Reprezentarea geometrică a numerelor complexe (aplicații)
Tag-uri
Partajeaza in Google Classroom
Transcript
în acest videoclip vom rezolva
următorul exercițiu Reprezentați
în planul complex multimea punctelor
de afix z pentru care au loc relațiile
la punctul a modul din z este egal
cu 4 la punctul B modul din z este
mai mic decât 6 modul din z mai
mare sau egal decât 2 modul din
z este mai mare sau egal decât
2 și mai mic sau egal decât 5 modul
din z minus 1 plus 2 y este egal
cu 3 și la punctul f 1 este mai
mic decât modul din z minus 2 plus
e și mai mic decât 4 vom rezolva
pe rând fiecare situație în parte
Și începem cu punctul A trebuie
să găsim mulțimea punctelor de
afix z pentru care modul din z
este egal cu 4 ori amintesc că
modulul unui număr complex este
distanța de la origine până la
imaginea sa geometrică astfel dacă
z este un număr complex de formă
a plus b e și notez cu m imaginea
sa geometrică atunci modul din
z este egal cu lungimea segmentului
om așa dar va trebui să găsim toate
punctele m din plan pentru care
lungimea segmentului o m este egală
cu patru iar câteva dintre acestea
însă ele nu sunt singurele deoarece
toate punctele situate pe cercul
de centru o și rază 4 respectă
această condiție ca om să fie egal
cu patru dacă vă mai amintiți cercul
era mulțimea tuturor punctelor
din plan egal depărtate de un punct
fix Așadar punctul M va Descrie
un cerc punctele de afix z pentru
care modul din z este egal cu 4
sunt punctele situate pe cercul
de centru o și raza egală cu 4
trecem mai departe la punctul b
Trebuie să găsim punctele de afix
z pentru care modul din z este
mai mic strict decât șase dacă
am fi avut egalitate adică modul
din Z egal cu șase am fi construit
un cerc de centru O și raza egală
cu șase însă din moment ce modul
din z este strict mai mic decât
6 vom construi cercul de centru
O și raza 6 Dar vom lua în considerare
doar punctele situate în interiorul
acestui cerc Așadar punctele de
afix z pentru care modul din z
este strict mai mic decât 6 sunt
punctele situate în interiorul
cercului de centru O și raza 6
continuăm cu punctul c avem modul
din z mai mare sau egal decât 2
punctele pentru care modul din
z este egal cu 2 sunt punctele
situate pe cercul de centru o și
raza egală cu 2 însă noi avem aici
modul din z mai mare sau egal decât
2 Așadar putem lua în considerare
și punctele situate în exteriorul
acestui cerc mulțimea punctelor
de afix z pentru care modul din
z este mai mare sau egal decât
2 este mulțimea punctelor de Pe
cercul de centru o și rază 2 reunite
cu punctele situate în exteriorul
acestui cerc continuăm mai departe
cu punctul d avem modul din z mai
mare sau egal decât 2 și mai mic
sau egal decât 5 prima inegalitate
se reduce la cazul precedent am
văzut că atunci când modul din
z este mai mare sau egal decât
2 avem punctele situate pe cercul
de centru o și rază 2 reunite cu
punctele situate în exteriorul
acestui cerc însă trebuie să avem
grijă ca modul din z să fie în
același timp mai mic sau egal decât
5 Așadar va trebui să mai construim
un al doilea cerc cu centrul în
origine și raza egală cu cinci
și astfel se va forma o coroană
circulară Iată cercul din interior
albastru este cercul de centru
o și rază 2 aici avem punctele
de afix z pentru care modul din
z este egal cu 2 apoi punctele
situate în exteriorul acestui cerc
sunt punctele de afix z pentru
care modul din z este mai mare
decât 2 și am fost rate al doilea
cerc de centru o și rază egală
cu cinci pentru a respecta cea
de a doua inegalitate adică modul
din z mai mic sau egal decât 5
în consecință punctele de afix
z pentru care modul din z este
mai mare sau egal decât 2 și mai
mic sau egal decât 5 sunt punctele
din coroana circulară determinată
de cercurile concentrice de centru
o și rază 2 respectiv 5 la care
se adaugă punctele acestor cercuri
mergem mai departe la punctul E
avem modul din z minus 1 plus 2
y este egal cu 3 am notat cu un
numărul complex 1 plus 2 iar m
este imaginea geometrică Așadar
m este un punct fix în plan având
coordonatele 1 respectiv 2 folosind
notația de mai sus modulul se poate
scrie astfel modul din z minus
1 este egal cu 3 dar modulul diferenței
a două numere complexe reprezintă
distanța dintre imaginile lor geometrice
dacă nu te sculam imaginea geometrică
a numărului complex z iar m este
imaginea geometrică a numărului
complex atunci modul din z minus
1 este egal cu lungimea segmentului
a m m este un punct fixat în planul
complex iar a este un punct variabil
mai trebuie să găsim toate punctele
A pentru care distanța a m este
egală cu 3 din moment ce punctul
fix este punctul M înseamnă că
va trebui să construim un cerc
cu centrul în acest punct iar raza
acestui cerc va fi egală cu 3 Iată
Așadar punctele de afix z pentru
care are loc această relație sunt
punctele situate pe cercul de centru
o și raza egală cu 3 în continuare
trecem la punctul E avem modul
din z minus 2 plus in Iar acest
model se mai poate scrie astfel
modul din z minus 2 minus e am
ales să scriem sub forma aceasta
pentru a obține în modul o diferență
dintre două numere complexe am
notat cu numărul complex 2 minus
e și atunci această inegalitate
se va scrie astfel 1 este mai mic
decât modul din z minus 1 și mai
mic decât 4 1 este numărul complex
2 minus e și am notat cu m imaginea
sa geometrică m este un punct din
plan având coordonatele 2 respectiv
minus 1 dacă nu te sculam imaginea
geometrică a numărului complex
z iar mi este imaginea geometrică
a numărului complex atunci a m
va fi egal cu modul din z minus
unu și atunci din această relație
vom obține că unul este mai mic
decât a m și mai mic decât 4 m
Este un punct fixat în plan iar
a este un punct variabil noi Trebuie
să găsim toate punctele aflate
la o distanță față de m mai mare
decât 1 și mai mică decât patru
Dacă M este punctul fixat înseamnă
că trebuie să construim un cerc
cu centrul în m iar punctele situate
față de m la o distanță mai mare
decât 1 vor fi punctele situate
în rolul cercului de centru o și
rază 1 iar punctele situate la
o distanță mai mică decât patru
ore Fie punctele situate în interiorul
unui cerc cu centrul în m și raza
egală cu 4 cu alte cuvinte trebuie
să construim două cercuri Așadar
vom obține o coroană circulară
cercul mai mic albastru este cercul
cu centrul în m și raza egală cu
unu cercul galben din exterior
este cercul cu centrul în o și
raza egală cu 4 punctele de afix
z pentru care lungimea segmentului
a m este cuprinsă între 1 și 4
sunt punctele situate în coroana
circulară determinată de cele două
cercuri