul

BAC sinonim la cazurile de congruență

ale triunghiurilor dreptunghice

am demonstrat anterior că cm este

congruent cu AB acestea sunt catete

cele două triunghiuri iar AC este

o latură comună aceasta este catetă

în fiecare dintre cele două triunghiuri

Așadar cele două triunghiuri dreptunghice

sunt congruente conform cazului

catetă catetă nu te că această

relație cu doi ce m este congruent

cu AB din relația 2 AC este congruent

cu ac fiind o latură comună din

aceste două relații rezultă conform

cazului de congruență catetă catetă

că triunghiul m c a este congruent

cu triunghiul BAC din această relație

rezultă că a m este congruent cu

b c la începutul demonstrației

spuneam că scopul este Să arătăm

că a m este egal cu bc așa dar

putem să scriem că lungimea segmentului

a m este egală cu lungimea segmentului

BC dar din relația unu pe care

să mai scrii o dată a o este egal

cu a m supra 2 și atunci din aceste

două relații Putem să scriem că

a o este egal cu bc supra 2 așadar

am Arătați că între un triunghi

dreptunghic lungimea medianei corespunzătoare

ipotenuzei este jumătate din lungimea

ipotenuzei urmează o altă teoremă

Dacă intru în triunghi dreptunghic

măsura unui unghi este de 30 de

grade atunci cateta opusă acestuia

este jumătate din ipotenuză avem

un triunghi dreptunghic ABC și

presupunem că măsura unghiului

B este de 30 de grade cateta care

se opune acestui unghi este AC

va trebui să demonstrăm că ac este

jumătate din ipotenuză adică jumătate

din bc pentru a demonstra această

teoremă o să fixăm mijlocul laturii

BC pe care să notăm cu m și construim

mediană a m demonstrație Fie M

un punct situat pe latura bc astfel

încât BM să fie egal cu c m deci

a m este mediană știm din teorema

anterioară că mediana este jumătate

din ipotenuză De ce a m este BC

supra 2 înseamnă că a m va fi egală

și cu BM și cu cm rezultă a m egal

cu BM și egal mai departe cu cm

notez această relație cu unul dacă

a m este egal cu MB înseamnă că

triunghiul a m d este isoscel la

rezultat de aici că triunghiul

amb este un triunghi isoscel cu

baza ab știind că între un triunghi

isoscel unghiurile alăturate bazei

sunt congruente măsura unghiului

m ab va fi tot de 30 de grade dezvolta

ca măsura unghiului m a b este

egală cu măsura unghiului MBA și

în ala cu 30 de grade putem calcula

acum măsura unghiului c a m aceasta

va fi 90 de grade minus 30 de grade

egal cu 60 de grade măsura unghiului

c a m este egală cu 90 de grade

minus măsura unghiului m a b Nina

mai departe cu 90 de grade minus

30 de grade egal cu 60 de grade

dar dacă a m este egală cu cm rezultă

că și triunghiul a m c este un

triunghi isoscel măsura unui triunghi

isoscel care are un unghi cu măsura

de 60 de grade este triunghi echilateral

înseamnă că ei si va fi egală și

cu a m i Ah ce va fi și ia jumătate

din ipotenuză bc din relația 1

rezultă că triunghiul AMC este

un triunghi isoscel Dar pentru

că acest triunghi are și un unghi

cu măsura de 60 de grade va rezulta

că triunghiul AMC este echilateral

Un triunghi echilateral are toate

laturile egale Deci AC va fi egal

cu a m a m este b c supra doi de

C rezultă că ac va fi egal cu bc

supra 2 am demonstrat că între

un triunghi dreptunghic cateta

care se opune unui unghi cu măsura

de 30 de grade este egală cu jumătate

din ipotenuză