Funcții monotone (teorie)

o categorie importantă de funcții

este cea a funcțiilor monotone

despre care să discutăm în acest

clip avem o funcție f definită

pe a cu valori în b nu îmi spune

că f este crescătoare dacă oricare

ar fi X1 și X2 două elemente ale

se arbitrat din domeniul de definiție

între care există relația x 1 mai

mic decât x 2 să avem că f de x

1 mai mic sau egal decât f de x

2 observăm că o funcție este crescătoare

dacă ia păstrează relația de ordine

dintre argumente și pentru valorile

funcției în cazul în care aici

avem o inegalitate strictă atunci

funcția se numește strict crescătoare

să dăm și un exemplu și F definită

pe r cu valori în intervalul 0

infinit f de x egal cu 2 la x alegem

două elemente X1 și X2 din R astfel

încât x 1 să fie mai mai decât

x noi în acest caz observăm că

2 la puterea x 1 este mai mic decât

2 la puterea X2 prin urmare f de

x 1 va fi mai mic decât f de x

doi Așadar spunem în acest caz

că funcția f este strict crescătoare

o funcție este numește descrescătoare

dacă oricare ar fi X1 și X2 elemente

arbitrare din domeniul de definiție

între care există relația x 1 mai

mic decât x 2 să avem că fdx 1

mai mare sau egal decât f de x

2 Așadar o funcție descrescătoare

schimbă relația de ordine dintre

argumente pentru valorile funcției

în cazul în care aici avem inegalitate

strictă vom spune că funcția este

strict descrescătoare să dăm și

un exemplu și e f definită pe 0

infinit cu valori în intervalul

0 infinit f de x egal cu 1 pe x

dacă alegem două elemente X1 și

X2 din domeniul de definiție astfel

încât x 1 să fie mai mic decât

x 2 atunci 1 supra X1 va fi mai

mare decât 1 supra X2 dintre două

fracții cu același numărător este

mai mare cea cu numitorul mai mic

prin urmare f de x 1 este mai mare

decât f de x 2 în acest caz funcția

este strict descrescătoare o funcție

se numește monotonă dacă este crescătoare

sau descrescătoare să vedem în

continuare cum ar arăta graficele

acestor funcții considerăm un sistem

de axe x o y alegem pe axa absciselor

două elemente x 1 x 2 astfel încât

x 1 să fie mai mic decât x 2 ne

interesează să vedem cum ar arăta

graficul unei funcții crescătoare

în cazul în care f este crescătoare

Atunci e de x 1 trebuie să fie

mai mic decât f de x 2 pe axa ordonatelor

avem valorile funcție pentru argumentele

X1 și X2 Haideți să notăm mai simplu

aceste valori cu igrec 1 și cu

y 2 dacă funcția este crescătoare

atunci y 2 trebuie să fie mai mare

decât y cu nu așa dar pe axa ordonatelor

y2 trebuie să fie situat mai sus

decât y 1 și acum dacă unim cele

două puncte printr o dreaptă obținem

graficul unei funcții crescătoare

dacă citim acest grafic de la stânga

spre dreapta observăm că acesta

urcă să vedem cum arată graficul

în cazul în care funcția este descrescătoare

avem sistemul de axe x o y pe axa

absciselor alegem arbitrar două

valori x-1 și x 2 astfel încât

x 1 să fie mai mic decât x 2 dacă

funcția este strict descrescătoare

atunci f de x 1 este mai mare decât

f de x 2 pe axa ordonatelor avem

valorile acestei funcții pentru

argumentele X1 și X2 undeva aici

am avea efd X1 sau mai simplu y1

iar E F d x 2 sau y2 trebuie să

fie mai mic decât y cu nu așa dar

pe axa ordonatelor y2 este situat

mai jos decât igrec 1 iar acum

dacă unim aceste două puncte printre

o dreaptă obținem graficul unei

funcții descrescătoare observăm

că acest grafic citit de la stânga

spre dreapta coboară prin urmare

putem să stabilim monotonia unei

funcții și Privind graficul acesteia

dacă graficul urcă atunci funcția

este crescătoare iar dacă graficul

coboară atunci funcția este descrescătoare

există însă și situații în care

graficul unei funcții poate arăta

Cam așa observăm că pe această

porțiune graficul funcției urcă

Deci funcția este crescătoare apoi

pe această porțiune graficul coboară

apoi graficul urcă Deci funcția

este crescătoare și pe ultima porțiune

graficul coboară Deci funcția este

descrescătoare observăm Așadar

că este posibil ca o funcție să

nu aibă aceeași monotonie pe întreg

domeniul de definiție și atunci

îmi spune că ea are intervale de

monotonie Iată pe acest interval

funcția este crescătoare pe acest

interval funcția este descrescătoare

pe următorul interval funcția este

crescătoare iar pe ultimul interval

funcția este descrescătoare Așadar

să reținem că în cazul în care

funcția nu are aceeași monotonie

pe întreg domeniul de Definiție

si va studia monotonia acesteia

pe intervale să vedem în continuare

care sunt modalitățile prin care

putem studia monotonia unei funcții

în rezolvarea exercițiilor exista

doua procedee prin care putem să

dea monotonia unei funcții fie

f definită pe a cu valori în b

și alegem două elemente X1 X2 arbitrare

din domeniul de definiție astfel

încât x 1 să fie mai mic decât

x 2 în prin procedeul prin care

putem studia monotonia unei funcții

este să calculăm diferența f de

x 1 minus f de x 2 și Avem două

situații posibile dacă f de x 1

minus f de x 2 este mai mic decât

0 asta înseamnă că f de x 1 este

mai mic strict decât ix2 în acest

caz funcția f este strict crescătoare

și a doua posibilitate dacă f de

x 1 minus f de x 2 este mai mare

decât zero Adică mtx 1 este mai

mare decât f de x 2 atunci în această

situație funcția este strict descrescătoare

și un al doilea procedeu prin care

putem studia monotonia funcțiilor

alegem două valori arbitrare X1

și X2 din a astfel încât x 1 să

fie mai mic decât x 2 calculăm

valoarea raportului fdx 1 minus

f de x 2 supra x 1 minus x 2 acest

raport se mai numește raportul

de variație asociat funcției f

Avem două cazuri posibile Dacă

raportul este pozitiv atunci funcția

este strict crescătoare iar și

explicația dacă x-1 este mai mic

decât x 2 atunci această diferență

este negativă Dacă raportul este

pozitiv atunci diferența de la

numărătorul fracției trebuie să

fie și aceasta negativă prin urmare

fdx 1 este mai mic decât f de x

2 și atunci funcția este strict

crescătoare și a doua posibilitate

Dacă raportul este negativ atunci

funcția va fi strict descrescătoare

în această situație diferența x

1 y minus x 2 rămâne negativă Dar

pentru că raportul este negativ

diferența de la numărător este

pozitivă Așadar fdx 1 este mai

mare decât f de x 2 prin urmare

funcția este strict descrescătoare

în rezolvarea exercițiilor o să

ne alegem una dintre cele două

modalități de a studia monotonia

funcțiilor Iar acest lucru se va

întâmpla în clipul urmator