Metoda coeficienților nedeterminați

în această lecție o să calculăm

o sumă folosind metoda coeficienților

ne Determinați și apoi o să demonstrăm

rezultatul obținut prin metoda

inducției matematice și avem această

sumă 1 supra 1 6 plus 1 supra 6

ori 11 plus 1 supra 11 ori 16 plus

puncte puncte plus 1 supra 5 n

minus 4 pe lângă 5n plus 1 mai

întâi o să scriem această sumă

restrâns cu ajutorul simbolului

Sigma și o să avem suma din 1 supra

5 k minus 4 pe lângă 5 k plus unu

pentru că apa rând valori de la

1 până la n acesta va fi termenul

general al sumei este destul de

dificil să calculăm această sumă

formă Care este scrisă Și atunci

pentru a găsi o formulă de calcul

o să scriem termen general ca o

sumă de două fracții 1 supra 5

k minus 4 pe lângă 5 k plus unu

o să scriem această fracție ca

o sumă de două fracții fiecare

având la numitor unul dintre factorii

acestui produs prima fracție va

avea numitorul 5 k minus 4 iar

a doua fracție va avea numitorul

5 k plus unu nu cunoaștem deocamdată

numărătorii acestor fracții și

atunci o să îi notăm cu a și b

în continuare ne propunem să aflăm

acești coeficienți a și b iar metoda

prin care o sa obținem se numește

metoda coeficienților ne Determinați

imediat o să înțelegeți De ce a

vrut să scriem această fracție

acest termen general ca o sumă

de două fracții dacă am dată amplificăm

aceste fracții ca să le aducem

la numitor comun prima fracție

se va aplica cu 5 k plus unu și

a doua fracție cu 5 k minus 4 și

atunci obținem o fracție având

numitorul 5 k minus 4 pe lângă

5 k plus unu iar la numărător avem

cinci a k plus a plus 5 b k minus

4 b egal acum o să realizăm termenii

grupa mai întâi termenii ce îl

conțin pe k și chiar o să îl dăm

pe k factor comun și avem 5-a plus

5b totul ori k plus a minus 4 b

și totul supra 5 că apa minus 4

pe lângă 5 k plus 1 avem această

egalitate de fracții observăm că

cele două fracții au același numitor

pentru ca ele să fie egale trebuie

să aibă și același numărător prin

urmare o să egalăm numărătorul

aceste fracții cu 1 Deci o să avem

5-a plus 5b ori ca apa plus a minus

4 b egal cu 1 și acum să ne uităm

la această expresie observăm că

în membrul stâng avem un termen

ce îl conține pe k însă în membrul

Drept nu avem termeni cu k prin

urmare coeficientul lui k din membrul

drept este 0 și atunci Putem să

scriem acest număr 1 ca fiind 0

ori k plus 1 ca să avem o egalitate

va trebui să egalăm coeficientului

ca apa din membrul stâng cu coeficientul

lui că apa din membrul drept Așadar

5-a plus 5b trebuie să fie egal

cu 0 Iar acest termen A minus 4

b trebuie să fie egal cu 1 și atunci

o să impunem aceste două condiții

sub forma unui sistem de Două ecuații

cu două necunoscute prima ecuație

va fi 5-a plus 5 b egal cu 0 și

a doua ecuație A minus 4 b egal

cu 1 echivalent Dacă împărțim prima

ecuație la 5 obținem a plus b egal

cu 0 de unde a este egal cu minus

b îl Înlocuim pe a în a doua ecuație

și avem minus b minus 4 b egal

cu 1 echivalent a egal cu minus

b minus 5 b egal cu 1 echivalent

a egal cu minus b b va fi egal

cu minus 1 supra 5 echivalent dacă

a este minus b minus minus 1 supra

5 va fi 1 supra 5 Așadar a este

egal cu 1 pe 5 b egal cu minus

1 supra 5 am obținut acești doi

coeficienți a și b și atunci Revenim

la termenul general această fracție

1 supra 5 km minus 4 pe lângă 5

k plus 1 se va scrie astfel în

loc de ei o să scriem 1 supra 5

totul supra 5 kpa minus 4 în loc

de Ba minus 1 pe 5 îl scriem pe

minus aici 1 supra 5 totul supra

5 k plus 1 în continuare putem

să dăm factor comun pe 1 supra

5 pe lângă 1 supra 5 k minus 4

minus 1 supra 5 k plus 1 am reușit

să scriem așa dar termenul general

ca om diferență de două fracții

și acum să revenim la suma noastră

suma esti era sumă din acest termen

general adică suma din 1 pe 5 pe

lângă 1 supra 5 km minus 4 minus

1 supra 5 k plus 1 pentru că apa

de la 1 până la n 1 supra 5 este

constantă și putem să trecem Constanta

în fața sumei Deci o să avem 1

pe 5 ori suma din 1 supra 5 k minus

4 minus 1 supra 5 k plus unu pentru

că apa de la 1 până la n și acum

se scrie ma ceastă sumă desfășurat

atenție fiecare termen al sumei

este o diferență de două fracții

Deci o să avem 1 supra 5 pe lângă

primul termen al sumei se obține

pentru k egal cu unu și o să avem

1 supra 5 ori 1 minus 4 adică 1

supra 1 minus 1 supra 5 ori unu

plus unu șase acesta este primul

termen al sumei plus cel de al

doilea termen al sumei se obține

pentru k egal cu doi avem cinci

ori doi 10 minus 4 6 deci 1 pe

6 minus 5 ori 2 10 plus 111 1 supra

11 las așa mai departe Haideți

să scriem și penultimul termen

al sumei acesta se obține înlocuind

pe k cu n minus 1 la numitorul

primei fracții o să avem 5 pe lângă

n minus 1 minus 4 adică 5 n minus

5 minus 4 5 n minus 9 iar la numitorul

celei de a doua fracții o să avem

5 pe lângă n minus 1 plus 1 adică

5 n minus 5 plus 1 înseamnă 5 n

minus 4 și atunci aici o să scrie

1 supra 5 n minus 9 minus o să

șterg aici 1 supra 5 n minus 4

și ultimul termen al sumei înlocuind

pe capacul n și avem 1 supra 5

n minus 4 minus 1 supra 5n plus

1 și închidem paranteza dreapta

penal Acum putem să observăm că

se reduc aici niște termeni de

fapt acesta a fost și motivul pentru

care am vrut să scriem la început

termenul general al sumei ca o

sumă de două fracții și atât minus

1 supra 6 se reduce cu plus 1 supra

6 minus 1 supra 11 se va reduce

cu următorul termen putem chiar

să verificăm în cazul în care k

este egal cu 3 o să avem 1 supra

5 ori 3 15 minus 4 11 Deci următorul

termen aici ar fi plus 1 supra

11 care se reduce cu minus 1 supra

11 apoi fracția minus 1 supra 5

în minus 4 se reduce cu plus 1

supra 5 în minus 4 Așadar au loc

acestei reduceri dar ca să evidențiem

mai clar acest lucru O să scriem

termenii acestei sume unul sub

altul și avem unul pe 5 pe lângă

1 pe 1 minus 1 pe 6 acesta e primul

termen al doilea termen 1 pe 6

minus 1 supra 11 puncte puncte

următorul termen este 1 supra 5

n minus 9 minus 1 supra 5 n minus

4 urmează 1 supra 5 n minus 4 și

minus 1 supra 5n plus 1 iar Aici

avem o sumă vinil minus 1 pe 6

se reduce cu plus 1 pe 6 minus

1 pe 11 se reduce cu termenul următor

Acum putem să intuim faptul că

această fracție 1 supra 5 n minus

9 se va reduce cu fracția situată

înaintea ei Așadar intuim faptul

că aici unde avem puncte puncte

se reduc toți termenii apoi fracția

minus 1 supra 5 în minus 4 se reduce

cu plus 1 supra 5 în minus 4 și

acum să vedem ce mai rămâne avem

unul pe 5 pe lângă o să rămână

primul termen și ultimul termen

1 supra 1 minus 1 supra 5n plus

1 egal cu 1 supra 5 ori în paranteză

aducem la numitor comun avem 5

n plus 1 minus 1 supra 5n plus

1 egal 1 supra 5 ori 5 n supra

5n plus 1 egal se simplifică 5

cu 5 și obțin m n supra 5n plus

1 și iată că am găsit o formulă

de calcul însă noi aici am presupus

că se reduc toți acești termeni

din zona în care am scris puncte

puncte prin urmare pentru a fi

sigur că această formulă de calcul

la care am ajuns Este corectă trebuie

să demonstrăm rezultatul obținut

prin metoda inducției matematice

o să scrie în rezultatul obținut

mai sus Deci am găsit n supra 5n

plus 1 și în cele ce urmează o

să demonstrăm această formulă prin

metoda inducției matematice o să

ștergem si descrise mai jos prima

etapă a inducției este etapa de

verificare verificăm dacă formula

obținută este corectă în cazul

în care n este egal cu 1 pentru

n egal cu 1 această sumă are un

singur termen adică primul 1 supra

unor 6 și acum Înlocuim pe an în

formula găsită cu unu obținem 1

supra 5 ori 1 plus 1 echivalent

1 supra 6 egal cu 1 supra 6 am

găsit o relație adevărată Așadar

iată că formula găsită Este corectă

în cazul în care n este egal cu

1 a doua etapă a inducției demonstrația

arătăm că are loc implicația a

p d k implică pdk plus 1 oricare

ar fi ca Pa mai mare sau egal cu

1 o Să presupunem că propoziția

pdk este adevărată și demonstrăm

că propoziția pdk plus 1 este o

propoziție adevărată să scrie mai

întâi propoziția pe dk înlocuind

pe n cu k și avem 1 supra unor

6 plus 1 supra 6 ori 11 plus puncte

puncte plus ultimul termen 1 supra

5 k minus 4 pe lângă 5 k plus 1

este egal cu k supra 5 k plus 1

2 să punem că aceasta este propoziție

adevărată acum să scriem propoziția

pdk plus 1 aceasta se obține înlocuind

pe n cu k plus unu o să avem 1

supra 1 ori 6 plus 1 supra 6 ori

11 plus puncte puncte scriem și

penultimul termen care se obține

înlocuind pe n cu k și scrie ma

chestie penultim termin pentru

a evidenția faptul că în cadrul

propoziției pdk plus 1 regăsim

propoziția pdk Deci avem 1 supra

5 k minus 4 pe lângă 5 k plus 1

și ultimul termen 1 supra înlocuim

aici pe n cu k plus 1 să vedem

ce obținem avem 5 pe lângă k plus

1 minus 4 Deci o să fie 5 k plus

5 minus 4 adică 5 k plus una și

în a doua paranteză o să avem cinci

pe lângă k plus unu plus unu înseamnă

5 k plus cinci plus unu deci 5

k plus 6 aici o să scriem 5 k plus

1 pe lângă 5 k plus 6 egal cu k

plus 1 supra 5 k plus cinci plus

unu adică 5 k plus 6 și acum ne

propunem Să arătăm că această propoziție

este propoziție adevărată observăm

Așadar că în cadrul propoziției

pdk plus 1 ne găsim această sumă

din moment ce pdk este adevărată

înseamnă că în locul acestei sume

Putem să scriem formula găsită

pentru pdk să vedem ce obținem

o să avem k supra 5k plus 1 urmează

acest termen Plus 1 supra 5 k plus

1 pe lângă 5 k plus 6 egal amplificăm

prima fracție cu 5 k plus 6 și

o să avem k pe lângă 5 k plus 6

plus 1 totul supra 5 k plus 1 pe

lângă 5 k las 6 Lidl desfacem paranteza

5k pătrat plus 6 k plus 1 supra

5 k plus 1 pe lângă 5 k plus 6

inel la numărător avem o expresie

pe care o so Descompune în factori

pentru a putea face niște simplificări

pentru aceasta în loc de 6k o să

scriem 5 k plus k și avem 5 k pătrat

plus 5 k plus k plus 1 totul supra

5 k plus 1 pe lângă 5 k plus 6

egal acum grupăm primii doi termeni

și o să îl dăm factor comun pe

5 k și avem 5 k pe lângă k plus

1 plus o să scriu în paranteză

pe Caba plus 1 ca să se vadă mai

clar faptul că o să mai putem da

încă o dată factor comun supra

5 k plus 1 pe lângă 5 k plus 6

egal da factor comun pe k plus

1 pe lângă 5 k plus 1 totul supra

5 k plus 1 pe lângă 5 k plus 6

egal Iată se simplifică 5k plus

1 și obținem rezultatul k plus

1 supra 5 k plus 6 iată că am ajuns

la aceeași formulăm scris mai sus

prin urmare propoziția pdk plus

1 este adevărată Așadar are loc

această implicație și astfel cele

două etape ale inducției matematice

sunt validate prin urmare rezultă

că propoziția p de n este propoziție

adevărată oricare ar fi n număr

natural mai mare sau egal cu 1

prin urmare formula găsită pentru

suma noastră este formula corectă