Aranjamente

Să presupunem că o firmă trebuie

să formeze dintre un grup de cinci

persoane o echipă de medici Mont

formată din trei persoane un manager

vânzări un manager producție și

un manager financiar se pune întrebarea

În câte moduri putem selecta C3

manager e dintre un grup de cinci

persoane de exemplu ei ar putea

fi manager vânzări bmn de reproducție

și ce manager financiar sau ce

poate fi manager vânzări a manager

producție și b manager financiar

să vedem Așadar În câte moduri

putem forma o echipă de 3 manager

e dintre un grup de cinci persoane

dacă cele trei persoane ar fi a

b și c atunci ar exista șase moduri

în care cele trei persoane ar putea

fi selectate pentru postul de manager

avem Așadar o problemă de permutări

permutări de trei elemente este

egal cu 6 cele șase mulțimi ordonate

sunt a b c ACB și așa mai departe

ultima mulțimii ordonată este ce

ba în total avem permutări de trei

elemente adică 6 mulțimi ordonate

ce conțin elementele a b și c dacă

înlocuim persoana c cu d vom avea

următoarele mulțimi ordonate formate

din trei elemente a b d și așa

mai departe ultima mulțime ordonată

va fi de ba în total bârfit de

asemenea 6 mulțimile ordonate formate

din elementele a b și d dacă în

locul persoanei D va fi e atunci

obținem mulțimile ordonate de formă

a b și așa mai departe ultima este

e b a dacă înlocuim acum pe b cu

ce vom obține mulțimea ordonată

a c d și așa mai departe ultima

va fi De ce A iar dacă Înlocuim

pe d cu e se obține AC și așa mai

departe e si Ei dacă lucrăm persoana

si cu d se va obține a d e ultima

mulțime este A da Acum înlocuind

pe a cu b vom obține mulțimea ordonată

b c d și așa mai departe dcb urmează

apoi b c e e c b iar dacă în locul

lui ce avem de mulțime mulțime

ordonată de forma b d e e d b iar

la final ultimele mulțimi ordonate

vor fi formate din elementele c

d și e avem în total 10 linii 1

2 3 4 5 6 7 8 9 10 și 6 coloane

în total vom avea 60 de posibilități

de a selecta o echipă de management

formată din trei persoane dintre

un grup de cinci persoane totalitatea

submulțimilor ordonate cu trei

elemente ale unei mulțimi cu 5

elemente formează un număr ce se

notează astfel și se citește aranjamente

de 5 luate câte 3 am obținut Așadar

că aranjamente de 5 luate câte

3 este egal cu 60 iar acest număr

poate fi scris sub forma unui produs

astfel 5 ori 4 ori 3 încercăm în

continuare să exprimăm acest produs

cu ajutorul factorialelor Folosind

un de acești indici astfel încât

să încercăm să intuim o formulă

pentru cazul general aranjamente

de 5 luate câte 3 am văzut că este

egal cu 5 ori 4 ori 3 Încercăm

să obținem aici 5 factorial din

acest motiv înmulțire acest produs

cu doi unu iar pentru a obține

o egalitate adevărată trebuie apoi

să împărțim acest produs cu doi

ori unu astfel 2 ori 1 se simplifică

și ne rămâne produsul 5 ori 4 ori

3 Deci egalitatea Este corectă

la numărător avem cinci ori 4 ori

3 ori 2 ori 1 Iar acest produs

este egal cu 5 factorial iar 2

ori 1 este egal cu doi factori

al am reușit Așadar să scriem aranjamente

de 5 luate câte 3 cu ajutorul factorialelor

trebuie Acum să vedem ce reprezintă

acest număr doi doi reprezintă

numărul persoanelor care nu fac

parte din echipa de manager e dacă

dintre un grup de cinci persoane

alege în doar trei persoane pentru

postul de manager atunci vor rămâne

două persoane în afara echipei

Așadar acest număr 2 poate fi scris

ca o diferență dintre 5 și 3 și

astfel am reușit să exprimăm aranjamente

de 5 luate câte 3 cu ajutorul factorialelor

Dacă am avea de exemplu de calculat

aranjamente de 8 luate câte două

atunci acest număr ar fi egal cu

8 factorial supra 8 minus 2 factorial

egal în continuare cu 8 factorial

supra 6 factorial exprima mo factorial

cu ajutorul lui 6 factorial și

obținem 6 factorial ori 7 ori 8

supra 6 factorial se simplifică

6 factorial și ne rămâne 7 ori

8 egal cu 56 în cazul general aranjamente

de n luate câte k va fi egal cu

n factorial supra n minus k factorial

unde n este număr natural nenul

k este număr natural iar k este

mai mic sau egal decât n Așadar

aranjamente de n luate câte k reprezintă

totalitatea submulțimilor ordonate

având fiecare Câte elemente ale

unei mulțimi cu n elemente în cazul

în care k este egal cu 0 obținem

aranjamente de n luate câte 0 și

vom avea iggle conform relației

de mai sus cu n factorial supra

n minus 0 factorial egal cu n factorial

supra n factorial și egal cu unu

în cazul în care numărul k este

egal cu n obținem aranjamente de

n luate câte n egal cu n factorial

supra n minus n factorial egal

cu n factorial supra 0 factorial

egal cu n factorial supra 1 și

egal cu n factorial de fapt aranjamente

de n luate câte n reprezintă chiar

permutările de n elemente în continuare

ne propunem să rezolvăm următoarea

ecuație aranjamente de n luate

câte 4 este egal cu 20 ori aranjamente

de n minus 2 luate câte 3 trebuie

să determinăm valorile numărului

n astfel încât aceasta egalitate

să aibă loc pentru început vom

pune condițiile de existență pentru

această ecuație numărul aranjamente

de n luate câte 4 există Dacă n

este număr natural nenul și n este

mai mare sau egal decât 4 pentru

aranjamente de n minus 2 luate

câte 3 vom pune condiția ca n minus

2 să fie mai mare sau egal cu 3

acestea sunt condițiile de existență

pentru această ecuație din Ultima

relație se obține n mai mare sau

egal decât 5 n îndeplinește simultan

cele trei condiții dacă și numai

dacă n aparține mulțimii formate

din elementele 5 6 7 8 și așa mai

departe acesta este domeniul de

existență pentru această ecuație

și acum să trecem la rezolvarea

ecuației aranjamente de n luate

câte 4 este egal cu n factorial

supra n minus 4 factorial egal

cu 20 ori n minus 2 factorial supra

n minus 2 minus 3 Adică n minus

5 factorial în continuare exprimăm

n factorial în funcție de n minus

4 factorial pentru că n factorial

este mai mare decât în minus 4

și vom avea n minus 4 factorial

înmulțit cu n minus 3 ori n minus

2 ori n minus 1 ori and până aici

Am scris N factorial supra n minus

4 factorial egal cu 20 ori aici

exprimăm n minus 2 factorial cu

ajutorul lui emiluț 5 factorial

vom avea n minus 5 factorial ori

n minus 4 ori n minus 3 ori n minus

2 supra n minus 5 factorial observăm

că se simplifică n minus 4 factorial

cu A minus 4 factorial și a minus

5 factorial cu urme news 5 factorial

de asemenea observăm că în ambii

membri ai Egalității avem produsul

a minus 3 ori A minus 2 așa dar

putem să împărțim aceasta egalitate

cu n minus 3 pe lângă n minus 2

pentru că acest produs este diferit

de 0 deoarece n este mai mare sau

egal decât 5 atâta vreme cât n

este mai mare sau egal decât 5

atunci n minus 3 va fi diferit

de zero și în minus doi va fi diferit

de 0 în consecință putem să împărțim

egalitatea cu acest produs și atunci

se va simplifica n minus 3 și n

minus 2 iar la final rămâne în

minus 1 ori n este egal cu 20 pe

lângă n minus 4 desfacem parantezele

m pătrat minus n este egal cu 20

n minus 80 obținem următoarea ecuație

de gradul al doilea an pătrat minus

21n plus 80 egal cu 0 Delta este

egal cu 441 minus 320 egal cu 121

n-1 este egal cu 21 plus 11 supra

2 egal cu 32 supra 2 și egal cu

16 iar n 2 este egal cu 21 minus

11 pe 210 pe 2 egal cu 5 numerele

5 și 16 fac parte din domeniul

de definiție Așadar soluția va

fi formată din elementele 5 și

16