Triunghiul isoscel (teorie)
Tag-uri
Partajeaza in Google Classroom
Transcript
proprietățile triunghiului isoscel
triunghiul care are două laturi
congruente se numește triunghi
isoscel În figura de mai jos triunghiul
ABC este isoscel de oarece acesta
are laturile AB și AC congruente
cea de a treia latură b c are nu
este egală cu celelalte două se
va numi baza triunghiului iar unchiul
ei adică unghiul opus bazei se
va numi mai simplu unghiul de la
vârf avem următoarea teoremă Dacă
un triunghi este isoscel atunci
unghiurile opuse laturilor congruente
sunt congruente unghiul opus laturii
AC este unghiul b iar unghiul opus
laturii AB este unghiul c o a trebui
să demonstrăm că unghiurile b și
c sunt congruente pentru a demonstra
congruență acestor două unghiuri
o să le încadrăm în două triunghiuri
o face o construcție ajutătoare
100 fix în mijlocul laturii BC
pe care o să îl notez cu Dap Și
o să construim mediană ad știm
din ipoteze că AB este congruent
cu ac și trebuie să demonstrăm
că unghiul b este congruent cu
unghiul c unde mustrată triunghiul
ABD este congruent cu triunghiul
acd se anunță mai întâi construcția
făcută și e d un punct care aparține
segmentului BC astfel încât BD
să fie congruentă cu cd știm din
ipoteze că AB este congruent cu
ac deoarece triunghiul este isoscel
știind că BD este congruent cu
cd din construcția pe care a făcut
o am găsit până acum două laturi
respectiv congruente mai trebuie
să găsim o latură sau un unghi
având în vedere că despre unghiul
nu avem nici o informație moemax.ro
de cazurile de congruență care
fac referire la unghiuri observăm
că cele două triunghiuri au o latură
comună aceasta este latura a d
că a d este congruent cu ad fiind
o latură comună din cele trei relații
va rezulta conform cazului de congruență
latura latura latura că triunghiul
ABD este congruent cu triunghiul
acd ia din această relație de congruență
va rezulta că unghiul b este congruent
cu unghiul c rețineți că dacă un
triunghi este isoscel Acesta are
unghiurile alăturate bazei congruente
este valabilă și reciproca acestei
teoreme teorema numărul 2 Dacă
un triunghi are două unghiuri congruente
atunci laturile opuse acestora
vor fi congruente Adi că triunghiul
este isoscel presupunem că avem
un triunghi oarecare abc în care
unghiul b este congruent cu unghiul
c și ne propunem Să arătăm că acest
triunghi este isoscel mai exact
va trebui să arătăm că AB este
congruent cu ac îmi face din nou
o construcție ajutătoare o duce
înălțimea din a a construit ad
perpendiculară pe BC iar pentru
a demonstra că laturile ab și ac
sunt congruente numai arătată triunghiul
ABD este congruent cu triunghiul
acd anunțăm construcția făcută
fie AD perpendiculară pe BC Observați
că stau format Două triunghiuri
dreptunghice măsura unghiului adb
mafya gală cu măsura unghiului
adc și în ala cu 90 de grade observăm
că aceste două triunghiuri au o
catetă comună aceasta este latura
ad nu scrie că a d este congruent
cu ad fiind o latură comună mai
știi Minnie pe teză că unghiul
b este congruent cu unghiul c din
aceste două relații rezultă conform
cazului de congruență catetă unghi
a triunghiul ABD este congruent
cu triunghiul acd iar congruență
acestor două triunghiuri implică
și congruența ipotenuze lor acestora
adică ab va fi congruentă cu ac
înseamnă că triunghiul ABC este
isoscel urmează o serie de teoreme
referitoare la liniile importante
în triunghi isoscel Dar pentru
a înțelege mai bine deosebirile
dintre un triunghi isoscel și un
triunghi oarecare în ceea ce privește
poziția liniilor importante Haideți
să facem mai întâi o comparație
în partea stângă avem un triunghi
oarecare iar în partea dreaptă
în triunghi isoscel voi duce mai
întâi În triunghiul oarecare câteva
linii importante o să încep cu
construcția bisectoarei fie a m
bisectoarea unghiului a știind
că o bisectoare împarte un unghi
în două unghiuri congruente B a
m va fie congruent cu unghiul m
a c acum Voi construi înălțimea
dusă din vârful a a n este înălțime
a n este perpendiculară pe BC acum
duce mediană a d unde d este mijlocul
segmentului BC și acum construim
mediatoarea vă reamintesc că mediatoarea
este perpendiculară ridicată din
mijlocul segmentului adică din
punctul d voi duce o perpendiculară
pe BC pe care am notat tocul de
f acestea sunt liniile importante
construite într un triunghi oarecare
să vedem acum construcția acestor
linii importante în triunghi isoscel
construim mai întâi bisectoarea
aduse din vârf a m este bisectoare
unghiul b a m va fie congruent
cu unghiul m a c Acum mă voi duce
cu altă culoare înălțimea Observați
că înălțimea coincide cu bisectoarea
unghiului A de ce aceste drepte
se suprapun construim cu verde
mediană putem observa că și mediană
a coincide cu înălțimea și cu bisectoarea
iar dacă vom construi Mediatoarea
laturii b c cu galben observăm
că aceasta coincide cu celelalte
linii construite anterior aceasta
va fi una dintre teoremele importante
ale triunghiului isoscel și anume
bisectoarea unghiului din vârf
va fi înălțime mediană și mediatoare
teorema 3 Dacă un triunghi este
isoscel atunci bisectoarea unghiului
de la vârf este și înălțime mediană
și mediatoare În triunghiul isoscel
ABC am dus bisectoarea ad sau format
două unghiuri congruente trebuie
să arătăm că ad este înălțime mediană
și mediatoare în ipoteză a următoarele
date AB este congruent cu ac unghiul
b a d este congruent cu unghiul
c a d trebuie să arătăm că ad este
înălțime adică arătăm că AD este
perpendiculară pe BC trebuie să
arătăm că AD este mediană adică
arătăm că punctul D este mijlocul
segmentului BC și mai trebuie să
arătăm că AD este și mediatoare
dar dacă reușim să demonstrăm de
rația de perpendicularitate dintre
AD și BC respectiv congruența segmentelor
BD și CD atunci va rezulta implicit
că AD este și mediatoare cum demonstram
mai întâi Relația de congruență
dintre segmentele bd și CD pentru
a demonstra ca aceste două segmente
sunt congruente am arătat că triunghiul
ABD este congruent cu triunghiul
acd se știe din ipoteza că AB este
congruent cu ac Călin ipoteze știind
că unghiul b a d este congruent
cu unghiul c a d și cele două triunghiuri
au o latură comună aceasta este
a d a d congruent cu ad fiind o
latură comună din cele trei relații
va rezulta conform cazului de congruență
latura latura că triunghiul ABD
este congruent cu triunghiul acd
de aici va rezulta că BD este congruent
cu cd așadar am demonstrat că AD
este mediană unul această relație
mai trebuie să demonstrăm că AD
este perpendiculară pe BC Toni
congruență a celor două triunghiuri
mai rezultă și că unghiul adb este
congruent cu unghiul adc dar cele
două unghiuri sunt suplementare
Deoarece ele formează împreună
unghiul alungit bdc are are măsura
de 180 de grade ele fiind unghiuri
suplementare și congruente A rezultat
că fiecare dintre acestea are măsura
de 90 de grade adică ele vor fi
unghiuri drepte ma rezultatul în
Cică AD este perpendiculară pe
BC din faptul că triunghiul ABD
este congruent cu triunghiul acd
rezultă că unghiul adb este congruent
cu unghiul adc adică măsura unghiului
adb este egală cu măsura unghiului
adc dar Acestea fiind unghiuri
suplementare Putem să scriem că
măsura unghiului adb plus măsura
unghiului adc egal 180 de grade
din cele două relații a rezultată
măsura unghiului adb este egală
cu măsura unghiului adc și egal
cu 180 de grade împărțit la 2 egal
cu 90 de grade având în vedere
că acestea sunt unghiul drept a
va rezulta Așadar că AD este perpendiculară
pe BC notăm această relație cu
doi așadar am arătat că AD este
mediană conform relației 1 a arătat
că a d este înălțime copil relație
pe care am notată cu doi ia din
relația 1 și 2 ma rezulta că AD
este și mediatoare urmează teorema
numărul 4 Dacă un triunghi este
isoscel atunci mediana corespunzătoare
bazei este și bisectoarea unghiului
de la vârf În triunghiul isoscel
ABC am construit ad mediană pentru
a demonstra că aceasta este și
bisectoarea unghiului a se folosește
metoda triunghiurilor congruente
se demonstrează congruență a triunghiurilor
ABD și adc o să vă las pe voi să
vă gândiți Cum putem face această
demonstrație teorema numărul 5
dacă întru un triunghi o bisectoare
este și mediană atunci triunghiul
este isoscel așa teorema 5 este
reciproca teoremei numărul 4 și
se demonstrează folosind metoda
triunghiurilor congruente trema
numărul 6 Dacă un triunghi este
isoscel atunci mediană corespunzătoare
bazei este și înălțime este valabilă
și reciproca teoremei șase și anume
Dacă într un triunghi înălțimea
corespunzătoare are unei laturi
este și mediană atunci triunghiul
este isoscel teorema numărul 8
Dacă un triunghi este isoscel atunci
înălțimea corespunzătoare bazei
este și bisectoarea unghiului de
la vârf și reciproca teoremei opt
este teorema numărul 9 dacă între
un triunghi bisectoarea unui unghi
este și înălțime atunci triunghiul
este isoscel Toate aceste teoreme
se demonstrează folosind metoda
triunghiurilor congruente o să
vă las pe voi să faceți acestei
demonstrații urmează teorema numărul
10 un triunghi isoscel are două
înălțimi congruente În triunghiul
isoscel ABC se știe că AB este
congruent cu ac am construit înălțimile
duse din vârfurile alăturate bazei
BM perpendicular pe AC și CN perpendicular
pe AB trebuie să demonstrați că
aceste două înălțimi sunt congruente
mai întâi scriem ipoteza avem un
triunghi ABC astfel încât AB este
congruent cu ac am dus dm perpendiculară
pe AC și ce an perpendiculară pe
ab trebuie să demonstrăm că aceste
înălțimi sunt congruente b m este
congruentă cu c n pentru a demonstra
congruență acestor două înălțimile
încadrăm în două triunghiuri aceste
triunghiuri sunt dreptunghice este
vorba despre triunghiul abm și
triunghiul acn mai întâi bou scrie
că acestea sunt triunghiuri dreptunghice
Deci în triunghiul abm măsura unghiului
amb este egală cu 90 de grade pentru
că BM este perpendiculară pe AC
iar în triunghiul acn măsura unghiului
anc este egală cu 90 de grade având
în vedere că trebuie să demonstrăm
congruență a două triunghiuri dreptunghice
este suficient să găsim două elemente
congruente știind din ipoteză că
ab este congruentă cu ac a b și
a c fiind ipotenuzei în aceste
două triunghiuri și observăm că
acestea ei mai au un unghi comun
este vorba de unghiul a unghiul
b a m este congruent cu unghiul
c a n fiind un unghi comun din
aceste două relații va rezulta
conform cazului de congruență ipotenuză
unghi ca triunghiul abm este congruent
cu triunghiul acn iar această relație
de congruență implică congruența
segmentelor BM și CN rețineți că
un triunghi isoscel are două înălțimi
congruente este vorba despre înălțimile
duse din vârfurile alăturate bazei
este valabilă și reciproca chestie
teoreme teorema numărul 11 Dacă
intru în triunghi două înălțimi
sunt congruente atunci triunghiul
este isoscel următoarea teoremă
teorema 12 pentru un triunghi isoscel
bisectoarele interioare ale unghiurilor
congruente sunt congruente am bn
bisectoarea unghiului b și c n
bisectoarea unghiului c pentru
a demonstra congruență acestor
bisectoare se demonstrează congruență
a triunghiurilor abm și acn a fi
cazul unghiular unghi Puteți să
faceți voi această demonstrație
teorema numărul 13 în triunghi
isoscel medianele corespunzătoare
laturilor congruente sunt congruente
am dus de mediană corespunzătoare
laturii AC și ce e mediană corespunzătoare
laturii ab așa dar e și f sunt
mijloacele segmentelor ac și ab
pentru a demonstra concurența medianelor
b e și c f se demonstrează că triunghiul
ABC este congruent cu triunghiul
acf conform cazului de congruență
la triunghi latură și ultima teoremă
într un triunghi isoscel mediatoarea
corespunzătoare bazei este axa
de simetrie am dus a d mediatoarea
laturii BC Variant aska o axă de
simetrie este o dreaptă care împarte
o figură în două jumătăți care
se pot suprapune observăm că triunghiul
ABD este congruent cu triunghiul
adc Așadar ad va fi axa de simetrie