Triunghiul echilateral- aplicații

prima problemă Fie abc un triunghi

echilateral iar m un punct situat

pe latura ab astfel încât cm perpendicular

pe ab știind că a m este egal cu

patru centimetri Calculați perimetrul

triunghiului ABC scrie în ipoteza

și concluzia este Așadar că a m

este 4 cm iar c m este înălțime

în triunghiul echilateral a b c

înălțimea dusă înfrunt triunghi

echilateral este și mediană cu

alte cuvinte punctul m este mijlocul

laturii ab și atunci putem să deducem

că segmentul MB va avea lungimea

egală cu 4 cm dacă triunghiul abc

este echilateral iar c m este înălțime

din ipoteză atunci va rezulta pe

cm este și mediană adică a m va

avea aceeași lungime cu segmentul

m b și egal cu 4 cm putem să aflăm

acum lungimea laturii ab ab este

egal cu 4 plus 4 și egal cu 8 cm

iar pentru a afla perimetrul acestui

triunghi a trebuit să însuma lungimile

laturilor știind că toate laturile

au aceeași lungime a b este egal

cu bc și egal cu c a egal cu 8

cm perimetrul triunghiului ABC

egal cu trei ori lungimea unei

laturi din templul trei ori ab

egal cu 3 ori 8 și egal cu 24 cm

și a doua problemă Fie abc un triunghi

echilateral Calculați măsura unghiului

dintre bisectoarea unghiului a

și înălțimea dusă din vârful c

iar la punctul b Fie M un punct

situat pe latura b c astfel încât

c să fie situat în interiorul segmentului

b m iar b c să fie congruent cu

cm Calculați măsurile unghiurilor

triunghiului abm prin ipoteza și

concluzia am construit a m bisectoarea

unghiului A aceasta în parte unghiul

a în două unghiuri congruente astfel

unghiul bae va fie congruent cu

unghiul cae și am dus înălțimea

CD CD este perpendiculară pe AB

observăm că aceste două drepte

a e și c d formează un unghi obtuz

a o c și un unghi ascuțit a o d

o să calculăm mai întâi măsura

unghiului obtuz a o c după ce Determină

măsura acestui unghi o să putem

foarte simplu să calculăm și măsura

unghiului ascuțit AOB începem astfel

cu punctul a știu că întru un triunghi

echilateral toate unghiurile au

măsura de 60 de grade astfel măsura

unghiului a va fi egală cu 60 de

grade dacă a este bisectoare aceasta

împarte unghiul în două unghiuri

congruente cu alte cuvinte măsura

unghiului eac va fi egală cu 30

de grade dacă triunghiul abc este

echilateral înseamnă că măsura

unghiului a va fi egală cu 60 de

grade iar dacă a este bisectoare

va rezulta că măsura unghiului

eac va fi egală cu 30 de grade

adică jumătate din măsura unghiului

a nu știu că c d este înălțime

dar un triunghi echilateral înălțimea

coincide cu mediană a și cu bisectoarea

astfel CD va fi și bisectoarea

unghiului c unghiul c are De asemenea

măsura egală cu 60 de grade și

atunci va dezvoltată măsura unghiului

acd va fi egală cu 30 de grade

dacă triunghiul abc este echilateral

iar c d este înălțime rezultă că

c d este și bisectoarea unghiului

c astfel măsura unghiului acd a

fi egală cu 30 de grade adică jumătate

din măsura unghiului c acum ne

uităm În triunghiul aoc nu știm

că în orice triunghi suma măsurilor

unghiurilor este egală cu 180 de

grade pentru a calculăm măsura

unghiului aoc din cele 180 de grade

o să scădem măsurile unghiurilor

ascuțite pe care deja le am de

terminat în triunghiul aoc măsura

unghiului aoc este egală cu 180

de grade minus măsura unghiului

ouais minus măsura unghiului oc

a și în el cu 180 de grade minus

30 de grade minus 30 de grade adică

120 de grade am aflat măsura unghiului

obtuz format de bisectoare și înălțime

dacă dorim să calculăm și măsura

unghiului ascuțit a o d o să scădem

din 180 de grade măsura unghiului

obtuz observăm că unghiurile a

o d și a o c sunt adiacente suplementare

acestea formează împreună unghiul

alungit d o c și atunci ca să aflăm

măsura unghiului aod din 180 de

grade scădem 120 de grade și obținem

60 acum să trecem la punctul b

Fie M un punct situat pe dreapta

b c astfel încât c să fie situat

în interiorul segmentului b m iar

b c să fie congruent cu cm ma trebui

astfel să prelungim latura b c

un alt segment c m congruent cu

b c se cere să calculăm măsurile

unghiurilor triunghiului abm adică

măsura unghiului b a m măsura unghiului

abm și măsura unghiului amb mai

întâi o să scrie măsura unghiului

abm cunoaștem deja această măsură

a este egală cu 60 de grade pentru

că triunghiul abc este echilateral

și astfel unghiul b are măsura

egală cu 60 de grade o să șterg

rezolvarea de la punctul a acasă

am spațiu pentru punctul b după

cum spuneam măsura unghiului abm

este egală cu 60 de grade pentru

că triunghiul abc este echilateral

munca Niculae Mai întâi măsura

unghiului a c m să vedem cum putem

să calculăm măsura acestui unghi

știind că măsura unghiului ACB

este egală cu 60 de grade și atunci

acestui unghi ACM fiind adiacent

și suplementar cu unghiul ACB el

va avea măsura egală cu 120 de

grade să scriem lucrul acesta măsura

unghiului ACM va fi egală cu 180

de grade minus măsura unghiului

ACB egal cu 180 de grade minus

60 de grade și egal cu 120 de grade

astfel acest unghiul avea măsura

egală cu 120 de grade nu știm că

bc este congruent cu cm dar BC

este congruent și cu ac pentru

că toate laturile unui triunghi

echilateral sunt congruente înseamnă

că ac va fi la rândul ei congruentă

cu c m astfel aceste două segmente

sunt congruente înseamnă că triunghiul

a c m este un triunghi isoscel

dacă între un triunghi isoscel

cunoaștem Măsura unui unghi putem

calcula destul de simplu și măsurile

celorlalte două unghiuri dacă BC

este egal cu cm din ipoteză iar

BC este egal cu ac pentru că triunghiul

abc este echilateral a rezultat

că AC este egal cu cm înseamnă

că triunghiul ACM este isoscel

în acest triunghi Am calculat deja

măsura unghiului acn aceasta este

120 de grade pentru a calcula măsura

unghiului m respectiv măsura unghiului

c a m din 180 de grade scădem 120

de grade și împărțim rezultatul

la 2 pentru ca aceste două unghiuri

ascuțite sunt congruente astfel

măsura unghiului c a m va fi egală

cu măsura unghiului c m a și egal

cu 180 de grade minus 120 de grade

totul împărțit la doi știm că un

triunghi isoscel are unghiurile

alăturate bazei congruente egal

cu 60 de grade împărțit la 2 și

egal cu 30 de grade am de terminat

măsura unghiului m și măsura unghiului

c a m astfel putem să scriem că

măsura unghiului amb va fi egală

cu 30 de grade Am calculat astfel

două unghiuri din triunghiul abm

mai trebuie să calculăm măsura

unghiului b a m aceasta se obține

adunând măsura unghiului BAC Care

este egală cu 60 de grade cu măsura

unghiului c a m Care va fi egală

cu 30 de grade obținem astfel că

unghiul a va avea măsura egală

cu 90 de grade Deci triunghiul

b a m este un triunghi dreptunghic

măsura unghiului b a m este egală

cu măsura unghiului BAC plus măsura

unghiului c a m egal cu 60 de grade

plus 30 de grade egal cu 90 de

grade Am calculat astfel și măsura

unghiului b a m