Va rugam dezactivati programul ad block pentru a vizualiza pagina!

Cumpara abonament!
Plateste cu PayPal

Șiruri mărginite

Partajeaza in Google Classroom

Partajeaza cu Google Classroom
Susține Lectii-Virtuale!
Pentru a putea vizualiza un video va rugam sa va logati aici! Daca nu aveti cont va puteti inregistra apasand aici.
21 voturi 751 vizionari
Puncte: 10

Transcript



în această lecție discutăm despre

șiruri mărginite și începem cu

o definiție un șir a n se numește

mărginit superior dacă există un

număr real m astfel încât a n să

fie mai mic sau egal cu m oricare

ar fi numărul natural n cu alte

cuvinte un șir este mărginit superior

dacă toți termenii șirului sunt

mai mici sau egali cu un număr

real m acest număr m se numește

majorant al șirului un șir a n

se va numi mărginit inferior dacă

există un număr real a mic astfel

încât m să fie mai mic sau egal

cu a n oricare ar fi numărul natural

n altfel spus un șir este mărginit

inferior dacă toți termenii șirului

sunt mai mari sau egal cu o anumită

valoare m acest număr n mic se

numește Minora and al șirului mama

spune că un șir a n este mărginit

dacă a n este mărginit superior

și inferior prin urmare a n este

mărginit dacă există două numere

reale M mic M mare astfel încât

m mic e mai mic sau egal decât

a n mai mic sau egal cu M mare

oricare ar fi numărul natural n

dar această condiție se mai poate

Transcrie și astfel există două

numere reale M mic M mare astfel

încât a n să aparțină intervalului

a mic M mare oricare ar fi n număr

natural Așadar dacă Reprezentăm

pe o axă un șir mărginit toți termenii

acestuia trebuie să aparțină unui

interval de forma M mic M mare

Iată aici avem termenii șirului

a n în cazul în care a n este mărginit

toți termenii trebuie să aparțină

unui interval acum orice interval

poate fi inclus întru un interval

mai mare centrat în 0 Iată putem

să includem acest interval între

un interval de formă a minus a

A deci avem un interval Simetric

centrat în 0 Haideți să scriem

intervalul M mic M mare este inclus

în intervalul minus a a unde a

este un număr pozitiv dacă termenii

șirului a n aparțin acestui interval

M mic M mare atunci a n aparține

și intervalului minus a a dar această

condiție este echivalentă cu următoarea

minus a mai mic sau egal decât

n mai mic sau egal decât a iar

această relație se mai poate Transcrie

și astfel modul de a n este mai

mic sau egal decât a Așadar această

condiție pe care am scris o Aici

se mai poate scrie și astfel există

a un număr pozitiv de data aceasta

astfel încât modul de a n să fie

mai mic sau egal cu a oricare ar

fi n număr natural Așadar pentru

a studia mărginirea unui șir arătăm

că este îndeplinită una din aceste

trei condiții un șir care nu este

mărginit se numește nemărginit

să vedem în continuare câteva exemple

să vedem dacă este mărginit următorul

șir a n unde a n este egal cu 5

n număr natural nenul Acesta este

un șir constant prin urmare toți

termenii șirului valoarea 5 Așadar

acest șir este mărginit pentru

că modul de a n este mai mic sau

egal cu 5 oricare ar fi n număr

natural nenul Așadar rezultă că

șirul a n este mărginit un alt

exemplu avem șirul b n unde b n

este egal cu minus 3 Dacă n este

par 3 Dacă n este impar Așadar

termenii șirului pot avea valoarea

3 sau minus 3 prin urmare Acesta

este un șir mărginit pentru că

b n aparține intervalului minus

3 3 oricare ar fi n număr natural

nenul sau ar fi putut să scriem

ca și mai sus modul de b n mai

mic sau egal cu 3 Așadar șirul

b n este mărginit să vedem următorul

șir xn unde x n este egal cu n

n număr natural nenul observăm

Așadar că șirul acesta este de

fapt șirul numerelor naturale 1

2 3 4 5 și așa mai departe să vedem

dacă acesta este un șir mărginit

putem să intuim faptul că acest

șir va fi nemărginit pentru că

el nu are o margine superioară

cu cât crește rangul termenilor

cu atât va crește și valoarea acestora

Deci cu cât merge mai departe în

șir termenii acestuia tot cresc

prin urmare șirul nu va fi mărginit

superior dar Haideți să demonstrăm

acest lucru 100 demonstrăm prin

reducere la absurd presupunem că

Accent este mărginit dacă este

mărginit înseamnă că există un

număr pozitiv a astfel încât modul

de x n să fie mai mic sau egal

cu a oricare ar fi n număr natural

nenul adică există un apozitiv

a astfel încât În cazul nostru

x n este egal cu n iar modul de

n este pentru că na pozitiv n mai

mic sau egal decât a oricare ar

fi n număr natural nenul să vedem

dacă este adevărată această afirmație

în cazul în care aș alege a n ca

fiind partea întreagă din a plus

1 alegem partea întreagă pentru

că an trebuie să fie număr natural

partea întreagă a numărului a la

care se adaugă 1 este mai mare

decât a prin urmare nu pentru orice

număr natural n are loc această

inegalitate n mai mic sau egal

cu a iar în cazul în care n este

partea întreagă din a plus 1 atunci

el va fi mai mare decât ei așa

dar această condiție nu este îndeplinită

pentru orice număr natural n înseamnă

că presupunerea noastră este falsă

prin urmare rezultă că șirul x

n este nemărginit să facem în continuare

niște exerciții Studiați mărginirea

șirurilor avem aceste patru șiruri

în fiecare caz n este număr natural

diferit de 0 și începem cu punctul

a avem șirul x n egal cu 3 n minus

2 supra n Haide să calculăm câțiva

termeni ai acestui șir primul termen

este X1 egal cu 3 ori 1 minus 2

1 supra 1 adică 1 x 2 este 3 ori

2 6 minus 2 4 supra 2 egal cu 2

x 3 este 3 ori 3 9 minus 2 7 supra

3 și mai calculăm un termen x 4

este 3 ori 4 12 minus doi zece

supra 4 se mai simplifică și ne

dă cinci pe doi observăm Așadar

că toți termenii acestuia sunt

pozitivi prin urmare Putem să scriem

că zero este mai mic sau egal decât

x n observăm Așadar că șirul este

mărginit inferior Haide să vedem

dacă reușim să arătăm că șirul

este mărginit superior pentru aceasta

mai scrie încă o dată formula termenului

general x n egal cu 3 n minus 2

supra n o să scriem această fracție

ca o diferență de două fracții

și Avem 3 n pe n minus 2 pe n egal

cu 3 minus 2 supra n n este număr

natural prin urmare 2 supra n este

un număr pozitiv dacă din 3 scădem

o valoare pozitivă obținem un număr

mai mic decât 3 prin urmare șirul

nostru x n este mărginit superior

de trei așa dar putem să scriem

x n mai mic decât 3 rezulta ca

șirul x n este mărginit trecem

la punctul b avem șirul x n egal

cu 4n plus 9 supra n plus 2 se

poate observa imediat că toți termenii

acestui șir sunt pozitivi prin

urmare Putem să scriem direct că

zero este mai mic sau egal decât

x n prin urmare șirul este mărginit

inferior să vedem dacă reușim să

demonstrăm că șirul este mărginit

superior pentru aceasta o să mai

scriu încă o dată x n egal cu 4

n plus 9 supra n plus 2 egal acum

în loc de 9 o să scriem 8 plus

1 supra n plus doi din primii doi

termeni dăm factor comun pe patru

și avem patru pe lângă n plus 2

plus 1 supra n plus 2 egal 4 pe

lângă n plus 2 supra n plus 2 plus

1 supra n plus 2 se simplifică

n plus 2 și obținem patru plus

unu supra n plus doi acum această

fracție 1 supra n plus 2 este o

fracție subunitară întrucât en

ia valori mai mari sau egale cu

1 și atunci tot acest număr va

fi mai mic decât 4 plus 1 care

este egal cu 5 Așadar șirul x n

este mai mic decât 5 Putem să scriem

aici prin urmare șirul este mărginit

atât inferior cât și superior Așadar

x n este mărginit continuăm cu

punctul c avem x n egal cu minus

1 la n supra n pătrat plus 2 de

data aceasta Haideți să calculăm

modul de x n și avem modul din

minus 1 la n supra n pătrat plus

2 egal cu 1 supra n pătrat plus

2 și această fracție este subunitară

prin urmare șirul nostru este mărginit

rezultă xn mărginit și continuăm

cu punctul A de avem x n egal cu

radical din n plus 2 minus radical

din n plus 1 știind că n plus 2

este mai mare decât n plus 1 din

moment ce an este număr natural

prin urmare radical din n plus

2 va fi mai mare decât radical

din n plus unu înseamnă că această

diferență radical din n plus 2

minus radical din n plus 1 este

pozitivă prin urmare x n este mai

mare decât 0 sau Putem să scriem

0 mai mic ca x n Așadar șirul este

mărginit inferior de 0 și acum

o Să arătăm că șirul este mărginit

superior continuăm alăturat o să

mai scriu încă o dată x n egal

cu radical din n plus 2 minus radical

din n plus 1 de data aceasta o

să amplificăm această expresie

cu expresia conjugată adică amplificăm

cu radical din n plus 2 plus radical

din n plus 1 și o să obținem radical

din n plus 2 plus radical din n

plus 1 pe lângă radical din n plus

2 minus radical din n plus 1 supra

radical din n plus 2 plus radical

din n plus 1 egal la numărător

avem n plus 2 minus n minus unu

Atenție la semne supra radical

din n plus 2 plus radical din n

plus 1 egal 1 supra radical din

n plus 2 plus radical din n plus

1 Acum putem să mă ajută această

fracție cum 1 supra radical din

n plus 1 plus radical din n plus

1 Iată radical din n plus 2 este

mai mare decât radical din n plus

1 prin urmare numitorul primei

fracții este mai mare decât numitorul

aceste fracții dar cele două fracții

au același numărător Așadar fracția

cu numitorul mai mare este mai

mică decât fracția cu numitorul

mai mic așa dar putem să facem

această majorare și obținem în

continuare egal cu 1 supra 2 radical

din n plus unu care se mai poate

scrie 1 supra 2 ori 1 supra radical

din n plus 1 această fracție este

subunitară Deci tot Acest număr

este mai mic decât 1 supra 2 am

arătat Așadar că șirul x n este

mai mic decât 1 pe 2 putem să completăm

aici în urmare șirul x n este mărginit

atât inferior cât și superior Deci

x n este mărginit

Șiruri mărginiteAscunde teorie X

Definiții:

Ș i r u l space left parenthesis a subscript n right parenthesis space e s t e space bold italic m bold italic ă bold italic r bold italic g bold italic i bold italic n bold italic i bold italic t bold space bold italic s bold italic u bold italic p bold italic e bold italic r bold italic i bold italic o bold italic r space d a c ă space there exists space M element of straight real numbers space a. space î. space a subscript n less or equal than M comma space for all n element of straight natural numbers.
Ș i r u l space left parenthesis a subscript n right parenthesis space e s t e space bold italic m bold italic ă bold italic r bold italic g bold italic i bold italic n bold italic i bold italic t bold space bold italic i bold italic n bold italic f bold italic e bold italic r bold italic i bold italic o bold italic r space d a c ă space there exists space m element of straight real numbers space a. space î. space m less or equal than a subscript n comma space for all n element of straight natural numbers.
Ș i r u l space left parenthesis a subscript n right parenthesis space e s t e space bold italic m bold italic ă bold italic r bold italic g bold italic i bold italic n bold italic i bold italic t space d a c ă space e s t e space m ă r g i n i t space a t â t space i n f e r i o r space c â t space ș i space s u p e r i o r space left right double arrow
left right double arrow there exists space m comma space M element of straight real numbers space a. space î. space space m less or equal than a subscript n less or equal than M comma space for all n element of straight natural numbers.

Observație. Un șir este mărginit dacă există un interval mărginit [m, M] care conține toți termenii șirului. 

Pentru a studia mărginirea unui șir, verificăm dacă este îndeplinită una din următoarele condiții:

bold 1 bold. space space left parenthesis a subscript n right parenthesis space e s t e space bold italic m bold italic ă bold italic r bold italic g bold italic i bold italic n bold italic i bold italic t space left right double arrow there exists space m comma space M element of straight real numbers space a. space î. space space m less or equal than a subscript n less or equal than M space left right double arrow a subscript n element of open square brackets m comma space M close square brackets comma for all n element of straight natural numbers.
bold 2 bold. space space left parenthesis a subscript n right parenthesis space e s t e space bold italic m bold italic ă bold italic r bold italic g bold italic i bold italic n bold italic i bold italic t space left right double arrow there exists space a greater than 0 space a. space î. space space open vertical bar a subscript n close vertical bar less or equal than a comma space for all n element of straight natural numbers.

Navigare în lectii

Cumpara abonament
Plătește cu PayPal

Ajutor
Feedback-ul d-voastră este important pentru noi. Dacă observați vreo neregulă vă rugăm să ne-o semnalați apăsând butonul Trimite Feedback de mai jos.

Despre Lecții-Virtuale.ro

Lecții-Virtuale este o platformă educațională care oferă suport în vederea pregătirii pentru Evaluare Națională și Bacalaureat la Matematică, Fizică și Chimie. Lecțiile noastre sunt alcătuite din filme și exerciții și probleme cu tot cu rezolvări. Platforma noastră este o soluție ideală pentru școala online. Pentru facilitarea activității profesorilor în cadrul ecosistemului GSuite de la Google am implementat butonul Google Classroom. Scopul nostru este să ne concentrăm pe prezentarea noțiunilor și fenomenelor într-o manieră care să stimuleze înțelegerea și nu memorarea mecanică. Ne propunem să facilităm accesul la conținut educațional de calitate mai ales elevilor cu venituri mai modeste care nu își pemit meditații particulare. Sperăm să vă simțiti bine alături de noi și să invățați lucruri folositoare. Hai România!

Newsletter

Abonează-te la Newsletter pentru a fi la curent cu toate ofertele noastre.

Parteneri

EduApps partener Lectii Virtuale UiPath partener Lectii Virtuale Scoala365 partener Lectii Virtuale CCD Galați partener Lectii Virtuale

2024 © Lecții-virtuale.ro Toate drepturile rezervate
Termeni   Despre   Contact   Confidenţialitate   Cariere Parteneri