Proprietățile determinanților- aplicații
Tag-uri
Partajeaza in Google Classroom
Transcript
ne propunem Spre exemplu să calculăm
acest determinant pentru a calcula
mai ușor urmărim să obține în urma
aplicării unor proprietăți cât
mai multe zerouri Spre exemplu
pe linia a doua sau pe linia a
treia sau coloana a treia respectiv
coloana a patra să ne oprim la
linia a doua ne propunem să obținem
în locul acestui element 0 păstrăm
Așadar coloana a doua doi unu minus
trei patru iar această coloană
o înmulțim cu minus 2 adunăm la
coloana 1 adică 1 plus 2 ori minus
2 2 plus 1 ori minus 2 3 plus minus
3 ori minus 2 2 plus 4 ori minus
2 pentru a obține și locul acestui
element vom aduna coloana a 2 cu
coloana 3 obținem 2 minus 2 1 minus
1 minus 3 plus 0 4 din Auchan coloana
a patra o Vom copia deoarece aceasta
îl conține deja pe 0 3 0 5 2 am
obținut Așadar determinantul 1
minus 4 minus 3 2 minus 2 0 3 plus
6 9 2 minus 8 minus 6 2 1 minus
3 4 0 0 minus 3 3 3 0 5 2 putem
dezvolta acum după linia 2 obținând
determinantul 1 înmulțit cu minus
1 la puterea 2 plus 2 înmulțit
cu determinantul obținut prin suprimarea
liniei 2 și a coloanei 2 adică
determinantul minus 3 0 3 9 minus
3 5 minus 6 3 2 țigan observăm
că elementele coloanei 1 respectiv
coloanei 2 sunt multiplii de 3
și atunci determinantul acesta
îl putem scrie ca fiind minus 3
înmulțit cu minus 3 înmulțit cu
1 minus 3 2 0 1 minus 1 3 5 2 noul
determinant obținut observăm că
dacă vom aduna linia 3 la linia
2 obținem elementul de pe linia
a doua coloana a doua egal cu zero
ceea ce ne permite dezvoltarea
după coloana a doua adică avem
astfel nouă înmulțit cu spuneam
că păstrăm linia 1 1 0 3 păstrăm
linia 3 2-a minus 1 2 iar la această
linie adunăm linia doua obținând
elementele minus unu zero șapte
Așadar determinantul este egal
cu 9 înmulțit cu minus 1 înmulțit
cu minus 1 la puterea linia a treia
coloană a doua adică 5 și înmulțit
cu determinantul 1 3 minus 1 7
adică 9 înmulțit cu 7 plus 31090
o altă aplicație interesantă Este
și calculul determinantului vandermond
de ordin 3 acel determinant se
poate calcula utilizând atât regula
lui sarrus respectiv regula triunghiului
urmând ca în final se descompune
un factor expresia obținută cât
și metoda dezvoltării după o linie
sau după o coloană metodă care
ne oferă în același timp și descompunerea
în factori ne vom opri asupra ultimei
tehnici încercând însă să formăm
pe una dintre linii sau coloane
cât mai multe zerouri observăm
că linia 1 conține numere identice
Așadar va fi cel mai simplu să
formăm zerouri pe această linie
vom păstra astfel coloana 1 omul
cu minus 1 și vom aduna la coloana
a doua respectiv la coloana a treia
am obținut astfel determinantul
în care pe prima linie Avem două
zerouri putem dezvolta acum determinantul
după linia 1 Ținând 1 înmulțit
cu Delta 1 1 plus zero înmulțit
cu Delta 1 2 plus zero înmulțit
cu Delta unu trei avem Așadar determinantul
vetrei egal cu minus 1 la puterea
1 plus 1 înmulțit cu determinantul
obținut prin suprimarea liniei
1 și a coloanei 1 din determinantul
b3 observăm că elementele liniei
a doua din acest determinant pot
fi descompuse în produse de factori
Așadar observăm că elementele coloanei
întâi respectiv elementele coloanei
a doua sunt multipli cate prin
factorul b minus a respectiv c
minus a se obține astfel un determinant
egal cu produsul dintre cei doi
factori b minus a respectiv c minus
a și acest determinant în care
elementele coloanei întâi respectiv
coloanei a doua picăturile împărțirii
la acești factori vom calcula acum
acest determinant conform definiției
determinantului de ordinul 2 obținând
determinantul de 3 ca fiind produsul
dintre b minus a c minus a respectiv
c plus a minus b minus a Așadar
determinantul vetrei se poate scrie
sub formă de produs ca b minus
a c minus a respectiv c minus b
în mod Analog putem calcula un
determinant vandermonde ordinul
4 ca fiind un produs dintre b minus
a c minus a d minus a c minus b
d minus b d minus c adică un produs
de diferențe ale elementelor liniei
a doua în care descăzutul are indicele
de coloană mai mare decât celălalt
scăzătorului b minus a c minus
a mie nu se și așa mai departe
vă propun să aplicăm proprietățile
determinanților și în următoarea
problemă Fie a o matrice pătratică
de ordinul 3 care are elementul
doi doi elementul trei unu și elementul
trei trei depinzând de un număr
real X o prima cerință este să
determinăm numărul real x astfel
încât determinantul matricei a
de x să fie egal cu 0 a doua cerință
este să calculăm determinantul
matricei 2 Oradea iar în ultima
instanță nu se cere să calculăm
determinantul sumei matricelor
a 1 a 2-a de 2017 pentru calculul
determinantului matricei de x observăm
că adunând coloana 1 la coloana
3 obținem pe aceasta a pe coloana
a treia obținem două zerouri Așadar
determinantul matricei Alex este
1 0 x 2 x 0 0 0 2 x plus 1 determinant
pe care îl putem dezvolta după
coloana a treia astfel 2x plus
1 înmulțit cu minus 1 la puterea
3 plus 3 și înmulțit cu determinantul
obținut prin suprimarea liniei
3 și a coloanei 3 Adică determinantul
1 2 0 x Așadar determinantul matricei
a de x este egal cu 2x plus 1 înmulțit
cu x egal în Dar cum acest determinant
cu 0 obținem ecuația care are ca
soluții X1 egal cu minus 1 pe 2
și x 2 egal cu zero pentru calculul
determinantului ori ad1 vom folosi
proprietatea determinantul matricei
k ori a este egal cu k la puterea
n ori determinantul matricei a
de n reprezintă numărul de linii
respectiv de coloane al matricei
a Așadar determinantul matricei
2 Oradea 1 va fi egal cu 2 la puterea
a treia înmulțit cu determinantul
matricei ad1 cu un determinantul
matricei a de x este 2 x plus 1
înmulțit cu x locuind ul pe x cu
unu obținem determinantul matricei
2 ore Ea de 1 ca fiind egal cu
2 la a treia înmulțit cu 3 înmulțit
cu 1 L că 24 pentru rezolvarea
cerinței c să calculăm întâi suma
acestor Matrice vom înlocui în
matricea a de x pe x pe rând cu
o numerele naturale 1 2 2017 obținem
Așadar suma acestor 2017 Matrice
Care este egală cu matricea care
are ca elemente sumele elementelor
corespunzatoare din cele 2017 Matrice
adică unu plus unu plus unu de
2017 ori doi plus doi plus doi
de 2017 ori minus 1 minus 1 minus
1 de 2017 ori zero plus zero plus
zero unu plus doi plus 2017 zero
plus zero plus zero unu plus doi
plus 2000 17 0 plus 0 plus 0 și
în sfârșit 2 plus 3 plus 2018 calculând
aceste sume obținem matricea care
are ca elemente 2017 2017 ori 2
minus 2017 Am aplicat pentru calcula
chest a sumei suma lui Gauss obținând
numărul 2017 aur 2018 supra 2 în
același mod obținem și elementul
de pe linia 3 coloana 1 pentru
calculul acestui element la am
scris pe 2018 ca o sumă Dintre
1 și 2017 obținând Așadar suma
lui Gauss până la 2017 însumând
încă o dată numărul 2017 efectuând
calculele obținem această Matrice
și observăm că elementele matricei
a sunt divizibile cu 2017 ceea
ce înseamnă că o putem scrie ca
produsul dintre 2017 și matricea
care conține gâturile împărțirii
fiecărui element la 2017 observăm
de asemenea că elementele liniei
1 sunt aceleași cu elementele liniei
1 din ardei x iar în locul elementului
x observăm că avem 1.009 ad că
această Matrice nu este altceva
decît produsul dintre 2017 și a
de 1900mah acum calcula determinantul
aceste sume ad1 plasei de 2 plus
Adi 2017 ca fiind determinantul
matricei 2017 înmulțit cu a de
1.000 adică 2017 la puterea a treia
înmulțit cu 2 1.009 plus 1 înmulțit
cu 1.009 obținem așa dar determinantul
ca fiind egal cu 2017 la puterea
a treia înmulțit cu 2019 și înmulțit
cu 1.009