Limite de funcții 1

noțiunea de limită a unei funcții

este o noțiune fundamentală în

analiza matematică deoarece Ea

stă la baza calculului diferențial

și a calculului integral atunci

când calculăm limita unei funcții

întru un punct studiem comportarea

funcției în jurul acelui punct

mai exact Dacă x y Avalor din ce

în ce mai apropiată de un punct

A atunci valorile funcției f Se

apropie din ce în ce mai mulți

de același număr el dacă acest

lucru are loc atunci vom spune

că numărul El este limita funcției

și scrie în limită când x tinde

la a din f de x este egală cu el

să luăm un exemplu Considerăm funcția

f de x egal cu x plus 3 dorim să

studiem Ce se întâmplă cu valorile

funcției atunci când x y Avalor

din ce în ce mai apropiate de 2

Iată dacă x este 1 f de x este 4

dacă x este 1 f d x este egal cu

4 dacă x este 1 9 9 9 f de x este

egal cu 4 nouă nouă nouă să luăm

acum și valori mai mari ca 2 dacă

x este 2 f de x este egal cu 5 1

iar dacă x este 2 1 atunci f de

x este egal cu 5 1 observăm catul

când x se apropie de doi atât prin

valori mai mici decât 2 cât și

prin valori mai mari ca 2 funcția

ia valori din ce în ce mai apropiate

de cinci putem vedea acest lucru

și Patrick Iată reprezentarea grafică

a funcției avem o funcție de gradul

întâi prin urmare graficul acesteia

este o dreaptă observăm că atunci

când x se apropie de numărul 2

atât din partea stângă în sens

crescător cât și din partea dreaptă

în sens descrescător valorile funcției

se apropie de 5 valorile funcției

f de x sunt întotdeauna situate

pe axa o y dacă nu vă este clar

Cum citim valorile funcție de pe

grafic procedeul este următorul

ne alegem un punct pe axa o x apropia

de doi urmăriți vă rog punctul

roșu de pe grafic ducem o dreaptă

verticală paralelă cu Axa o y până

când aceasta intersectează graficul

funcției apoi din punctul situat

pe grafic ducem o dreaptă orizontală

paralelă cu o x până când aceasta

intersectează axa o y y punctul

A astfel obținut pe axa o y reprezintă

valoarea funcției calculată în

punctul din care am pornit Dacă

Repetați acest procedeu de câteva

ori veți vedea că Pe măsură ce

alege în puncte din ce în ce mai

apropiate de 2 valorile funcției

vor fi din ce în ce mai apropiate

de cinci Așadar vom scrie că limită

când x tinde la 2 din f de x este

egală cu limită când x tinde la

2 din x plus 3 și egală cu 5 observăm

că în acest caz limita se poate

calcula prin substituție directă

adică îl Înlocuim pe x cu valoarea

la care tinde și obținem limita

dar vor fi și situații Când acest

lucru nu va fi posibil pentru început

să reținem cu o funcție f are limită

el într un punct A dacă atunci

când x se apropie de ei din ambele

părți fdx se apropie de același

număr al în cazul în care valorile

funcției nu se apropie de același

număr al atunci vom spune că nu

există limită în punctul de respectiv

să vedem un alt exemplu pussy dărâm

funcția f de x egal cu x la a doua

minus 9 supra x minus 3 unde x

este diferit de 3 ne propunem să

calculăm limita funcției în punctul

3 chiar dacă trei nu face parte

din domeniul de definiție putem

totuși calcula limita în acest

punct de o are si aceasta nu se

referă la valoarea funcției în

punctul 3 așa cum am văzut mai

devreme limita se calculează pentru

valori care se apropie de trei

Încercăm mai întâi prin substituție

directă înlocuind pe x cu trei

acesta este întotdeauna primul

pas În încercarea de a calcula

o limită 3 la a doua este 9 9 minus

9 este 0 iar la numitor Avem 3

minus 3 egal cu 0 observăm că prin

înlocuire directă obținem 0 supra

0 iar acesta nu este un rezultat

acceptat pentru calculul unei limite

0 pe 0 este un caz de nedeterminare

sau caz de excepție pentru că 0

supra Orice număr este 0 dar Pe

de altă parte orice număr împărțit

la el însuși este 1 deci suntem

între o situație ambiguă așa că

matematicienii au decis că zero

pe zero rămâne un caz de nedeterminare

pentru a rezolva această situație

trebuie să prelucrăm funcția astfel

încât să eliminăm numitorul se

poate observa că la numărător avem

Diferența a două pătrate perfecte

și vom descompune expresia în factori

utilizând formula a la a doua minus

b la a doua egal cu a minus b pe

lângă a plus b Deci x la a doua

minus 9 este egal cu x minus 3

pe lângă x plus 3 în felul acesta

vom putea simplifica fracția cu

x minus 3 întrucât x este diferit

de 3 și obținem că f de x este

egal cu x plus 3 am eliminată felul

acesta factorul x minus 3 care

a condus la nedeterminare și în

continuare se poate calcula limita

prin substituție directă limită

când x tinde la 3 din x la a doua

minus 9 supra x minus trei este

egal cu limită când x tinde la

3 din x plus 3 egal cu 6 așa dar

când x este apropiat de 3 în valorile

funcției sunt din ce în ce mai

apropiate de 600 Max amplu Considerăm

funcția f de x egal cu 1 supra

x plus 2 cu x diferit de minus

doi ne propunem să calculăm limită

când x tinde la minus 2 din f de

x prin înlocuire directă obținem

1 supra 0 și acum urmează partea

interesantă Ce semn are 0entru

un alt context întrebarea acest

semn are 0 ar părea absurd Da dar

la analiza matematică 0 are semn

pentru că vorbim De fapt de o valoare

apropiată de zero și aceasta poate

să fie pozitivă sau negativă să

luăm câteva valori care se apropie

de minus doi atât din partea stângă

cât și din partea dreaptă și se

fac cu lemn valoarea expresiei

x plus 2 în aceste puncte dacă

x este minus 2 atunci x plus 2 va

fi minus 0 dacă x este minus 2 x

plus 2 va fi minus 0 pentru x egal

cu minus 1 x plus 2 va fi unu iar

pentru x egal cu minus 1 x plus

2 este egal cu 0 pentru că am obținut

atât valori pozitive apropiate

de 0 cât și valori negative va

trebui să calculăm două limite

atunci când x se apropie de minus

doi din partea stângă adică din

valori mai mici decât minus 2 calculăm

limita la stânga iar când x se

apropie de minus 2 având valori

mai mari decât minus 2 calculăm

limita la dreapta limita la stânga

și limita la dreapta se numesc

limite laterale iar condiția ca

o funcție să aibă limită într un

punct este ca cele două limite

să fie egale și acum Haideți în

calculăm aceste limite limita la

stânga este egală cu 1 supra 0

negativ Pentru că așa cum am văzut

în tabel când x valori la stânga

lui minus 2 numitorul x plus 2

ia valori negative atunci când

împărțim unul la o valoare foarte

apropiată de 0 obținem infinit

iar pentru că avem 0 negativ Rezultatul

este minus infinit Pentru a înțelege

mai bine De ce 1 pe 0 este infinit

vă invit să vizionați filmul împărțirea

la 0 și simbolul infinit Pentru

limita la dreapta obținem 1 supra

0 pozitiv iar rezultatul va fi

plus infinit observăm că cele două

limite sunt diferite având în vedere

că fdx nu se apropie de aceeași

valoare vom spune că nu există

limită când x tinde la minus 2

din 1 supra x plus 2 pentru a înțelege

mai bine aceste aspecte vom vizualiza

și graficul funcției Iată când

x se apropie de minus 2 din stânga

y&y prima nu se infinit iar când

x se apropie din dreapta y din

despre plus infinit vă rog să rețineți

că pentru existența limitei unei

funcții în drum punct limitele

laterale trebuie să fie egal în

continuare vor urma o serie de

filme cu limite de funcții un prim

pas în calculul limitelor este

substituția directă dacă aceasta

conduce la un caz de nedeterminare

vom folosi diverse procedee pentru

eliminarea ne determinării cazurile

de nedeterminare sunt 0 pe 0 infinit

pe infinit Infinit minus infinit

0 ori infinit 0 la 0 infinit la

0 și 1 la infinit