Transformarea fracțiilor ordinare în fracții zecimale. Periodicitate
Tag-uri
Partajeaza in Google Classroom
Transcript
am continuat cu transformările
de fracții ordinare în fracții
zecimale și am trecut aici în paranteză
cuvântul periodicitate și o să
vedem imediat ce înseamnă și vrem
să scriem pentru început ca fracție
zecimală această fracție ordinară
25 supra 3 pe pentru celelalte
fracții ne Întrebam pentru început
să vedem dacă le putem simplifica
sau amplifica în așa fel încât
să obținem la numitor o putere
a lui 10 în această fracție cum
este este ireductibilă asta înseamnă
că nu ne rămâne decât să vedem
dacă putem să o amplificăm cu un
număr care înmulțit cu 3 să ne
dea o putere a lui 10 apoi nu există
un asemenea număr natural prin
urmare singura variantă de a scrie
această fracție ordinară ca fracție
zecimală este de el împărțit pe
25 la 3:00 și exact asta vom face
Deci notăm AE și 25 împărțit la
trei și vedem ce obținem Păi 3
intră în 25 de 8 ori 8 ori 324
facem scăderea și obținem 1 Deci
am obținut câtul 8 și restul 1
însă nu facem împărțirea cu rest
ci continuam și vom muta aici trecem
primul 0 nesemnificativ am ajuns
în dreptul virgulei pe care nu
o coborâm la arest si unde o trecem
la cât și la rest coborâm acest
0 10 împărțit la 3 Păi 3 intră
în 10 de trei ori trei ori 3 ne
dă nouă bun facem scăderea vom
obține aici unu nu sa terminat
împărțirea Deci coborâm încă un
zero din nou 10 împărțit la 3 tot
de 3 ori 3 ori 3 ne dă nouă facem
din nou scăderea și obținem iarăși
1 Păi mai coborâm încă un zero
10 împărțit la 3 ne dă tot trei
trei ori trei nouă iarăși obținem
1 acum tot nu se terminat împărțirea
ar trebui să mai coborâm încă un
zero să știți că nu e neapărat
nevoie să trecem zerourile nesemnificative
aici deci putem să trecem 0 fără
să mai apară și aici și din Noua
avem 10 împărțit la a treia rășini
apare 3 3 ori 3 ne dă nouă iar
și obținem 1 și așa mai departe
pui de fapt și observăm întotdeauna
aici o să ne rămână 1 și aici vom
obține zecimală 3 Deci urmează
trei trei și așa mai departe e
bine acest număr observăm că nu
este un număr zecimal finit pentru
că el are un număr infinit de zecimale
diferite de zero zecimală 3 se
repetă la infinit acest număr se
numește număr zecimal periodic
Deci 8 trei trei și așa mai departe
Îl numim număr zecimal periodic
sau o fracție zecimală periodică
Ce înseamnă acum cuvântul periodic
periodice ceva care se repetă și
în această situație perioada este
reprezentată de cea mai scurtă
secvență de cifre care se repetă
în acest caz nu vom spune că perioada
este 333 sau numărul 33 ce perioadă
este 3d.com cea mai scurtă secvență
de cifre care se repetă Și aici
este 3 Cum notăm acest număr Păi
îl putem nota astfel avem opt virgulă
și în această paranteză vom trece
acele cifre care alcătuiesc perioada
în cazul nostru cifra trei deci
opt virgulă perioada trei și înțelegem
acest număr 8 3 și așa mai departe
e bine aceste numere care au perioada
imediat după virgulă se numesc
numere zecimale periodice simple
Deci 8 este un număr zecimal periodic
simplu sau altfel spus o fracție
zecimală periodică simplă o să
vedem că există și numere care
între virgulă și perioadă mai au
și alte numere acelea nu vor mai
fi periodice simple Haideți să
facem un alt exemplu 94 supra 42
ce putem să facem la această fracție
păi în primul rând observăm că
numărătorul și numitorul sunt ambele
numere pare asta înseamnă că putem
să simplificăm această fracție
prin Cât prin 2 dec vrem să o simplificăm
pentru că vom obține numere mai
mici și mai ușor să lucrăm cu ele
și avem așa 94 împărțit la 2 ne
dă 4742 împărțit la 2 ne dă 20
fracția pe care am obținut o Cum
este Păi este ireductibilă acum
Oare putem să o amplificăm cu un
număr astfel încât la numitor să
obținem o putere a lui 10 Păi nu
pentru că 21 este un multiplu de
3 Deci nu există un număr natural
care înmulțit cu 21 să ne dea o
putere a lui 10 atunci împărțim
pe 47 la 21 și voi scrie împărțirea
aici 47 de fapt 47 împărțit la
21 21 intră în 47 de două ori 2
ori 21 ne dă 42 facem scăderea
obținem aici 5 8 trecem virgulă
și trecem primul 0 nesemnificativ
am ajuns în dreptul virgula o trecem
la cât Și coborâm la rest 0 50
împărțit la 21 Păi ce număr înmulțit
cu 21 ne dă un număr apropiat de
50 dar mai mic decât el Păi 2 2
ori 21 ne dă 42 dacă am fi trecut
trei obținem trei ore 21 63 era
prea mare obținem aici 8 trecem
următorul 0 Deci 80 împărțit la
21 de câte ori Păi de două ori
e prea puțin putem să trecem trei
trei ori 21 ne dă 63 dacă am trece
patru am avea patru ori 2184 arhi
prea mare Deci cel bun este 310
minus 3 7 aici ne rămâne 7 minus
șase unu Deci 17 coborâm încă un
zero numai nevoie neapărat să îi
scriem deja am spus 170 împărțit
la 21 cât să trecem aici Păi putem
să avem opt opt ori 1 ne dă 8 8
ori 2 ne dă 16 obținem 168 de clar
că acesta e cel mai apropiat Deci
vom avea aici 2 coborâm acum 0
20 împărțit la 21 de câte ori intră
21 în 20 Păi de 0 ori Deci venim
și notăm 0 ori 21 ne dă 0 facem
scăderea 20 după ce am făcut diferența
procedând ca mai înainte coborâm
următorul 0 200 împărțit la 21
Păi când am înmulțit pe 21 cu 8
am obținut 168 Haideți să luăm
acum nouă nouă ori 1 ne dă nouă
nouă ori 2 ne dă 18 și vom obține
aici Unul aici unu și nimic 11
coborâm 0 110 împărțit la 21 Păi
dacă vom trece patru vom avea aici
84 Unica mic dar dacă trecem cinci
cinci ori unu ne dă cinci și cinci
ori doi Nevada 10 adică obținem
numărul 105 bun facem scăderea
și vom obține aici 5 nimic și nimic
coborând 0 și avem numărul 50 50
împărțit la 21 de câte ori intră
Păi de două ori 2 ori 21 ne dă
42 obținem aici 8:00 coborâm 0
80 Dar ce observam iar dacă urmărim
cu atenție împărțirea aici am avut
numărul 50 Da și la am obținut
pe doi după aia am obținut 88 mai
departe la fel sau pe trecut și
aici am au obținut 50 după aia
era normal că vom obține 80 ca
acum obține apoi 170 și așa mai
departe Deci Care este perioada
Păi în acest moment am avut aici
zecimală 2 va urma apoi zecimală
30 ma la 8 0 și așa mai departe
De fapt perioada este reprezentată
de această secvență de cifre pentru
că din momentul în care am obținut
50 aici ca mai sus vom obține din
nou aceeași secvență de cifre 2
3 8 și așa mai departe Deci venim
și notăm că avem doi virgulă și
trecem cifrele care alcătuiesc
perioada din 9 Avem un număr zecimal
periodic simplu sau o fracție zecimală
periodică simplă deci putem să
venim aici și să notăm 2 semn numerele
care sunt în perioada care sunt
în perioadă și acest număr este
tot un număr zecimal periodic simplu
sau o fracție zecimală periodică
simplă pentru că Iată perioada
oricât de multe cifre ar conține
Ea este imediat după virgulă Deci
avem un număr zecimal periodic
simplu alt exemplu 29 supra 6 în
primul rând vedem dacă această
fracție se poate simplifica Păi
6 se împarte exact la 2 și la 3
29 nu se împarte exact nici la
2:00 nici la 3:00 Deci avem o fracție
ireductibilă asta înseamnă că facem
direct împărțirea a 29 împărțit
la 6 si Haide să notăm alături
29 împărțit la 6 vedem cât obține
6 intră în 29 de 4 ori 4 ori șatene
de 24 de ce obținem aici 5 trecem
virgula și trecem primul zero nesemnificativ
virgula o trecem la cât Și coborâm
acest 0 50 împărțit la 6 Păi 8
8 ore 6 ne dă 48 Deci obținem aici
2 coborâm 0 20 împărțit la 6 6
intră în 20 de trei ori trei ori
6 ne dă 18 facem diferența ne dă
doi din nou coborâm 0 20 împărțit
la 6 pe tot trei trei ori 6 ne
dă 18 iar își vom obține 2 și așa
mai departe Din nou vom avea 20
din nou vom scrie aici 3 din nou
trei ori 6 ne dă 18 iar și vom
obține 2 etc deci de fapt Care
este numărul nostru avem 4 3 3 3
3 și așa mai departe cifra 3 se
repetă la nesfârșit Care este acum
perioada pentru că e clar că nu
e un număr zecimal finit și vorbim
de un număr zecimal periodic cu
alte cuvinte care este cea mai
scurtă secvență de cifre de după
virgulă care se repetă este Cumva
83 pe dacă ar fi 83 am avea numărul
4 opt trei opt trei Da deci perioada
să fie 83 cac nu e cazul nostru
pentru că nu ia că avem patru urmat
de opt și apoi cifra 3 se repetă
de fapt avem 4 perioadă 3 numărul
8 care se află între virgulă și
perioadă Alcătuiește partea ne
periodică și aici nu avem un număr
zecimal periodic simplu și un număr
zecimal periodic mixte sau fracție
zecimală periodică mixtă Deci când
între virgulă și perioadă avem
și alte cifre atunci obținem o
fracție zecimală periodică mixtă
un alt exemplu 12 supra 5 și 5
mai întâi vedem dacă putem să simplificăm
această fracție Păi 55 are ca divizori
sau se împarte exact la 5 și la
11:00 12:00 nu se împarte exact
nici la 5:00 nici la 11:00 Deci
e o fracție ireductibilă atunci
decembrie rekt la împărțire 12
împărțit la 55 bun să facem împărțirea
alături 12 împărțit la 55 Ce observăm
că împărțim un număr mai mic la
un număr mai mare Deci rezultatul
va fi 0 pentru că 55 intră în 12
de 0 ori 0 ori 55 de de 0 facem
diferența obținem 12 trecem acum
virgula și primul 0 nesemnificativ
virgula o vom trece la cât Și coborâm
acest 0 120 împărțit la 55 Păi
ce număr înmulțit cu 55 ne dă un
număr apropiat de 120 dar mai mic
decât al 2-pentena 2 ori 55 ne
dă 110 face mai diferența și vom
obține 10 coborâm 0 100 împărțit
la 55 Păi dacă trecem din nou doi
vom avea aici 110 e prea mare atunci
suntem nevoie să scriem unul unul
ori 55 ne dă 55 facem diferența
100 minus 55 ne dă 45 coborâm 0
450 împărțit la 55 ce numar înmulțit
cu 55 se apropie de 450 și mai
mic decât el dacă facem 55 ori
7 haide Scrie înmulțire aici 7
ori 5 din de 35 de cinci trei minute
șapte 5:35 cu trei trei și eu 385
dacă am face însă înmulțirea cu
8 55 înmulțit cu 8 atunci la Acest
rezultat de la 385 mai trebuie
să adăugăm 55 și vom avea aici
0 aici 13 cu 114 cu nu mint 440
e clar că acesta este cel puți
Deci venim aici notăm cu obținem
numărul 8 și să ștergem aici opt
ori 55 era 440 obținem aici 10
un din nou coborâm zero și observăm
că avem 100 împărțit la 55 odată
155 ne dă 55 facem diferența obținem
45 coborâm 0 însă ia Teka de fapt
450 de șalău obținuse dacă privind
cu atenție împărțirea de la ce
observăm că numerele încep să se
repete Păi de aici am avut 100
apoi 450 iarăși avem 100 iarăși
450 când am obținut numărul 100
am obținut aici zecimală A1 pentru
că unu ori 55 da da 55 după aia
la 450 am obținut zecimală 8 la
100 din 9 am obținut 1 la 450 din
nou vom obține 8 După aia va urma
din nou 1 din nou 8 și așa mai
departe cu alte cuvinte care este
perioada perioada este 18 Deci
vom avea așa 0 perioadă 18 Păi și
acest număr pe care îl am obținut
este tot un număr zecimal periodic
mic sau o fracție zecimală periodică
mixtă pentru că între virgulă și
perioadă avem și alte numere Haideți
acum să recapitulăm atunci când
ni se dă o fracție ordinară De
exemplu a supra b oricare ar fi
numitorul b Evident diferit de
0 pentru a scrie această fracție
ordinară ca fracție zecimală întotdeauna
putem să împărțim numărătorul la
numitor când împărțim două numere
naturale ce putem să obținem cu
alte cuvinte ce poate să fie câtul
Păi avem două variante Fi vom obține
un număr natural sau câtul poate
să fie un număr zecimal sau altfel
pus o fracție zecimală acum dacă
obținem o fracție zecimală ce posibilități
avem Păi Fi vom obține o fracție
zecimală finită fi una periodică
dacă cumva obținem periodică atunci
a poate să fie simplă sau mixtă
Și acum unde să dăm exemplu Deci
când împărțim două numere naturale
putem să obținem fie un număr natural
aici Și nu vom da exemple fie o
fracție zecimală finită adică un
număr zecimal finit Ce înseamnă
înseamnă că el este un număr care
se scrie cu virgulă și are un număr
finit de zecimale nenule de exemplu
1 cinci avem un număr finit de zecimale
sau putem să avem 100 34 nouă patru
cinci și șapte Nu ne interesează
cât de multe zecimale avem Important
este că avem un număr finit de
zecimale diferite de 0 dacă obținem
o fracție zecimală periodică simplă
care sunt acele fracții zecimale
periodice simple Păi după virgulă
urmează imediat perioada de exemplu
24 sute patruzeci și 9 sau 0 virgulă
perioadă 308 putem să trecem Evident
în perioada oricât de multe cifre
dori o fracție zecimală periodică
mixtă între virgulă și perioadă
mai avem și alte cifre De exemplu
0 perioadă 2015 sau 123 virgulă
4485 perioadă 3 Deci când împărțim
două numere naturale putem să obținem
fie un număr natural fie o fracție
zecimală care poate să fie finită
sau periodică simplă sau mixtă
acum când împărțim două numere
naturale și obținem o fracție zecimală
nu e întâmplător faptul că uneori
obținem o fracție zecimală finită
sau periodică simplă sau mixtă
și acest lucru depinde de împărțitor
cu alte cuvinte depinde de numitorul
aceste fracții și poate că întru
altă secvență video vom detalia
adică vom vedea Acum depinde câtul
pe care îl obținem de forma numitorului